¡Descarga Examen Primavera 2014: Ejercicios de Álgebra Lineal - Prof. 57 y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Exercici 1.
a) Expressa, en forma polar, el nombre complex z, el seu oposat i el seu conjugat.
z =− 2 − 2 i
b) Calcula les arrels sisenes del complex següent: z = − 1 (proporciona els resultats en
forma polar i binòmica)
Solució:
a) Operem amb el nombre z, recordant, tal com s´explica al requadre gris de la pàgina
17, que i^2 =− 1 :
z =− 2 − 2 i
Argument: (^2 ) (^2 )^822
m = −^2 +−^2 = =
Mòdul: 180 º ( 1 ) 180 º 45 º 180 º 135 º 225 º
α = arctg arctg
z = − 2 − 2 i = (^22225) º
Oposat:
− z = 2 + 2 i
Argument: m = 2 2 + 22 = 8 = 2 2
Mòdul: 1 45 º
α= arctg = arctg =
− z = 2 + 2 i = (^2245) º
Conjugat:
z =− 2 + 2 i
Argument: (^2 ) ( )^2
m = −^2 +^2 = =
Mòdul: 180 º ( 1 ) 180 º 45 º 180 º 135 º
α = arctg arctg
z = − 2 + 2 i = (^22135) º
Per tant:
z = − 2 − 2 i = (^22225) º
− z = 2 + 2 i = (^2245) º
z = − 2 + 2 i = (^22135) º
b) Escrivim el complex z =− 1 en forma polar tal com s´explica a l´apartat 3.4, pàgina
27 del material imprès, sobre la forma polar dels nombres complexos:
( 1 )^20211
+ = +^ =
arctg arctg
m
Observem que podem sumar o restar 180º ja que la part real és positiva i la part imaginària és nul·la, això és, 180º=-180º (apartat 3.4.1 de la pàgina 30 i exemple segon de la página 29 del material imprès).
Tenim, per tant, que 6 −^1 =^6 1180 º
Com que ens demanen les arrels sisenes hem de fer (observem que a l´apartat 3.6.1. de la pàgina 43 del material imprès es fa el mateix però amb les arrels cúbiques de la unitat):
6
(^6 180) º 180 º 360 º
z = = + k per a k=0, 1, 2, 3, 4, 5
Això és, el mòdul de les arrels és: r = 1
Els arguments de les arrels són
180 º + 360 º k
β = per a k=0, 1, 2, 3, 4, 5
- Si k=0, tenim que β 0 =^30 º
- Si k=1, tenim que β 1 = 30 º+ 60 º= 90 º
- Si k=2, tenim que β 2 = 30 º+ 120 º= 150 º
- Si k=3, tenim que β 3 = 30 º+ 180 º= 210 º
- Si k=4, tenim que β 4 = 30 º+ 240 º= 270 º
- Si k=5, tenim que β 4 =^30 º+^300 º=^330 º
Per tant, les sis arrels sisenes del complex z =− 1 són:
x y
Aquest sistema té solució: x=-2, y=-1. Per tant les coordenades de w en la base A són (-2, -1).
b) Per trobar la matriu de canvi de base de B a A cal expressar els vectors de la base de B en funció dels de la d’A. I això és justament la definició. Així tenim que la matriu de canvi de base M és:
M =
Exercici 3.
Considereu el sistema d’equacions lineals 2 3 2 3 2 ( 1) 2
x y z x ay z y x y a z z
a) Calculeu els valors del paràmetre a per als quals el sistema té més d’una solució. b) Resoleu el sistema per als casos a = − 3 i a = 0.
Resolució:
a) El sistema plantejat és igual, després de traspassar els termes de la dreta a l’esquera al sistema homogeni
En tractar-se d’un sistema homogeni, sempre compatible, el sistema tindrà més d’una solució quan el rang de la matriu de coeficients sigui inferior al nombre d’incògnites, 3 en el nostre cas.
La matriu dels coeficients és
Com que
i per tal que el rang(A) es mantingui igual a 2 el que hem de calcular és el valor de a que anul·la el determinant de la matriu A.
Per tant
Igualant a 0, obtenim
Així doncs, pels valors a=1 i a= -3 el rang és 2 i per tant el sistema té infinites solucions.
El problema també es pot resoldre triangulant per Gauss la matriu A.
b) Cas.
En aquest cas el sistema a resoldre és
i sabem que rang(A)=2 i per tant que el sistema és compatible indeterminat amb (3-2=1) 1 grau de llibertat, és a dir amb una incògnita com a paràmetre.
Com que la primera equació és combinació lineal de la segona i la tercera, resoldrem el
sistema directament a partir de les dues darreres equacions i obtenim i.
Per tant els punts solució del sistema són els de la forma.
Cas.
En aquest cas el sistema és compatible determinat i per tant l’única solució és el
.
Exercici 4.
Sigui P el triangle de vèrtexs (0,0), (0,1), (1,1).
− 2 c + s + 2 = − 2 s − c + 1 ,
− 2 c + 2 = − 2 s + 1 ,
− c + 2 = − s + 1.
Simplificant:
− c + 3 s + 1 = 0 ,
2 s − 2 c + 1 = 0
c = s + 1.
Si agafem les dues últimes obtenim: 2 s − 2( s + 1) + 1 = 0; 2 s − 2 s − 2 + 1 = 0; − 1 = 0 Impossible!!!.
Si agafem les dues primeres obtenim: 6 s − 2 c + 2 = 2 s − 2 c + 1 ; 4 s + 1 = 0 ; s = − 1 / 4
Substituint
− c + 3(−1/ 4) + 1 = − c − 3 / 4 + 1 = − c +1/ 4 = 0; c = 1/ 4
Impossible, no hi ha cap angle que ho compleixi!!!.
Ho provem amb la primera i la tercera:
− c + 3 s + 1 = 0 i c = s + 1.
Substituint: − s − 1 + 3 s + 1 = 0; 2 s = 0; s = 0
c = s + 1; c = 0 + 1 = 1
Així doncs hem trobat: s=0 i c=
Per tant, per α = 0º ,Q té dos vèrtexs en la diagonal x=y.
