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VII. Estructuras Algebraicas
Objetivo
Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.
Definición de operación binaria
Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas
operaciones binarias, ya que asocian a un par de números con un resultado. En general, una
operación binaria tiene dos características esenciales:
- Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
- Asocia a dicho par con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; la
asociación se realiza por medio de un criterio definido.
En forma general, una operación binaria definida en un conjunto S no vacío es una función 𝑆 × 𝑆
que relaciona un par de elementos (𝑎, 𝑏) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 con una imagen 𝑐 ∈ 𝑆.
Ejemplo 7.1. Si se considera al conjunto de los números racionales y la suma, se tendrá que dicha
operación asocia a un par de números racionales otro único número racional; es decir, para el par
de números racionales �
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
�, existe un único número denotado como
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
que se conoce como
la suma de
𝑎
𝑏
y
𝑐
𝑑
. El criterio para obtener la suma de dos números racionales es
Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias.
Ejemplo 7.2. La tabla 7.1 especifica la operación binaria AND, que establece una operación lógica
utilizada en la electrónica y la computación
Tabla 7.1. Operación AND.
En este caso, el criterio que se establece para realizar la operación es la misma tabla, y el conjunto
sobre el cual se aplica es {0, 1}; en este caso se tendría:
Que son los resultados que la operación puede asignar.
Las operaciones binarias también pueden definirse por medio de reglas de correspondencia, y
haciendo uso de las operaciones binarias tradicionales.
Ejemplo 7.3. Sea la siguiente operación binaria
𝑦
Se puede obtener un resultado para la pareja
6
Cuyo resultado es 1.
Propiedades de las operaciones binarias
Cuando un conjunto tiene definida una operación binaria se puede formar un sistema algebraico
que posee una estructura definida, la cual está ligada a las diferentes propiedades que posea la
operación binaria.
Los niveles y diferentes tipos de estructuras algebraicas están sujetos a la naturaleza de las
propiedades que se cumplen para una operación en un conjunto dado. Así, las estructuras de
grupo , anillo y campo se diferencian por el número de operaciones y las propiedades que éstas
cumplen en un conjunto numérico dado.
La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de
elementos de cierta naturaleza se le asigna un resultado de ésa misma naturaleza.
Ejemplo 7.4. Si se aplica la suma a los números naturales, el resultado será otro número natural:
Si se tuviesen los números naturales 3 y 4, el resultado de su suma es 7, otro número natural.
Esto quiere decir que una operación binaria es cerrada; o sea, una operación definida en un
conjunto S da como resultado un elemento de ese conjunto S.
Cerradura
Si el resultado de aplicar una operación binaria (∗) está definido en un conjunto S , entonces se
dice que S es cerrado con respecto a dicha operación binaria; es decir,
Ejemplo 7.5. Sea la operación binaria 𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥
𝑦
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Se obtiene un resultado que puede o
no pertenecer a los números enteros. Si el operando y fuese mayor a cero, el resultado es un
número entero; por ejemplo, (−2,3) arrojaría el siguiente resultado:
−
Ejemplo 7.9. Para las matrices de orden 𝑚 × 𝑛 y la operación de suma, es posible asociar los
elementos que se operarán:
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
Y el resultado no se verá alterado.
Existencia del elemento neutro
Si existe un elemento e dentro de un conjunto, que tiene la propiedad de no alterar a otro
elemento a cuando se les aplica una operación binaria, entonces se habla de un elemento neutro.
Si se define la operación binaria (∗) dentro del conjunto S , y existe un elemento 𝑒 ∈ 𝑆 tal que
- 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces e es un elemento neutro por la derecha.
- 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces e es un elemento neutro por la izquierda.
- 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 ⇒ 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces e es un elemento neutro para (∗).
Esto quiere decir que un conjunto dado tendrá, al menos, un elemento neutro si éste es neutro
por la izquierda y por la derecha.
Ejemplo 7.10. Si se considera al conjunto de las matrices de orden 𝑚 × 𝑛 y la operación de
multiplicación, se verifica que el elemento neutro sería la matriz identidad:
𝑚
𝑚×𝑛
𝑚×𝑛
Donde 𝐼 𝑚
es la matriz identidad de orden m , la cual es un elemento neutro por la izquierda.
𝑛
𝑛×𝑚
𝑛×𝑚
Donde 𝐼
𝑛
es la matriz identidad de orden n , la cual es un elemento neutro por la derecha.
Estas son las propiedades que cumple la matriz identidad y que se estudiaron en el tema de
matrices y determinantes.
