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Estructuras algebraicas
Natalia Boal Mar´ıa Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza
1 Relaciones binarias
1.1 Recordatorio
Definici´on. Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B al conjunto A × B = { (a, b) | a ∈ A , b ∈ B }.
En particular, puede definirse el producto cartesiano de un conjunto por s´ı mismo. As´ı, dado un conjunto A se puede definir
A × A = { (a 1 , a 2 ) | a 1 ∈ A , a 2 ∈ A }.
Observaciones.
- (a 1 , a 2 ) 6 = (a 2 , a 1 ).
- En general, dados n conjuntos A 1 ,... , An se define producto cartesiano A 1 × · · · × An = { (a 1 ,... , an) | ai ∈ Ai, ∀i }. Los elementos (a 1 ,... , an) se dicen n−tuplas.
1.2 Relaciones de orden
Definici´on. Dado un conjunto A se llama relaci´on de orden a toda relaci´on binaria R, definida sobre A que satisface las propiedades:
- Reflexiva : a R a ∀ a ∈ A
- Antisim´etrica : a R b ∧ b R a ⇒ a = b
- Transitiva : a R b ∧ b R c ⇒ a R c
Definici´on. Dado un conjunto A, una relaci´on R de orden definida sobre A es un orden total si ∀(a 1 , a 2 ) ∈ A × A, a 1 R a 2 ∨ a 2 R a 1.
En caso contrario se trata de un orden parcial.
1.3 Relaciones de equivalencia
Definici´on. Dado un conjunto A, se llama relaci´on de equivalencia sobre A a toda relaci´on binaria R verificando las propiedades:
- Reflexiva : a R a, ∀ a ∈ A.
- Sim´etrica : a R b ⇒ b R a.
- Transitiva : a R b ∧ b R c ⇒ a R c.
Definici´on. Sea un conjunto A y R una relaci´on de equivalencia definida sobre ´el. Para todo elemento a ∈ A se define la clase de equivalencia de a como el conjunto
[ a ] = { b ∈ A / a R b }.
Propiedades.
- La clase de equivalencia de un elemento est´a formada por todos los elementos del conjunto que est´an relacionados con ´el y, por tanto, es independiente del elemento escogido para representarla. As´ı, a R b ⇔ [ a ] = [ b ].
- Las clases de equivalencia son subconjuntos no vac´ıos de modo que cada elemento del conjunto A pertenece a una sola clase de equivalencia.
- Se dice que la relaci´on R establece una partici´on del conjunto A en clases de equi- valencia.
Definici´on. El conjunto formado por las clases de equivalencia definidas en A por R se llama conjunto cociente y se representa por A/R.
2 Grupos
2.1 Definiciones y propiedades
Definici´on. Sea G un conjunto no vac´ıo y ∗ una operaci´on binaria interna definida en G que verifica las propiedades:
- Asociativa: g 1 ∗ (g 2 ∗ g 3 ) = (g 1 ∗ g 2 ) ∗ g 3 , ∀g 1 , g 2 , g 3 ∈ G.
- Elemento neutro: existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g, ∀g ∈ G.
- Elemento sim´etrico: para cada g ∈ G existe g′^ ∈ G tal que g ∗ g′^ = g′^ ∗ g = e.
Si G es abeliano la tabla del grupo es sim´etrica.
Definici´on. Si g es un elemento de un grupo finito G, llamaremos orden de g al menor entero positivo n tal que gn^ = 1. Si G tiene orden infinito se define el orden de g de la misma manera, siempre que exista; en caso contrario se dice que g tiene orden infinito.
Proposici´on. Sea G un grupo finito y g ∈ G de orden n. Entonces gs^ = 1 si y s´olo si s es un m´ultiplo de n.
2.2 Homomorfismos de grupos
Definici´on. Sean G y G′^ dos grupos. Una aplicaci´on f : G −→ G′^ es un homomorfismo de grupos si para todo g 1 , g 2 ∈ G se cumple
f (g 1 g 2 ) = f (g 1 ) f (g 2 ).
Observaci´on. Cuando escribimos g 1 g 2 tenemos que tener claro que estamos “multipli- cando” con la operaci´on definida en G que le confiere el car´acter de grupo. An´alogamente, al hacer f (g 1 ) f (g 2 ) “multiplicamos” con la operaci´on definida en G′.
Propiedades. Sea f : G −→ G′^ un homomorfismo de grupos.
