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Números Complejos
Teoría y Ejercicios
Introducción
De la resolución de la ecuación 𝑥
2
- 1 = 0 se obtiene que, para resolverla el valor de x deberá ser
𝑥 = √− 1 y dado que la raíz cuadrada son para valores reales mayores o iguales que cero, se denominó el valor
de la unidad imaginaria 𝑖 = √− 1 , siendo el nuevo conjunto de los imaginarios. Al componer los conjuntos de
números reales con los números imaginarios, obtenemos el conjunto de números complejos.
La elección de la palabra imaginario es muy desafortunada, pues estos números tienen tanta existencia
física como los reales. El vocablo significa, exclusivamente, que los números imaginarios no se pueden
representar por un punto en el eje de los números reales.
Historia
Los números complejos surgen en el siglo XVI, cuando Gerolamo Cardano (1501-1576), un
matemático italiano, presentó para resolver una ecuación de tercer grado.
Raphael Bombelli (1526-1572 o 1573) es el primer matemático que elaboró reglas de cálculo sobre
«números imposibles» en Algebra, donde aparecen las primeras propiedades de los números complejos.
En 1637, el filósofo francés René Descartes (1595-1650) bautizó estos valores imposibles de números
imaginarios. Más tarde, la notación i aparece en 1777 bajo el impulso de la obra de Leonhard Euler (1707-
1783), el inventor del número e para calcular la función exponencial, para los números que califica de
imposibles o imaginarios.
Durante el siglo XIX, gracias en particular a las obras de C.F. Gauss (1777-1855), estos números
complejos imaginarios puros terminan siendo considerados como números por derecho propio.
En la actualidad , son gran utilidad en la electricidad, electrónica y comunicación. Por ejemplo, diseño
de procesadores, sistemas de comunicaciones, en la ingeniería eléctrica utiliza números complejos, en los que
son usados para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica, también permitieron todo tipo de
desarrollos tecnológicos y científicos, desde el radar y el GPS hasta la resonancia magnética y las
neurociencias, en el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya
sin turbulencias, etc.
Índice
0 1) Definición ................................................................................................................................................................... 2
0 2) Suma y producto de números complejos .................................................................................................................... 2
0 3) Estructura del conjunto ............................................................................................................................................... 3
0 4) Operaciones de resta y cociente entre números complejos......................................................................................... 4
0 5) Números reales e imaginarios puros. Unidad imaginaria ........................................................................................... 5
0 6) Forma binómica de un número complejo. Suma y producto ...................................................................................... 6
0 7) Números complejos conjugados ................................................................................................................................. 7
0 8) Cociente de números complejos dados en forma binómica ........................................................................................ 7
0 9) Representación gráfica de los números complejos ..................................................................................................... 8
Forma trigonométrica de un complejo ........................................................................................................................ 9
Suma gráfica de números complejos ........................................................................................................................ 10
Cociente de números complejos en forma trigonométrica ....................................................................................... 11
Potencia de un número complejo en forma trigonométrica ...................................................................................... 12
Radicación de un número complejo en forma trigonométrica .................................................................................. 13
Forma exponencial de un número complejo ............................................................................................................. 14
Forma polar de un complejo ..................................................................................................................................... 14
Logaritmo de un complejo ........................................................................................................................................ 14
Respuestas de Ejercicios ................................................................................................................................................. 15
Tabla de operaciones con números complejos ................................................................................................................ 17
1) Definición :
Definimos al número complejo z como par ordenado de números reales (a,b). El primer elemento del
par, se llama parte real o componente real del número complejo z ; el segundo elemento del par se llama
parte imaginaria o componente imaginaria del número complejo z.
Nótese que tanto a como b son números reales, a pesar de la designación que
fijamos a y b****.
Estableceremos una relación de equivalencia entre el par (a,b) y el par (c,d) y por
consiguiente definimos al mismo número complejo z , cuando:
Podemos decir que: dos números complejos son iguales, si y sólo si, las partes reales son iguales entre
si y las partes imaginarias también los son.
El conjunto cociente, es el conjunto de los números complejos, que designaremos
como ℂ.
