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Actividad de aprendizaje 1. Resolviendo ecuaciones lineales con Gauss, Eliminación de Gauss-Jordan, Inversa y Cramer
Tipo: Apuntes
1 / 18
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Aplicar la definición de los sistemas de ecuaciones lineales y determinantes, así como las matrices, y operarlas para la resolución de problemas algebraicos con incógnitas.
El método de eliminación gaussiana es la base principal para poder encontrar los valores de un sistema de ecuaciones. De acuerdo al libro de Álgebra Superior de Ariza et al (2017) explican que resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de Eliminación Gaussiana, consiste en transformar la matriz del sistema a su forma escalonada y, después de llevar a su sistema equivalente, resolver por sustitución hacia arriba para obtener todas las incógnitas. X + 4 Y − Z = 6 2 X + 5 Y − 7 Z =− 9 3 X − 2 Y + Z = 2 1 + 4 − 1 = 6 2 + 5 − 7 =− 9 3 − 2 + 1 = 2 F2= (-2)F1 F 1 + 4 − 1 = 6 0 − 3 − 5 =− 21 3 − 2 + 1 = 2 F3= (-3)F1 F 1 + 4 − 1 = 6 0 − 3 − 5 =− 21 0 − 14 + 4 =− 16 F3= (-4.667)F2 F 1 + 4 − 1 = 6 0 − 3 − 5 =− 21 0 0 + 27.33= 82 {
F3= (-1)F1 F 1 + 1 + 1 = 6 0 − 2 + 1 =− 1 0 − 2 − 4 =− 16 F3= (-1)F2 F 1 + 1 + 1 = 6 0 − 2 + 1 =− 1 0 0 − 5 =− 15 {
Variable z: − 5 z ¿− 15 z ¿ 3 Variable y: − 2 y ¿− 1 − z − 2 y ¿− 1 −( 3 ) − 2 y ¿− 1 − 3 − 2 y ¿ − 4 y ¿ 2 Variable x: x ¿ 6 − z − y x ¿ 6 −( 3 )−( 2 ) x ¿ 6 − 3 − 2 x ¿ 1 RESULTADO OPERACIÓN 1: X=
Y= Z=
Por otra parte, tenemos el método de Eliminación Gauss-Jordan que es la continuación del método anterior. Del mismo modo Ariza et al (2017) comentan que resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de Eliminación Gauss-Jordan consiste en llevar la matriz del sistema a su Forma Escalonada Reducida, para resolver por sustitución. Ahora la idea es dejar únicamente la diagonal de coeficientes de 1 y que en la parte superior se muestren ceros. 3 X + Y − Z = 1 X + 2 Y − Z = 1 X + Y + 2 Z =− 17 3 + 1 − 1 = 1 1 + 2 − 1 = 1 1 + 1 + 2 =− 17 F1/ (3) F 1
F2= (-1)F1 F 1
F3= (-1)F1 F
F1=-(
).F2 F 1 0 0 =
RESPUESTA OPERACIÓN 1 X ¿
OPERACIÓN 2 7 X + 3 Y − 4 Z =− 35 3 X − 2 Y + 5 Z = 38 X + Y − 6 Z =− 27 7 + 3 − 4 =− 35 3 − 2 + 5 = 38 1 + 1 − 6 =− 27 F1/ (7) F 1
F2= (-3)F1 F
F3= (-1)F1 F 1
F2/ (
) F 1
).F2 F 1
F3/(
) F 1
F2=-(
).F3 F 1
F1=-(
).F3 F
F2=(-2)F1F
F3=(-3)F1F
F2/(-3)F
F3=-(-14)F2F
F3/(
)F
F2=-(
)F3F
F1=-(-1)F3F
F1=(-4)F2F
F1=(-4)F2F A − 1 =¿
− 1
. B =
OPERACIÓN 2: x + y − z = 6 x − y + 2 z = 5 x − y − 3 z =− 10 A.X=B A =
Encontramos la matriz inversa usando operaciones elementales. Para ello aumentamos la matriz dada con una matriz identidad
F2=(-1)F1F
F1=(-1)F2F A − 1 =
− 1
. B =
La regla de Cramer es un teorema que se aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales. El nombre de este teorema se debe a Gabriel Cramer, que fue quien publicó este método en uno de sus tratados. Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer. (Pérez, 2010) 2 x − y + 3 z =− 1 x − 3 y − 2 z =− 12 3 x − 2 y − z =− 5 Δ =
Regla de Sarrus
|
3 − 2 − 1 + 3 − 2 | 2(-3)(-1)+(-1)(-2).3+3.1.(-2)-3.(-3).3-(-2)(-2).2-(-1).1.(-1)= 24 Δ = |
|
|
− 5 − 2 − 1 | Regla de Sarrus Δ 1 = |
− 5 − 2 − 1 − 5 − 2 | (-1).(-3).(-1)+(-1).(-2).(-5)+3.(-12).(-2)-(-5).(-3).3-(-2).(-2).(-1)-(-1).(-12).(-1)= Δ 1 = |
− 5 − 2 − 1 |
|
3 − 5 − 1 | Regla de Sarrus Δ 2 = |
3 − 5 − 1 + 3 − 5 | 2.(-12).(-1)+(-1).(-2).3+3.1.(-5)-3.(-12).3-(-5).(-2).2-(-1).1.(-1)= 102 Δ 2 = |
3 − 5 − 1 |
Regla de Sarrus Δ = |
4 + 4 − 3 + 4 + 4 | 2.(-8).(-3)+4.(-9).4+3.10.4-4.(-8).3-4.(-9).2-(-3).10.4= Δ = |
|
|
2 + 4 − 3 | Regla de Sarrus Δ 1 = |
| 3.(-8).(-3)+4.(-9).2+3.0.4-2.(-8).3-4.(-9).3-(-3).0.4= Δ 1 = |
2 + 4 − 3 |
|
4 + 2 − 3 | Regla de Sarrus Δ 2 = |
4 + 2 − 3 + 4 + 2 | 2.0.(-3)+3.(-9).4+3.10.2-4.0.3-2.(-9).2-(-3).10.3= 78 Δ 2 = |
4 + 2 − 3 |
|
| Regla de Sarrus Δ 3 = |
4 + 4 + 2 + 4 + 4 | 2.(-8).2+4.0.4+3.10.4-4.(-8).3-4.0.2-2.10.4= Δ 3 = |
4 + 4 + 2 |
x = Δ 1 ∕ Δ =
y = Δ 2 ∕ Δ =
z = Δ 3 ∕ Δ =
RESPUESTA OPERACIÓN 2: X =¿