Ejemplo 7.11. El elemento neutro para la operación de suma en los números complejos sería el
número 0 + 0𝑖, ya que
Por medio de la conmutación en ℂ, se verifica que 0 + 0𝑖 es neutro por la izquierda y por la
derecha.
Ejemplo 7.12. En el conjunto X del ejemplo 7.6 y la operación de la tabla 7.2, se puede verificar que
existen dos elementos neutros por la izquierda: ä y ü.
𝑎̈ ß 𝑎̈ = 𝑎̈ 𝑎̈ ß 𝑜̈ = 𝑜̈ 𝑎̈ ß 𝑢̈ = 𝑢̈
𝑢̈ ß 𝑎̈ = 𝑎̈ 𝑢̈ ß 𝑜̈ = 𝑜̈ 𝑢̈ ß 𝑢̈ = 𝑢̈
En cambio, estos elementos no son neutros por la derecha.
𝑎̈ ß 𝑎̈ = 𝑎̈ 𝑜̈ ß 𝑎̈ = 𝑜̈ 𝑢̈ ß 𝑎̈ = 𝑎̈
𝑎̈ ß 𝑢̈ = 𝑢̈ 𝑜̈ ß 𝑢̈ = 𝑎̈ 𝑢̈ ß 𝑢̈ = 𝑢̈
Y por lo tanto, la operación ß no posee elementos neutros.
Existencia de elementos inversos
Los elementos inversos se relacionan directamente con el elemento neutro. En este caso, si el
resultado de la operación binaria es el elemento neutro, entonces los dos elementos que
intervinieron en la operación son inversos uno del otro.
Al definir la operación binaria
dentro del conjunto S , y tomando en cuenta la existencia del
elemento neutro 𝑒 ∈ 𝑆, se dice que
- 𝑎 ∗ 𝑎� = 𝑒, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑎� es el elemento inverso de a por la derecha.
- 𝑎� ∗ 𝑎 = 𝑒, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑎� es el elemento inverso de a por la izquierda.
- 𝑎 ∗ 𝑎� = 𝑎� ∗ 𝑎 ⇒ 𝑒, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑎� es el elemento inverso de a para (∗).
Por lo tanto, si el inverso por la izquierda y por la derecha es el mismo, entonces es un elemento
inverso único para a. Además, un conjunto tendrá para cada elemento su correspondiente inverso
en una operación binaria.
Ejemplo 7.13. En la multiplicación de matrices de orden n , y que son no-singulares, se tiene que
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Donde 𝐼 𝑛
define al elemento neutro. En consecuencia, el elemento inverso de A por la izquierda
será el mismo que el inverso por la derecha:
Ejemplo 7.14. Cada elemento del conjunto de los números reales tiene un solo inverso definido
para la operación de multiplicación:
−
Sabiendo que 1 es el elemento neutro en ℝ para la multiplicación, y que el cero es el único
elemento que no posee inverso.
Conmutatividad
Cuando una operación binaria permite que el orden de los elementos no influya en el resultado
que se obtendrá, se dice que la operación permite la conmutación.
Para una operación binaria
definida en el conjunto S , la conmutación especifica que:
Ejemplo 7.15. Para la multiplicación de matrices de orden 2 no siempre se cumple la conmutación:
Ejemplo 7.18. De los conjuntos numéricos conocidos, el primero que posee una estructura de
grupo es el conjunto de los números enteros estableciendo a la suma como su operación binaria:
Los números naturales no poseen este tipo de estructura, ya que no está definido un elemento
neutro para la suma ni mucho menos los elementos inversos.
Ejemplo 7.19. Para el conjunto de los números complejos y la operación definida como
1
ю 𝑧
2
1
2
Se satisface que la operación es cerrada, ya que la multiplicación de números complejos arroja un
resultado en ℂ; además, el conjugado de un número complejo es otro complejo.
1
2
Para comprobar si existe la asociación se debe verificar que
1
ю 𝑧
2
ю 𝑧
3
1
ю
2
ю 𝑧
3
Entonces,
1
ю 𝑧
2
) ю 𝑧
3
1
2
������ ю 𝑧
3
1
2
3
1
2
3
Por otra parte,
1
ю (𝑧
2
ю 𝑧
3
1
ю 𝑧
2
3
1
2
3
1
2
3
Se constata que (1) y (2) no son iguales; por lo tanto, ℂ bajo la operación ю no es un grupo.
Ejemplo 7.20. Sea el sistema dado por
donde
Se verifica que el resultado de la operación será un número real. Además, se observa que
Y la propiedad asociativa se cumple.
Por otro lado,
Como el elemento neutro e está definido, implica que se cumple esta propiedad.