De acuerdo a lo definido, todo elemento del conjunto ℝxℝ es un número
complejo, es decir, es un elemento del conjunto ℂ.
2) Suma y producto de números complejos
Definiremos la ley de composición interna suma entre números complejos por la regla siguiente:
Dados dos complejos:
1
2
Llamaremos suma de 𝑧
1
2
al complejo 𝑧
1
2
1
2
Puede comprobarse que, de acuerdo a la definición de número complejo y teniendo en cuenta las
propiedades de la suma de números reales, la suma de números complejos definida de esta manera, goza de
las propiedades asociativa y conmutativa.
La ley de composición producto, la definimos de la manera siguiente:
Dados dos complejos:
1
2
Llamaremos producto de 𝑧
1
2
al complejo z
1
2
1
2
También aquí puede demostrarse que, el producto de números complejos goza de las propiedades
asociativa, conmutativa y distributiva con respecto a la suma.
EJM (ejemplo) : Dados dos complejos:
1
2
1
2
calcular su suma y producto
1
2
1
2
1
2
1
2
Ejercicio Nº 1) Dados los complejos, efectuar los siguientes cálculos
1
2
3
4
5
6
Realizar:
a) 𝑧
a
1
2
b) 𝑧
b
3
4
c) 𝑧
c
1
3
6
d) 𝑧
d
1
2
e) 𝑧
e
3
5
f) 𝑧
f
2
4
6
Nota aclaratoria:
∀𝒂 : para todo
elemento “a”
⋀ : representa “y”
∈ : pertenece
ℝ : conjunto real
Nota aclaratoria:
ℂ: conjunto de los
complejos.
ℝ x ℝ es el producto
cartesiano del
conjunto real
Nota aclaratoria:
Cuando escribimos 𝑧
1
= (𝑎, 𝑏), no hay
confusión de la coma de separación con la
coma decimal. En cambio, en Argentina,
cuando escribimos con números los valores
(en vez de letras), se utiliza el punto y coma
“ ; ” para no confundir los valores, por
ejemplo si a=3 y b=2,4 entonces 𝑧 1
= ( 3 ; 2 , 4 )
si lo escribimos con coma de separación
seria 𝑧
1
= ( 3 , 2 , 4 ) y no distinguiríamos si es
un vector en dos dimensiones o de tres
dimensiones.
− 1
2
2
2
2
EJM: Dado el siguiente complejo z, calcular su inverso y verificar
− 1
2
2
2
2
verificamos
− 1
− 1
= ( 1 ; 0 ) cumple con la definición de inverso.
También se puede demostrar que los números complejos son espacio vectorial.
4) Operaciones de resta y cociente entre números complejos
Definimos la suma y el producto de números complejos y los respectivos simétricos e inversos de cada
elemento del conjunto con respecto a los mismos, entonces resulta inmediatas las definiciones de resta y
cociente.
Definimos a la operación diferencia ( resta ) como la suma del opuesto ( simétrico ):
1
2
1
2
por lo tanto, la diferencia será:
1
2
1
2
1
2
por otro lado, el cociente entre dos números complejos es:
1
2
1
2
− 1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
Téngase en cuenta que el inverso de un número complejo sólo existe, si dicho complejo no es el (0;0),
elemento neutro de la suma.
EJM: Dados dos complejos: 𝑧 1
2
= (− 3 ; 4 ) calcular la diferencia y su división
1
2
1
2
1
2
− 1
1
2
Ejercicio Nº 2) Dados los complejos, calcular las siguientes operaciones :
1
2
3
4
5
6
Realizar:
a) 𝑧
a
1
2
b) 𝑧
b
2
1
c) 𝑧
c
1
5
6
4
d) 𝑧
𝑑
𝑧 1
𝑧 2
e) 𝑧
e
𝑧
2
𝑧
1
f) 𝑧
f
𝑧 3
∙𝑧 4
𝑧 5
g) 𝑧
𝑔
𝑧
2
∙𝑧
6
𝑧
1
∙𝑧
5
Nota aclaratoria:
( 𝑎, 𝑏
) ≠
( 0 ; 0
)
Nota aclaratoria:
(𝑐, 𝑑) ≠ ( 0 ; 0 )
5) Números reales e imaginarios puros. Unidad imaginaria
Como en toda ampliación de un conjunto numérico, el conjunto ℝ de los números reales debe quedar
incluido en el conjunto ℂ. Para verificarlo, identificaremos a los números reales con los complejos de parte
imaginaria nula. Es decir, que efectuamos la biyección del conjunto del conjunto de los números reales en el
conjunto de los complejos de parte imaginaria nula.
