Actividad 1 - Matrices & Determinantes, Ejercicios de Álgebra Lineal

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Nombre: Matricula: Grupo: K Materia: Álgebra Lineal Nombre del asesor: Dr. Agustin Leobardo Herrera May Actividad: 1. Matrices & Determinantes Ciudad y fecha: 13 de enero de 2019

Actividad de aprendizaje 1. Matrices y determinantes.

1. Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones es lineal: a) 3x-ky-7z= b) x+ᴨy+ez=log5ᴨy+ez=log5y+ᴨy+ez=log5ez=log c) 2x+ᴨy+ez=log56y-5yz=- Solución: a). Se tiene que la ecuación a es lineal, para ello en la ecuación tomamos como variable z 3x=ky+7(z+5) Invertimos la igualdad en 3 x = k y + 7 (z+5) con el fin de pasar z del otro lado. 3 x = K y+7 (z + 5) es equivalente a k y + 7 (z + 5) = 3 x: K y + 7 (z + 5) = 3 x Ahora escribimos el polinomio lineal en el lado izquierdo en forma estándar. Expandir cada término de la izquierda: 7 z + 35 + k y = 3 x Restamos 35 + K y de ambos lados: 7 z = -35 + 3x – k y Resolvemos z. Dividimos ambos lados por 7: Obtenemos como resultado: que es una ecuación lineal. Z=3x/7-ky/

b). x+ᴨy+ez=log5ᴨy+ez=log5y+ᴨy+ez=log5ez=log5 No es una ecuación lineal. El hecho de que tenga exponencial nos

está indicando que no es una ecuación lineal. c). 2x+ᴨy+ez=log56y-5yz=-46 No es una ecuación lineal, porque el producto de dos incógnitas es de segundo grado.

2. Determinar si: a) u = (4, 6, -7, 5)

La solución general de la ecuación 5 x −^2 y +^3 z^ =^31 , se obtiene como se indica: Se asignan valores arbitrarios, o parámetros, a las variables libres, en este caso, y = a, z = b. se sustituyen en la ecuación obteniendo: 5 x − 2 a + 3 b = 31 , 5 x = 31 + 2 a − 3 b , x = 31 + 2 a − 3 b 5 Entonces x =^ 31 + 2 a − 3 b 5 , y = a, z = b o u = ( 31 + 2 a − 3 b 5 , a, b). Es la solución general.

4. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de Gauss: 4 x + 3 y =− 4 5 x − 2 y = 41 3 x + 7 y = 6 9 x − 3 y = 90 6 x + 8 y = 68 13 x + 6 y = 68 Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: 4 3 − 4 5 − 2 41 Dividimos el 1-ésimo por 4: 1 0.75 − 1 5 − 2 41 De la segunda sustraigamos la primera línea, multiplicada por 5: 1 0.75 − 1 0 −5.75 46 Dividimos 2-ésimo por -5. 1 0.75 − 1 0 1 − 8 De la primera sustraigamos la 2 línea, multiplicada por 0.75:

Resultado: x=5, y=- 3x +ᴨy+ez=log5 7y = 6 9x – 3y = 90 Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por el método de eliminación de Gauss: 3 7 6 9 − 3 90 Dividimos el 1-ésimo por 3: 1 7 / 3 2 9 − 3 90 De la segunda sustraigamos la primera multiplicada por 9: 1 7 / 3 2 0 − 24 72 Dividimos el 2-ésimo por -24: 1 7 / 3 2 0 1 − 3 De la primera sustraigamos la segunda línea multiplicada por 7/3: 1 0 9 0 1 − 3 Resultado: x=9, y=- 6x +ᴨy+ez=log58y = 68 13x +ᴨy+ez=log5 6y = 68 Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por el método de eliminación de Gauss:

4 x 1 + 4 x 2 − 5 x 3 = 85 − 6 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 =− 57 Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss: (

− 57 ) Dividimos el 1-ésimo por 5: (

− 57 ) De 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 4,-6: (

) Dividimos el 1-ésimo por 9.6: (

−130.2 ) De13filas sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, -11.4: (

28.6875) Dividimos el 3-ésimo por -3.1875: (

− 9 ) De la 1, 2 filas sustraigamos la 3 multiplicada por -23/48, -37/

(

− 9 ) Resultado x1=3, x2=7, x3=- b)^3 x 1 +^ x 2 +^7 x 3 =^31 10 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 =− 6 2 x 1 − 5 x 2 + 6 x 3 = 94 Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss: (

