Matemàtiques II Segon Control Grup 14 15-5-2017
Resolució
1.
a) Comproveu que
()()
()()
cos
sin
xt a t
yt b t
=
=
és una parametrització de l’el·lipse que té equació implícita
22
22
1.
xy
ab
+=
b) Calculeu, fent una integral simple, l’àrea d’aquesta el·lipse.
c) Calculeu el volum del sòlid amb base aquesta mateixa el·lipse tal que totes les seccions perpendiculars a l’eix
d’abscisses són semicircumferències. (2 punts)
a) La parametrització de l’el·lipse donada és
( ) ()
( ) ( )
cos
sin
xt a t
yt b t
=
=
ja que
( )
( )
()
()
()
()
()
( )
()
( )
( )
( )
22 2 2
22
22 2 2
cos sin cos sin 1
xt yt a t b t tt
ab a b
+= + = + =
b) Per calcular l’àrea d’aquesta el·lipse fem la integral:
222
2
00
22
22
0
62
41 4
4 arcsin 4 arcsin1 .
22 2
aa
a
taula
xb
A b dx a x dx
aa
bx a x ba
a x ab
a aa
π
↑
= − = −=
= −+ = =
∫∫
O bé
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
00
/2 /2
/2
/2 2
019 0
4 ' 4 sin sin
sin 2 2
4 sin 4 4 .
24 2
taula
A y t x t dt a t b t dt
t
t
ab t dt ab ab ab
ππ
π
π
ππ
↑
= = −=
= =−==
∫∫
∫
c) El volum demanat és:
( )
2 22
2 2 22
22
0 00 0
2 323
2 32
22
0
21
2
2.
3 33
a aa a
a
y xb
V dx y dx b dx a x dx
aa
b xba
a x a ab
aa
ππ
ππ
πππ
= = = − = −=
= − = −=
∫ ∫∫ ∫
També es pot plantejar com la meitat d’un volum de revolució.
2. Dibuixeu 3 voltes de l’espiral d’Arquímedes que, en coordenades polars ve donada per
()
ρθ θ
=
i calculeu-ne
la longitud. (1 punt)
Per fer un dibuix aproximat de la corba donada, fem una taula de valors:
θ
( )
ρθ
0
0
/2
π
/2
π
π
π
3 /2
π
3 /2
π
2
π
2
π
6
π
6
π