Para poder efectuar la identificación antes dicha, debemos demostrar que los conjuntos son
isomorfismos. En efecto, además de ser biyectiva, la ampliación se cumple que si:
será
por lo tanto, los conjuntos son isomorfos y podemos realizar la identificación anterior.
Llamaremos imaginarios puros a los complejos (0;b) de parte real nula. Cuando el número real b
es 1, tendremos la unidad imaginaria , que la designaremos con la letra i.
Elevando al cuadrado la unidad imaginaria se obtiene:
2
2
Por lo tanto, la unidad imaginaria goza de la propiedad de que, al ser elevada al
cuadrado, da el número real - 1.
Si la elevamos al cubo a la unidad imaginaria, nos queda:
3
2
Elevándola a la cuarta potencia:
4
3
2
La quinta, sexta, séptima y octava potencia, resultan:
5
4
6
5
7
6
8
7
De donde se desprende que, en general, las potencias de la unidad imaginaria resulta de la forma:
𝑖
4 𝑛+𝑝
= 𝑖
𝑝
Siendo n un número entero cualquiera y p un entero de valor absoluto menor o igual que 3. El número
p es el resto de la división entera del exponente de i por 4.
EJM: 𝑖
1787
446 ∙ 4 + 3
446 ∙ 4
3
3
Nota aclaratoria:
Cuando se traten
de operaciones
en electrónica o
electricidad la
denominación de
la unidad ima-
ginaria será la
letra j, para
evitar confusión
con la corriente
eléctrica.
Ejercicio Nº 4) Efectuar las siguientes sumas de números complejos dados en forma binómica
a) 𝑧 = 𝑧
1
2
3
4
siendo:
1
2
3
4
b) 𝑧 = 𝑧
1
2
3
siendo: 𝑧
1
1
2
1
2
2
√ 3
2
√ 3
2
3
Ejercicio Nº 5) ¿Qué valor debe tener 𝑧
3
para que 𝑧 = − 4 − 𝑖? siendo 𝑧 = 𝑧
1
2
3
con 𝑧
1
= 1 + 𝑖 y 𝑧
2
Ejercicio Nº 6) Efectuar las siguientes multiplicaciones de complejos dados en forma binómica.
a) 𝑧
a
1
2
1
3
1
4
1
5
b) 𝑧
b
1
2
1
2
c) 𝑧
c
7) Números complejos conjugados
Se llama complejo conjugado de un complejo 𝑧 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 al complejo:
Si efectuamos la suma de un complejo con su conjugado, será:
Si efectuamos la diferencia de un complejo con su conjugado, será:
Si efectuamos el producto de un complejo con su conjugado, será:
2
2
2
2
8) Cociente de números complejos dados en forma binómica
Como se pudo leer anteriormente, el cociente entre dos números complejos dados en forma de par
ordenados, será:
1
2
1
2
2
2
2
2
si los complejos 𝑧 1
y 𝑧
2
están dados en forma binómica, la resolución será:
1
2
1
2
multiplicamos por el número 1
1
2
tomaremos el conjugado de 𝑧
2
2
reemplazamos el 1 por la división de 𝑧
2
con 𝑧
2
(con 𝑧
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
EJM: dados
1
2
calcular 𝑧 =
𝑧 1
𝑧 2
2
1
2
2
2
2
Ejercicio Nº 7) Efectuar los siguientes cocientes entre números complejo dados en forma binómica
a) 𝑧
a
2 + 3 𝑖
2 −
3
2
𝑖
b) 𝑧
b
− 1 −𝑖
3 𝑖
c) 𝑧
c
1 − 3 𝑖
1 + 3 𝑖
9) Representación gráfica de los números complejos
Se puede establecerse una biyectiva entre los números reales y los puntos de una recta. Es decir que, a
cada número real se le puede hacer corresponder un punto de una recta y a cada punto de la recta un número
real.