) Dividimos el 1-ésimo por 3: (

6 94 ) De 2, 3 sustraigamos la línea 1, multiplicada por 10, 2 (

4 / 3 220 / 3 ) Dividimos 2-ésimo por 2/3: (

4 / 3 220 / 3 ) Dela 1, 3 sustraigamos la segunda línea multiplicada por 1/3, -17/3: (

)

(

0 ) De la 1, 3 sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, 3. (

0 ) Dividimos la 3-ésima por 2/3: (

0 ) De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por -1/3, -2/3: (

0 ) Resultado x1=0, x2=0, x3= d)^10 x 1 +^4 x 2 +^3 x 3 =^31 − 4 x 1 + 16 x 2 + 7 x 3 = 48 8 x 1 + 8 x 2 − 2 x 3 =− 14 Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss: (

− 14 ) Dividir el 1-ésimo por 10:

(

− 14 ) De la 2, 3 filas sustraigamos la 1 multiplicada por -4, 8: (

−38.8) Dividimos el 2-ésimo por 17.6: (

−38.8 ) De la 1, 3 sustraigamos 2 multiplicada por 0.4, 4.8: (

−608.11) Dividimos el 3-ésimo por -73/11: (

−608.73) De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por 5/44, 41/ (

608.73 ) Resultado x1=57/73, x2=131.292, x3=608.

6. Realice los siguientes ejercicios: a)

[

4 7 2 − 5 ]

[

]

=[

19 − 99 38 72 ]

Solución: C1,1=22+(-3)(-2)+45+1(-3)= C1,2=23+(-3)(-4)+416+123= C1,3=24+(-3)3+48+13= C1,4=25+(-3)7+44+11= C2,1=42+7(-2)+216+(-5)(-3)= C2,2=43+7(-4)+28+(-5)23=- C2,3=44+73+28+(-5)3= C2,4=495+77+24+(-5)1=

7. Reducir a su forma escalonada y luego a su forma canónica por filas: a) A =

Intercambiamos la fila 3 por la fila 1 2 − 5 3 1 0 11 − 5 3 1 2

Restamos fila a la fila 3 1 −2.5 1.5 0. 0 11 − 5 3 0 2

Restamos 2xfila1 a la fila 4

Dividimos fila 2 entre 11 1 −2.5 1.5 0. 0 1 −0.455 0. 0 0

Restamos 5.5 por fila 2 de la fila 3 1 −2.5 1.5 0. 0 1 −0.455 0. 0 0

Restamos 9 por fila 9 a las fila 4 1 −2.5 1.5 0. 0 1 −0.455 0. 0 0

Intercambiamos fila 4 por fila 3 1 −2.5 1.5 0. 0 1 −0.455 0. 0 0

Dividimos fila 3 por 2. 1 −2.5 1.5 0. 0 1 −0.455 0. 0 0

Restamos 1.5 por fila 3 a la fila 1

Dividimos la 1 por 5 0 1 −0.6 0. 0 4 − 1 3 0 0

Restamos4 por la 1 de la 2 0 1 −0.6 0. 0 0 1.4 −0. 0 0

Restamos la 1 de la 4 0 1 −0.6 0. 0 0 1.4 −0. 0 0

Intercambiamos la 4 por la 2 0 1 −0.6 0. 0 0 3.6 −2. 0 0

Dividimos la 2 entre 3. 0 1 −0.6 0. 0 0 1 −0. 0 0

Restamos la 2 de la 3

Restamos 1.4 por la 2 de la 4 0 1 −0.6 0. 0 0 1 −0. 0 0

Dividimos la 3 por 1. 0 1 −0.6 0. 0 0 1 −0. 0 0

Restamos 0.889 por la 3 de la 4 0 1 −0.6 0. 0 0 1 −0. 0 0

Restamos 0.8 por la 3 de la 1 0 1 −0.6 0 0 0 1 −0. 0 0

Restamos-0.778 por la 3 de la 2 0 1 −0.6 0 0 0 1 0 0 0

Restamos -0.6 por la 2 de la 1

[

0 0 ] La matriz inversa no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0 b. [

− 3 ] Intercambiamos fila 2 por fila 1 [

− 3 ] Dividimos fila 1 entre 4 [

− 3 ] Multiplicamos 2 por fila 1 a la fila 3 [

−1.5 ] Intercambiamos fila 3 por la 2 [

−0.75 ] Multiplicamos fila 2 por 4. [

−0.75 ] Multiplicamos0.25 por la 2 a la 3

[

0 ] Multiplicamos 025or la 2 a la 1 [

0 ] La matriz no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0 c. [

2 ] Dividimos la 1 entre 2 [

2 ] Restamos -1 por fila 1 a la fila 2 [

2 ] Dividimos la 2 entre 3 [

2 ] Restamos la 3 de la 2 [

1 ]