Finalmente,
Y existe un elemento inverso para cada x que pertenezca al conjunto dado. Por lo tanto, los
números reales diferentes de cero forman un grupo con respecto a la operación definida.
Subgrupo
De un grupo G se pueden tomar subconjuntos, que posiblemente puedan formar un grupo
tomando la operación definida para G.
Sea (𝐺,∗) un grupo. Un subconjunto H de G es un subgrupo si él mismo es un grupo para la
operación (∗); es decir, (𝐻,∗) es un grupo.
Para poder identificar si 𝐻 ⊂ 𝐺 es un subgrupo para la operación (∗), basta con verificar si se
cumple que
Ejemplo 7.21. Se sabe que
es un grupo; sin embargo, los subconjuntos de los números
naturales y los números negativos no pueden ser subgrupos.
Para la cerradura de la suma se sabe que
Análogamente,
−
−
Además, para los casos en los cuales todos los operandos son iguales, se cumple la propiedad. Por
lo tanto existe la asociación para (𝐴, +).
Elemento neutro:
Por lo tanto, existe un único elemento neutro ( a ); y así, se cumple la propiedad.
Elementos inversos:
Para este ejemplo, los elementos inversos existen; por lo tanto, la propiedad se cumple.
Finalmente, la propiedad conmutativa queda como:
Y la conmutación también es válida para la operación. Por lo tanto, se concluye que el sistema
(𝐴, +) tiene estructura de grupo abeliano.
Definición de anillo
Conocido el grupo, se puede ampliar esta estructura a una más completa; que pueda abarcar no
sólo nuevas propiedades para una operación binaria, sino que permite definir una nueva
operación dentro del conjunto al cual se asocia la primera operación binaria. Este tipo de criterio
se presenta en los anillos.
Sea A un conjunto no vacío, donde se definen las operaciones (∗) y (⋄). El sistema (𝐴,∗,⋄) es un
anillo, si se cumplen ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴:
Para la primera operación se satisface
- La asociación, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
- La conmutación, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
- La existencia del elemento neutro, 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
- La existencia de elementos inversos
Para la segunda operación se satisface
- La asociación,
- La distribución por la izquierda sobre la primera operación, 𝑎 ⋄ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ⋄ 𝑏) ∗ (𝑎 ⋄ 𝑐)
La distribución por la derecha sobre la primera operación,
La primera operación define al grupo abeliano (𝐴,∗). Por lo que un anillo es un grupo abeliano
para la primera operación definida; dicha estructura de grupo se conoce como la estructura
aditiva del anillo.
Un caso peculiar es el elemento neutro de la primera operación, e , que es conocido como el cero
del anillo ; se debe hacer hincapié que el término cero no se refiere al número 0, ya que A puede
ser un conjunto no-numérico.
Ejemplo 7.25. El sistema (ℝ, +,·) es un anillo, ya que los números reales cumplen las propiedades
de asociación, existencia de elemento neutro, existencia de elementos inversos y conmutación
para la suma:
Mientras tanto, la multiplicación cumple con la asociación, y la distribución sobre la suma:
Ejemplo 7.26. Dado el grupo abeliano del ejemplo 7.24, la primera operación de la tabla 7.3, y
definiendo ahora
𝐴, +,×), donde la segunda operación se muestra en la tabla 7.4, se puede
determinar si este nuevo sistema es anillo o no.
× a b
a a a
b a a
Tabla 7.4. Segunda operación binaria en A.
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Por lo que la conmutación se cumple; en consecuencia, el anillo
𝐴, +,×)
es conmutativo.
Anillo con unidad
Si un anillo
posee elemento neutro para la segunda operación:
Entonces, el anillo tiene unidad ( f ). Al igual que el cero del anillo, al decir la unidad del anillo no se
habla precisamente del número 1, sino del elemento neutro para la segunda operación de A.
Ejemplo 7.28. Siguiendo con el anillo
𝐴, +,×)
se deberá encontrar el elemento neutro de la
segunda operación:
𝑓 × 𝑎 = 𝑎 ⇒ 𝑒 = 𝑏
𝑓 × 𝑏 = 𝑏 ⇒ 𝑒 = 𝑏
Entonces, el elemento neutro 𝑓 = 𝑏 existe y es único. En consecuencia, el anillo (𝐴, +,×) tiene
unidad.
En este caso, el anillo (𝐴, +,×) cumple las dos propiedades (conmutación y elemento neutro) en la
segunda operación; entonces, este tipo de estructura, que conjunta al anillo conmutativo y al
anillo con unidad, se conoce como anillo conmutativo con unidad.