Tomamos un par de ejes cartesianos ortogonales.
Sobre el eje de abscisas (eje horizontal) podemos representar la parte real a de cualquier complejo (a,b)
y sobre el eje de ordenadas (eje vertical), la parte imaginaria b del mismo. Llamamos al eje de abscisas eje
real y al de ordenadas, eje imaginario. Como muestra la figura.
Todo punto del plano, queda determinado por sus dos coordenadas, de modo que, podemos establecer
una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los números complejos. Es decir, que queda
establecida una biyectiva entre los puntos del plano y los números complejos.
Los complejos de la forma (a; 0 ) , quedarán representados por puntos del eje real y los complejos de la
forma (0;b ) por puntos del eje imaginario. El punto del plano que representa a un complejo z, se llama afijo
de z.
EJM: Representar los siguientes números complejos:
1
2
3
4
5
La representación de un número conjugado de un complejo será, por
ejemplo:
Dado 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦 su representación en el plano complejo es:
11) Suma gráfica de números complejos
Establecida la correspondencia entre los vectores de origen 0 y los números
complejos, se puede sumarse gráficamente números complejos sumando los vectores
que los representan. Como muestra la figura.
12) Producto de números complejos en forma trigonométrica
Dados los números complejos:
1
1
∙ (cos
1
ω
1
2
2
∙ (cos
2
ω
2
su producto será:
1
2
= [𝜌
1
∙ (cos
1
ω
1
)] ∙ [𝜌
2
∙ (cos
2
ω
2
)]
1
2
1
2
[cos(𝜔
1
) + 𝑖 ∙ sen(ω
1
)] ∙ [cos(𝜔
2
) + 𝑖 ∙ sen(ω
2
)]
aplicamos distributiva
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= 𝜌
1
∙ 𝜌
2
[cos(𝜔
1
) ∙ cos(𝜔
2
) + cos(𝜔
1
) ∙ 𝑖 ∙ sen(ω
2
) + 𝑖 ∙ sen(ω
1
) ∙ cos(𝜔
2
) + 𝑖 ∙ sen(ω
1
) ∙ 𝑖 ∙ sen(ω
2
)]
1
2
1
2
[cos(𝜔
1
) cos(𝜔
2
) + 𝑖 ∙ cos(𝜔
1
) sen(ω
2
) + 𝑖 ∙ sen(ω
1
) cos(𝜔
2
) + sen(ω
1
)sen(ω
2
2
]
sabemos que 𝑖
2
1
2
1
2
[cos(𝜔
1
) cos(𝜔
2
) + 𝑖 ∙ cos(𝜔
1
) sen(ω
2
) + 𝑖 ∙ sen(ω
1
) cos(𝜔
2
) − sen(ω
1
)sen(ω
2
)]
ordeno los términos y saco factor común i
1
2
1
2
[(cos(𝜔
1
) cos(𝜔
2
) − sen(ω
1
)sen(ω
2
)) + 𝑖(cos(𝜔
1
) sen(ω
2
) + sen(ω
1
) cos(𝜔
2
))]
las identidades trigonométricas
cos
1
cos
2
− sen
ω
1
sen
ω
2
= cos
1
2
cos
1
sen
ω
2
ω
1
cos
2
= sen
1
2
reemplazo y obtengo:
1
2
1
2
[
cos
1
2
1
2
)]
Puede verificarse que, efectuando un producto de n factores resulta:
1
2
𝑛
1
2
𝑛
[cos(𝜔
1
2
𝑛
) + 𝑖sen(𝜔
1
2
𝑛
)]
En consecuencia, el producto de n complejos dados en forma polar, es otro complejo cuyo módulo es
el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos.
