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Resolucion de problemas de examen de algebra lineal de matrices, determinantea y sistemas de ecuaciones
Tipo: Exámenes
1 / 45
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1.-HALLAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR T TAL QUE:
SOLUCION:
Sea la transpuesta de T es:
efectuando la multiplicación de matrices se tiene
Igualando cada elemento se tiene:
Por lo tanto :
2.-HALLAR K TALQUE: DONDE :
SOLUCION.-
Tenemos por propiedades de determinante que
Resolviendo la ecuación tenemos
3.- DEMOSTRAR SI A ES UNA MATRIZ SIMETRICA ENTONCES ES SIMETRICO
SOLUCION.
Tenemos que A es simétrico entonces
Debo probar que :
4.-SI A , B Y C SON MATRICES CUADRADAS Y SE CUMPLEN QUE
HALLAR
SOLUCION.-
De la ecuación multiplicando por derecha por la matriz C tenemos:
Si reemplazando tenemos:
5.- SI A ES UNA MATRIZ IDEMPOTENTE Y DEMOSTRAR:
a).-
b).-
7.-RESOLVER:
SOLUCION:
La matriz ampliada es:
Sea reemplazando.
7.-Calcular:
Solución.-
Desarrollando el determinante:
Factorizando
Reemplazando:
8.- DISCUTIR EL SISTEMA DE ECUACIONES PARA K
Solución.- hallando el determinante
Desarrollando se tiene:
Simplificando
Reemplazando k=
10).- resolver
Solución
⇨
El sistema tiene infinitas soluciones
11 Discutir el sistema para valores de k
Solución
Factorizando la ecuación 2
Reemplazando k=
Con k=1 no existe solución
Con existen soluciones infinitas.
z z
x y z
y=a ; x-a-0=0 x=a
encontrando base de (T S)
(x,y,z)=(a,a,0)=a(1,1,0)
Base(S T)= )={(1,1,0)}
Dim(S T)=
Reemplazado en la ec. 1
Dim (T+S)=2+2-1 =
3 ) Hallar “a” y ”b” B={(1,1,0)(0,3,2)} talque
Sea Base Si S ={(x,y,z) 3 R /x+ay-bz=0}
Solución:
Encontrando el Sub Espacio Generado de B
1 (^1 ,^1 ,^0 ) 2 (^0 ,^3 ,^2 ) ( x , y , z )
Multiplicando los escalares y luego sumando los vectores:
z
y
x
2
1 2
1
1 z
x
Reemplazando:
X+3/2(z)=y ; x-y-3/2z=
Subespacio generado por B:
B ={(x,y,z)
3 R / x-y-3/2z=0}
S ={(x,y,z) 3 R /x+ay-bz=0}
el Sub Espacio Generado por B debe ser el mismo que “S”
x ay bz
x y z
Comparando coeficientes
b
a
4 )Si S ={(x,y,z)
3 R /x=y+z}
T ={(x,y,z) 3 (^) R /3x-3y=z}
Hallar la Dim(T+S)
Solución:
Dim(T+S)=Dim(T)+Dim(S)-Dim(T S)
Hallando la Dim(T)
3 x 3 y z z=b ; y=a a , b
b x a b x a
(x,y,z)= (a+ ab
b , , 3
)=a(1,1,0)+b( 3
,0,1)
Base(T)={(1,1,0),( 3
,0,1)}
Dim(T)= 2
Para S
x=y+z y=a ; z=b a , b
x=a+b
(x,y,z)=(a+b,a,b)=a(1,1,0)+b(1,0,1)
Base (S)={(1,1,0)(1,0,1)}
Dim(S)= 2
Para Dim(T S)
S x y z
T x y z
:
x y z
x y z
Comparando coeficientes
b
a
6.-Hallar la base y Dim.^1 2 3
S x,y,z IR /x 57 4 y
S x,y,z IR / 2 y 37 4 x
4
3 3
2
3 1
Solución
Base Para S 1 ∩ S 2
Previo el subespacio generado Para S 2
z
2 3 x y 2 x 3 z y 2 x y 37 0
x
1 , 2 , 0 0 , 3 , 1 x,y,z
2
2 2
1
1 2
S 2 : 2x-y+37 = 0
Para S 1 ∩ S 2
S 2 : 2x-y+37 = 0
S 1 : 4x + 2y – 37 = 0
escalonando
4x + 2y – 37 = 0
=
z = a
-2y + 2
a = 0 y = 2
a
4x+2( 2
a) -3a = 0
4x =
a x a
a
a,a 4
a, 8
x,y,z
Base 1 2
Base Para S 3 + S 4
Previo base Para S 3
S3 : x + 5z = 4y
y = a z = b x + 5b = 4a
x = 4a - 5b
BaseS 4 , 1 , 0 5 , 0 , 1
a 4 , 1 , 0 b) 5 , 0 , 1
x,y,z 4 a 5 b,ab
3
1
Base S 1 (^) S 2 (^) S 3 (^) S 4
Dim S 1 (^) S 2 (^) S 3 (^) S 4 = 3
7.- Para que valores de “c” IR son linealmente independientes.
Solucion.-
1 2
1 2
1 2
Hallando el determinante
4 c 0 c 0
1 c 1 c 1 2 c c 1 2 c c 1 c 1 c
1 c 1 c (^2222)
Reemplazando c = 0
1 2 1 2
1 2
CON C = 0 es L.D.
CON C 0 es L.I.
8. Para que valores de “K” los vectores son linealmente dependientes.
Solución:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Encontrando el determinante
k
k
k
= 0
Desarrollando
k 4
k
k 0 4
k 4
k 4
k
k 0 2
k 2
k k
3
3
2
Hallando el determinante
x x 2 x
1 x 2 x 1 x
x 2 x 2 x
Desarrollando
x[-x(2x - 1)-x(x + 2)]-2x[-x(1 - x)-x 2 ]-2x[(1 - x)(x + 2) -x(2x - 1)] = 0
x[-3x 2
-3x 2
3x 3
Resolviendo la ecuacion
X = 0
3x 2
x = 3
x 1 x 23
1 2
2
Con x = 0, x = 1, x = - 4/3 es L. D.
Con x 1, x 0, x -4/3 es L. I.
10. para que valores de “k” son L.I.
v 1 =( k, 1, 0), v 2 = (1, 0, k) v 3 = (1 + k, 1, k)
Sol.-
, (k, 1, 0) + 2 (1, 0, k) + 3 (1 + k, 1, k) = (0, 0, 0)
k 1 + 2 + (1 + k) 3 = 0 hallando el determinante
1 +^3 = 0^ k^1 1+k
k 2 + k 3 = 0 1 0 1 = 0
0 k k
Desarrollando
k -k -1 k +(1+k) k = 0
-k 2
0 = 0
Para todo k Є IR es L.D. puesto que el determinante siempre es cero
k Є IR para que sean L.I.
otro método tenemos
k 1 + 2 (1 + k) 3 = 0
1 +^3 = 0^ (-k)
k 2 + k 3 = 0
1 +^3 = 0^1 +^3 = 0
2 +^3 = 0^ (-k) N^2 +^3 = 0
k 2 + k 3 = 0 1+ 0 = 0
k Є IR es L.D.
k Є IR para que sean L.
11. demostrar que los sub espacios:
