`
Algebra Lineal (II) Curs 2014/2015
Grau de F´ısica (i doble titulaci´o) U.A.B.
1.– Q¨uestions.
a) Sabent que f´es un endomorfisme del l’espai vectorial Vamb polinomi caracter´ıstic
pf(x) = x4−1,
respon les seg¨uents preguntes:
(a) Quina ´es la dimensi´o de V?
(b) Suposant que V´es un C-espai vectorial, fdiagonalitza? Per qu`e?
(c) Suposant que V´es un R-espai vectorial, fdiagonalitza? Per qu`e?
b) Si V´es un espai vectorial complex amb una forma herm´ıtica h | i, una de les seg¨uents
igualtats ´es certa per a tot u, v. Decideix quina ´es i demostra-la.
hu+iv|u+ivi+hu−iv|u−ivi= 2||u||2+ 2||v||2(1)
hu+iv|u+ivi+hu−iv|u−ivi= 2||u||2+ 4 Re(hu|vi) (2)
Soluci´o: a) (a) La dimensi´o ´es igual al grau del polinomi caracter´ıstic, 4, (b) El poli-
nomi caracter´ıstic te quatre arrels complexes diferents, llavors diagonalitza. (c) Nom´es
te dues arrels reals de multiplicitat 1, no diagonalitza. b) La correcta ´es la primera.
Desenvolupem utilitzant les propietats dels productes herm´ıtics i ja ho tenim.
2.– Calculeu Ansi A=
−1 1 1
1−1 1
1 1 −1
.
Soluci´o: La matriu Ate polinomi caracter´ıstic pA(x) = −(x3+ 3x2−4) = −(x−
1)(x+ 2)2. Llavors te com a valors propiss 1i−2, aquest amb multiplicitat 2. Intentem
trobar una base de vectors propis. Pel valor propi 1resolem (A−I)v= 0 i trobem,
per exemple, v1= (1,1,1). Fent el mateix pel valor propi −2trobem vectors propis
v2= (1,0,−1) iv3= (0,1,−1). Els vectors v1, v2, v2formen una base de vectors propis
(no ´es ´unica). Llavors Adiagonalitza i
110
101
1−1−1
−1
·A·
110
101
1−1−1
=
100
0−2 0
0 0 −2
.
Tenim que
An=
110
101
1−1−1
1 0 0
0 (−2)n0
0 0 (−2)n
110
101
1−1−1
−1
.
Fent els c`alculs i posant a= (−2)nresulta
An=1
3
2a+ 1 −a+ 1 −a+ 1
−a+ 1 2 a+ 1 −a+ 1
−a+ 1 −a+ 1 2 a+ 1
=(−2)n
3
2−1−1
−1 2 −1
−1−1 2
+1
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
.