EJM: dados 𝑧 1
= 3 (cos
2
= 2 (cos
) calcular : 𝑧 = 𝑧
1
2
1
2
[
cos
)]
[
cos
)]
Ejercicio Nº 9) Efectuar los siguientes productos de complejos en forma trigonométrica.
a) 𝑧
𝑎
= [
1
3
(cos
)] ∙ [ 3 (cos
)]
b) 𝑧
𝑏
= (cos
)(cos
c) 𝑧
𝑐
= [(cos (
𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
𝜋
2
))] ∙ [ 3 (cos (
3 𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
))]
13) Cociente de números complejos en forma trigonométrica
Dados los números complejos:
1
1
(cos
1
ω
1
2
2
(cos
2
ω
2
Su división en forma binómica, será:
1
2
2
2
2
2
sabemos que:
1
∙ cos(𝜔
1
1
∙ sen(𝜔
1
2
∙ cos(𝜔
2
2
∙ sen(𝜔
2
2
2
2
∙ cos(𝜔
2
2
2
∙ sen(𝜔
2
2
2
2
cos
2
2
2
2
sen
2
2
saco factor común (𝜌
2
2
2
2
2
2
[
cos
2
2
2
2
)]
cos
2
2
) + sen
2
2
2
2
2
2
∙ [ 1 ]
2
2
2
2
reemplazamos en la anterior y obtenemos:
𝑧
1
𝑧
2
=
(𝜌
1
∙ cos
( 𝜔
1
) ∙ 𝜌
2
∙ cos
( 𝜔
2
)
1
∙ sen
( 𝜔
1
) ∙ 𝜌
2
∙ sen
( 𝜔
2
) )
(𝜌
2
)
2
(𝜌
1
∙ sen
( 𝜔
1
) ∙ 𝜌
2
∙ cos
( 𝜔
2
) − 𝜌
1
∙ cos
( 𝜔
1
) ∙ 𝜌
2
∙ sen
( 𝜔
2
) )
(𝜌
2
)
2
𝑖
factor común 𝜌 1
∙ 𝜌
2
𝑧
1
𝑧
2
=
𝜌
1
∙ 𝜌
2
(
cos(𝜔
1
) ∙ cos(𝜔
2
) + sen(𝜔
1
) ∙ sen(𝜔
2
) )
(𝜌
2
)
2
𝜌
1
∙ 𝜌
2
(
sen(𝜔
1
) ∙ cos(𝜔
2
) − cos(𝜔
1
) ∙ sen(𝜔
2
) )
(𝜌
2
)
2
𝑖
simplificando 𝜌 2
y sacando factor común
𝜌
1
𝜌 2
𝑧
1
𝑧
2
=
𝜌
1
𝜌
2
[(cos
( 𝜔
1
) ∙ cos
( 𝜔
2
)
( 𝜔
1
) ∙ sen
( 𝜔
2
) ) + (sen
( 𝜔
1
) ∙ cos
( 𝜔
2
) − cos
( 𝜔
1
) ∙ sen
( 𝜔
2
) )𝑖]
las identidades trigonométricas
cos
1
cos
2
ω
1
sen
ω
2
= cos
1
2
sen(ω
1
) cos(𝜔
2
) − cos(𝜔
1
)sen(ω
2
) = sen(𝜔
1
2
reemplazamos y obtenemos
𝑧
1
𝑧
2
=
𝜌
1
𝜌
2
[cos(𝜔
1
2
) + 𝑖 ∙ sen(𝜔
1
2
)]
EJM: dados 𝑧
1
= 6 (cos(75°) + 𝑖 ∙ sen(75°)) 𝑦 𝑧
2
= 3 (cos(105°) + 𝑖 ∙ sen(105°))
calcular : 𝑧 =
𝑧
1
𝑧
2
1
2
6
3
[cos(75° − 105°) + 𝑖 ∙ sen(75° − 105°)]
1
2
= 2 [cos(−30°) + 𝑖 ∙ sen(−30°)]
𝑧 = 2 [cos(−30°) + 𝑖 ∙ sen(−30°)] 𝑧 = 2 [cos(30°) − 𝑖 ∙ sen(30°)]
Ejercicio Nº 10) Efectuar los siguientes cocientes de complejos dados en forma trigonométrica
a) 𝑧
𝑎
=
𝑧
1
𝑧
2
𝑧
1
= 6 [cos (
3 𝜋
4
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
4
)] 𝑧
2
= 3 [
cos (
𝜋
4
) + 𝑖 ∙ sen (
𝜋
4
) ]
b)
𝑧
𝑏
=
𝑧 1
𝑧 2
𝑧
1
= 0 , 1 [cos(45°) + 𝑖 ∙ sen(45°)] 𝑧
2
=
0 , 2
[ cos
( 135°
)
( 135°
)]
c)
𝑧
𝑐
=
𝑧
1
𝑧
2
𝑧
1
= 2 [cos (
𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
𝜋
2
)] 𝑧
2
= 2 [cos (
3 𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
)]
15) Radicación de un número complejo en forma trigonométrica
Dado el siguiente complejo 𝑧 = 𝜌 ∙ (cos
supongamos 𝑧
𝑎
, siendo 𝑧
𝑎
la raíz enésima de un complejo, se tiene
𝑎
𝑎
[
cos
𝑎
𝑎
)]
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛
[
cos
𝑎
𝑎
)]
si igualamos 𝑧 = 𝑧
𝑎
𝑛
tenemos:
𝜌 ∙ (cos(𝜔) + 𝑖 ∙ sen(𝜔)) = (𝜌
𝑎
𝑛
[cos(𝑛𝜔
𝑎
) + 𝑖 ∙ sen(𝑛𝜔
𝑎
)]