- Sean 1G y 1G′ los elementos neutros de G y G′^ respectivamente. Entonces, f (1G) = (^1) G′^.
- Para todo g ∈ G se tiene (f (g))−^1 = f (g−^1 ).
- Sean G′′^ un grupo y f : G′^ −→ G′′^ un homomorfismo de grupos. Entonces
(h ◦ f ) : G → G′′
un homomorfismo de grupos.
Definici´on. Sea f : G −→ G′^ un homomorfismo de grupos. Se define el n´ucleo de un homomorfismo como el conjunto
Ker f = { g ∈ G / f (g) = 1G′ }
y el conjunto imagen
Im f = { g′^ ∈ G′^ / existe g ∈ G tal que f (g) = g′^ }.
Proposici´on. Sea f : G −→ G′^ un homomorfismo de grupos. Entonces
- f es inyectiva ⇐⇒ Ker f = { (^1) G}.
- f es suprayectiva ⇐⇒ Im f = G′.
Definici´on. Un isomorfismo es un homomorfismo de grupos f : G −→ G′^ biyectivo. Escribiremos G ∼= G′.
2.3 Subgrupos. Clases laterales
Definici´on. Sea (G, ·) un grupo, se llama subgrupo de G a todo subconjunto de G no vac´ıo, S, tal que
a) para todo g 1 , g 2 ∈ S, g 1 g 2 ∈ S,
b) (S, ·) es un grupo.
Observaci´on. Si S es un subgrupo de G se tiene que 1G ∈ S y adem´as si g ∈ S entonces g−^1 ∈ S.
Caracterizaci´on de subgrupo. (S, ·) es un subgrupo de (G, ·) si y s´olo si
a) ∅ 6 = S ⊆ G,
b) para todo g 1 , g 2 ∈ S, g 1 g 2 − 1 ∈ S.
Si S es un subgrupo de G se puede definir la relaci´on en G
g 1 Rd g 2 ⇐⇒ g 1 g 2 − 1 ∈ S, g 1 , g 2 ∈ G.
La relaci´on Rd es de equivalencia y permite establecer una partici´on en el conjunto G.
Definici´on. Dado g ∈ G el conjunto
Sg = { g 1 ∈ G / g 1 = sg, s ∈ S}
se dice clase (lateral) por la derecha de S respecto de g.
Observaci´on. Se tiene que Sg = { g 1 ∈ G / g 1 Rd g}
luego Sg es la clase de equivalencia del elemento g considerando la relaci´on Rd.
Sea S un subgrupo finito de y {s 1 ,... , sm} los distintos elementos de S. Los distintos elementos de la clase lateral Sg son
s 1 g, s 2 g,... , smg
luego, el n´umero de elementos de Sg es m, esto es, |S| (el orden de S).
Proposici´on. Sean S un subgrupo de G y g 1 , g 2 ∈ G. Las clases laterales por la derecha Sg 1 y Sg 2 o bien son id´enticas o bien no tienen ning´un elemento en com´un.
De forma an´aloga, podemos definir en G la relaci´on de equivalencia
g 1 Ri g 2 ⇐⇒ g 2 − 1 g 1 ∈ S, g 1 , g 2 ∈ G.
Definici´on. Dado g ∈ G el conjunto
gS = { g 1 ∈ G / g 1 = gs, s ∈ S}
- Todo grupo c´ıclico es abeliano.
- Todo subgrupo de un grupo c´ıclico es tambi´en c´ıclico.
- Si G tiene orden infinito, gn^ = 1 s´olo si n = 0.
2.5 Grupos sim´etrico
Definici´on. Sea A = {a 1 ,... , an} un conjunto con n elementos. Una permutaci´on de A es una aplicaci´on biyectiva σ : A → A.
Denotamos por SA el conjunto de todas las permutaciones de A. Como la composici´on de permutaciones es tambi´en una permutaci´on y adem´as se cumplen las propiedades:
- asociativa: σ 1 ◦ (σ 2 ◦ σ 3 ) = (σ 1 ◦ σ 2 ) ◦ σ 3 para toda permutaci´on σ 1 , σ 2 , σ 3
- elemento neutro: existe Id (la permutaci´on identidad) tal que σ ◦ Id = Ig ◦ σ = σ
- elemento inverso: como σ es biyectiva existe σ−^1 y σ ◦ σ−^1 = σ−^1 ◦ σ = Id
se verifica que (SA, ◦) es un grupo y se dice grupo sim´etrico de A.