siendo
𝑎
𝑛
𝑎
donde debe ser
𝑎
𝑛
𝑎
reemplazamos en 𝑧
𝑎
𝑛
𝑛
𝑛
(cos (
) + 𝑖 ∙ sen (
Dando valores a k, obtenemos los valores de las distintas raíces mientras k varíe de 0 a n-1. Cuando
le demos a k el valor de n, obtendremos el mismo complejo que para k=0. Las distintas raíces que se
obtienen, son gráficamente, vértices de polígonos regulares para n≥ 3.
EJM: Hallar las raíces cúbicas de 𝑧 = 27 [cos (
3 𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
)]
√
𝑧
3
= √
27
3
(
cos (
3 𝜋
2
3
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
3
) )
𝒌 = 𝟎 𝑧
1
= √ 27
3
(cos (
3 𝜋
2
3
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
3
))
1
= 3 (cos (
) + 𝑖 ∙ sen (
1
𝒌 = 𝟏 𝑧
2
= √ 27
3
(cos (
3 𝜋
2
3
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
3
))
𝑧
2
= 3 (cos (
7 𝜋
6
) + 𝑖 ∙ sen (
7 𝜋
6
)) 𝑧
2
= −
3 √
3
2
−
3
2
𝑖
𝒌 = 𝟐 𝑧
3
= √ 27
3
(cos (
3 𝜋
2
3
) + 𝑖 ∙ sen (
3 𝜋
2
3
))
3
= 3 (cos (
) + 𝑖 ∙ sen (
3
La representación gráfica, será:
Ejercicio Nº 12) Calcular las siguientes raíces
a) 𝑧
𝑎
= √
4
𝑧 = 81 [cos(48°) + 𝑖 ∙ sen(48°)]
b) 𝑧
𝑏
= √
5
𝑧 = 32 [cos(225°) + 𝑖 ∙ sen(225°)]
c) 𝑧
𝑐
2
𝑧 = 21
[ cos
( 93°17´
)
( 93°17´
)]
16) Forma exponencial de un número complejo
Se demuestra, por medio de desarrollos en series, que:
𝑖𝜔
= cos(𝜔) + 𝑖 ∙ sen(𝜔) 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟
multiplicamos por 𝜌 a ambos miembros, obtenemos:
𝑖𝜔
= 𝜌 ∙ (cos(𝜔) + 𝑖 ∙ sen(𝜔))
sabemos que un complejo se escribe: 𝑧 = 𝜌 ∙ (cos
) , entonces
𝑖𝜔
Potencia de un número complejo de forma exponencial
𝑛
𝑖𝜔
𝑛
𝑛
𝑛
𝑖𝑛𝜔
Producto de un número complejo de forma exponencial
1
2
1
𝑖𝜔 1
2
𝑖𝜔 2
1
2
1
2
𝑖
( 𝜔 1
+𝜔 2
)
División de un número complejo de forma exponencial
1
2
1
𝑖𝜔
1
2
𝑖𝜔
2
1
2
1
2
𝑖
( 𝜔 1
−𝜔 2
)
Radicación de un número complejo de forma exponencial
𝑛
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
𝑖𝜔
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
𝜔+ 2 𝑘𝜋
𝑛
𝑖
17) Forma polar de un complejo
De la forma exponencial, podemos escribir la forma polar, siendo:
Sabemos que un complejo se escribe: 𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑒
𝑖𝜔
, entonces
𝑖𝜔
Potencia de un número complejo de forma exponencial
𝑛
𝑛
𝑖𝑛𝜔
𝑛
Producto de un número complejo de forma exponencial
1
2
1
2
𝑖(𝜔
1
+𝜔
2
)
1
2
1
2
1
2
División de un número complejo de forma exponencial
1
2
1
2
𝑖
( 𝜔 1
−𝜔 2
)
1
2
1
2
1
2
Radicación de un número complejo de forma exponencial
𝑛
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
𝜔+ 2 𝑘𝜋
𝑛
𝑖
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
18) Logaritmo de un complejo
El logaritmo neperiano o natural de un complejo se determina a partir de la forma exponencial.
Dado 𝑧 = 𝜌𝑒
𝑖(𝜔+ 2 𝜋𝑛)
entonces ln 𝑧 = ln(𝜌 ∙ 𝑒
𝑖(𝜔+ 2 𝜋𝑛)
ln 𝑧 = ln(𝜌 ∙ 𝑒
𝑖(𝜔+ 2 𝜋𝑛)
) = ln 𝑧 = ln 𝜌 + 𝑙𝑛𝑒
𝑖(𝜔+ 2 𝜋𝑛)
= ln 𝜌 + 𝑖(𝜔 + 2 𝜋𝑛) ∙ ln 𝑒
ln 𝑧 = ln 𝜌 + 𝑖
Nota aclaratoria:
Recordar que, para la
matemática la forma
polar y trigonométrica
es la misma, se hace la
diferencia cuando esta-
mos trabajando en
electricidad o electró-
nica, dado que, la parte
importante de escribir
un complejo es el
módulo y el argumento.
𝑘 = 3 ⇒ √
𝑧
𝑎
4
= 3 (cos (
47
30
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
47
30
𝜋))
b) √
𝑧
𝑏
5
= √ 32
5
(cos (
225°+ 2 𝑘𝜋
5
) + 𝑖 ∙ sen (
225°+ 2 𝑘𝜋
5
)) 𝜔 = 225° ⇒ 𝜔 =
5 𝜋
4
√𝑧 𝑏
5
= 2 (cos (
5 𝜋
4
5
) + 𝑖 ∙ sen (
5 𝜋
4
5
)) ⇒ √𝑧 𝑎
5
= 2 (cos (
5 + 8 𝑘
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 𝑘
20
𝜋))
𝑘 = 0 ⇒ √𝑧 𝑏
5
= 2 (cos (
5 + 8 ∙ 0
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 ∙ 0
20
𝜋)) = 2 (cos (
1
4
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
1
4
𝜋))
𝑘 = 0 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
1
4
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
1
4
𝜋))
𝑘 = 1 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
5 + 8 ∙ 1
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 ∙ 1
20
𝜋)) = 3 (cos (
13
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13
20
𝜋))
𝑘 = 1 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
13
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13
20
𝜋))
𝑘 = 2 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
5 + 8 ∙ 2
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 ∙ 2
20
𝜋)) = 3 (cos (
21
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
21
20
𝜋))
𝑘 = 2 ⇒ √𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
21
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
21
20
𝜋))
𝑘 = 3 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
5 + 8 ∙ 3
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 ∙ 3
20
𝜋)) = 3 (cos (
29
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
29
20
𝜋))
𝑘 = 3 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
29
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
29
20
𝜋))
𝑘 = 4 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
5 + 8 ∙ 4
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
5 + 8 ∙ 4
20
𝜋)) = 3 (cos (
37
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
37
20
𝜋))
𝑘 = 4 ⇒ √
𝑧
𝑏
5
= 2 (cos (
37
20