Para simplificar, consideraremos A = { 1 , 2 ,... , n}. Denotaremos por Sn al conjunto de permutaciones de { 1 , 2 ,... , n} y σ ◦ τ lo escribiremos como στ. Se tiene que SA ∼= Sn.
Definici´on. (Sn, ◦) se dice grupo sim´etrico de grado n.
Una permutaci´on concreta σ ∈ Sn queda determinada especificando las im´agenes de los elementos: 1, 2 ,... , n
σ =
1 2... n σ(1) σ(2)... σ(n)
Observaciones
- Orden de Sn : |Sn| = n!
- El grupo sim´etrico de grado 2, S 2 = {Id, σ} con
σ =
es conmutativo.
- Sn con n ≥ 3 no es conmutativo. Para comprobarlo, consideramos las permutaciones
σ =
1 2 3 4... n 1 3 2 4... n
, τ =
1 2 3 4... n 3 2 1 4... n
Se tiene que
σ ◦ τ =
1 2 3 4... n 2 3 1 4... n
6 = τ ◦ σ =
1 2 3 4... n 3 1 2 4... n
Definici´on. Un elemento j se denomina fijo por una permutaci´on σ ∈ Sn si σ(j) = j.
Definici´on. Se dice que una permutaci´on σ ∈ Sn es un ciclo de orden k o k−ciclo dado por i 1 , i 2 ,... , ik, con ij distintos, si
σ(i 1 ) = i 2 , σ(i 2 ) = i 3 ,... , σ(ik− 1 ) = ik, σ(ik) = i 1 ,
y deja fijos el resto de elementos. Escribiremos σ = (i 1 i 2... ik).
Definici´on. Se dice que dos ciclos de Sn (i 1 i 2... ik) y (j 1 j 2... j`) son disjuntos si act´uan sobre elementos distintos.
Proposici´on. Toda permutaci´on σ ∈ Sn con σ 6 = Id se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.
Observaci´on. Los ciclos disjuntos conmutan y, salvo reordenaci´on, la descomposici´on de toda permutaci´on como producto de ciclos disjuntos es ´unica.
Proposici´on. Sea σ ∈ Sn dada por σ = τ 1 τ 2... τm con τi ciclos disjuntos de ´ordenes ki, entonces orden σ = m.c.m (k 1 , k 2 ,... , km).
Definici´on. Una trasposici´on es un ciclo de orden 2.
Proposici´on. Todo ciclo se puede expresar como producto de trasposiciones (no nece- sariamente disjuntas).
Observaci´on. La descomposici´on de un ciclo τ = (i 1 i 2... ik) como producto de trasposiciones no es ´unica. Por ejemplo, τ admite, al menos, las descomposiciones
τ = (i 1 i 2 ) (i 2 i 3 )... (ik− 1 ik),
τ = (i 1 ik) (i 1 ik− 1 )... (i 1 i 2 ).
Proposici´on. Si la permutaci´on σ admite las descomposiciones como producto de trasposiciones σ = αp... α 2 α 1 = βq... β 2 β 1 , entonces p y q tienen la misma paridad.
Definici´on. Una permutaci´on σ ∈ Sn se dice par si se descompone en un n´umero par de trasposiciones. Si el n´umero de trasposiciones en el que se descompone es impar se dice impar.
Observaci´on. La identidad es una permutaci´on par.
Definici´on. Se define la aplicaci´on signo sgn : Sn → {+1, − 1 } tal que
sgn (σ) = +1, si σ es par sgn (σ) = − 1 , si σ es impar.
Se cumple que:
- sgn (Id) = 1.
- sgn (στ ) = sgn (τ σ) = sgn (σ) sgn (τ ).
Proposici´on. Denotamos por U (A) al conjunto de elementos regulares de A. Entonces (U (A), · ) es un grupo y se dice grupo multiplicativo.
Definici´on. Un elemento a ∈ A se dice divisor de cero si existe b ∈ A (no nulo) tal que ab = 0 ´o ba = 0.
Definici´on. Se llama cuerpo a toda terna (IK, +, ·) donde IK es un conjunto no vac´ıo, + y · dos operaciones binarias internas tales que:
- (IK, +) es un grupo conmutativo,
- (IK \ { 0 }, ·) es un grupo conmutativo,
- Propiedad distributiva: para todo a, b, c ∈ IK
a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc
Observaci´on. Todo cuerpo tiene al menos dos elementos (0 y 1) y se puede definir como un anillo conmutativo en el que todo elemento no nulo es regular.