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
37
20
𝜋))
c) √
𝑧
𝑐
2
= √
21
2
(cos (
93°17´+ 2 𝑘𝜋
2
) + 𝑖 ∙ sen (
93°17´+ 2 𝑘𝜋
2
)) 𝜔 = 93°17´ = 93 ,28° ⇒ 𝜔 ≅
13 𝜋
25
√
𝑧
𝑐
2
= √ 21
2
(cos (
13 𝜋
25
2
) + 𝑖 ∙ sen (
13 𝜋
25
2
)) ⇒ √
𝑧
𝑐
2
= 3 (cos (
13 + 50 𝑘
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13 + 50 𝑘
50
𝜋))
𝑘 = 0 ⇒ √
𝑧
𝑐
2
= √ 21
2
(cos (
13 + 50 ∙ 0
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13 + 50 ∙ 0
50
𝜋)) = √ 21
2
(cos (
13
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13
50
𝜋))
𝑘 = 0 ⇒ √
𝑧
𝑐
2
≅ √ 21
2
(cos (
13
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13
50
𝜋))
𝑘 = 1 ⇒ √
𝑧
𝑐
2
= √ 21
2
(cos (
13 + 50 ∙ 1
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
13 + 50 ∙ 1
50
𝜋)) = √ 21
2
(cos (
63
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
63
50
𝜋))
𝑘 = 1 ⇒ √𝑧 𝑐
2
≅ √ 21
2
(cos (
63
50
𝜋) + 𝑖 ∙ sen (
63
50
𝜋))
Tabla de operaciones con números complejos
Forma par ordenado
1
2
𝑧 1
2
=
( 𝑎 + 𝑐 , 𝑏 + 𝑑
)
𝑧 1
− 𝑧
2
= (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)
𝑧
1
∙ 𝑧
2
=
( 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 , 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
) 𝑧
− 1
= (
𝑎
𝑎
2
2
,
−𝑏
𝑎
2
2
)
𝑧
1
𝑧 2
= (
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐
2
2
,
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐
2
2
)
Forma binómica 𝑧
1
2
𝑧
1
2
= (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
𝑧
1
− 𝑧
2
= (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
𝑧 1
𝑧
2
=
( 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
)
𝑐
2
2
( 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
)
𝑐
2
2
𝑖
𝑧 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝜌 ∙ (cos(𝜔) + 𝑖 ∙ sen(ω)) = 𝜌 ∙ 𝑒
𝑖𝜔
2
2
cos(𝜔) =
sen(ω) =
tg(ω) =
Forma trigonométrica 𝑧
1
1
∙ (cos
1
ω
1
2
2
∙ (cos
2
ω
2
1
2
1
2
[cos(𝜔
1
2
) + 𝑖 ∙ sen(𝜔
1
2
)]
𝑧
1
𝑧
2
=
𝜌
1
𝜌
2
[ cos(𝜔
1
2
) + 𝑖 ∙ sen(𝜔
1
2
)
]
𝑛
𝑛
[
cos
)]
√
𝑧
𝑛
= √
𝜌
𝑛
(cos (
𝜔 + 2 𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖 ∙ sen (
𝜔 + 2 𝑘𝜋
𝑛
))
Forma polar 𝑧 = 𝜌 𝜔
𝑛
𝑛
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= (𝜌
1
∙ 𝜌
2
) 𝜔
1
2
1
2
1
2
1
2
𝑧
1
𝑛
⁄
= 𝜌
1
𝑛
⁄
𝜔 + 2 𝑘𝜋
𝑛
Forma exponencial 𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑒
𝑖𝜔
𝑛
1
𝑛
⁄
𝑛
𝑛
𝑖𝑛𝜔
𝑧
1
∙ 𝑧
2
= (𝜌
1
∙ 𝜌
2
)𝑒
𝑖
( 𝜔 1
+𝜔 2
)
1
2
1
2
𝑖(𝜔
1
−𝜔
2
)
1
𝑛
⁄
1
𝑛
⁄
𝜔+ 2 𝑘𝜋
𝑛
𝑖
ln 𝑧 = ln 𝜌 + 𝑖(𝜔 + 2 𝜋𝑛)