Dominio entero
Si en un anillo existen elementos que presentan la característica
Donde e es el cero del anillo y además 𝑒 ≠ 𝑓, siendo f la unidad del anillo. Se dice entonces, que el
anillo posee divisores propios de cero. Por el contrario, la estructura que no posee este tipo de
elementos se conoce como dominio entero.
Si un anillo conmutativo con unidad
posee la propiedad
Donde e es el cero del anillo, se dice entonces que (𝐴,∗,⋄) es un dominio entero.
Ejemplo 7.29. El anillo (ℝ, +,·), cuyo cero es 0 y su unidad es 1, es un dominio entero, ya que se
cumple 0 ≠ 1 ; además, si se tiene 𝑎 · 𝑏 = 0 significa que 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 ó 𝑎 = 𝑏 ⇒ 0 :
De manera similar se puede demostrar que para este producto a es 0. Por lo tanto, el anillo
(ℝ, +,·) no tiene divisores propios de cero, y es un dominio entero.
Ejemplo 7.30. Sea M el siguiente conjunto:
Y las operaciones de suma y multiplicación en las matrices. El sistema (𝑀, +,·) define un anillo con
unidad, donde el cero del anillo es
Y su unidad es
Se verifica inmediatamente que la matriz nula e identidad son diferentes entre sí. Sin embargo,
este anillo si posee divisores propios de cero; es decir,
Tomando como caso particular a la matriz
Al multiplicarla por si misma se tiene que
Donde se observa que la matriz A es un divisor propio de cero.
Definición de campo
Si a la segunda operación se le agrega la posibilidad de la existencia de elementos inversos, se
obtendrá la estructura algebraica más completa: el campo o cuerpo. Dicha estructura contiene las
propiedades ya estudiadas en el Álgebra Superior al momento de formalizar el conjunto de los
números reales y de los números complejos: cerradura, asociación, conmutación, elemento neutro
y elementos inversos para las operaciones de suma y multiplicación; y la distribución de la
Se debe verificar si la estructura (𝑉, +,⊕) es un campo. En este caso, la primera operación define
una suma tradicional de vectores; por lo tanto, las propiedades de la primera operación del campo
son:
- Asociación, 𝑢� + (𝑣̅ + 𝑤�) = (𝑢� + 𝑣̅) + 𝑤�
- Conmutación, 𝑢� + 𝑣̅ = 𝑣̅ + 𝑢�
- Elemento neutro, 𝑒̅ + 𝑢� = 𝑢� ⇒ 𝑒̅ = 0
- Elementos inversos, 𝑎� + 𝑢� = 𝑒̅ ⇒ 𝑎� = −𝑢�
Para todo 𝑢�, 𝑣̅, 𝑤� ∈ 𝑉.
En la segunda operación es necesario demostrar que las 5 características restantes del campo se
satisfacen correctamente.
Asociación:
1
1
1
) ⊕ [(𝑥
2
2
2
3
3
3
)] = [(𝑥
1
1
1
2
2
2
)] ⊕ (𝑥
3
3
3
1
1
1
2
3
2
3
2
3
1
2
1
2
1
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Por lo cual, se cumple la propiedad.
Conmutación:
2
2
2
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
Y por la conmutación en la multiplicación de los números reales, se satisface la propiedad.
Elemento neutro:
1
2
3
1
2
3
Entonces, se plantean las ecuaciones
1
2
3
Por la multiplicación en los reales se obtiene que el elemento neutro del campo para la segunda
operación es 𝑒̅ = (1, 1, 1); y se satisface la propiedad.
Elementos inversos:
1
2
3
1
2
3
Las ecuaciones resultantes son
1
2
3
Nuevamente, con la multiplicación en los reales se obtiene que el elemento inverso general del
campo en la segunda operación es 𝑎� = �
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧
�; y esta propiedad se satisface, ya que el único
elemento que no tiene inverso es 0
Distribución:
1
1
1
) ⊕ [(𝑥
2
2
2
3
3
3
)]
= [(𝑥
1
1
1
2
2
2
)] + [(𝑥
1
1
1
3
3
3
)]
1
1
1
2
3
2
3
2
3
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
Por lo que la distribución por la derecha está satisfecha. La distribución por la izquierda sigue el
mismo procedimiento; al basarse en la multiplicación y suma de los números reales; entonces, se
concluye que la distribución en ambos sentidos se cumple satisfactoriamente. El sistema
tiene estructura de campo.
Como punto final, se debe notar que un campo es un dominio entero, ya que la existencia de
elementos inversos en la segunda operación establece que todos los elementos del campo poseen
inverso, excepto el cero del campo; por lo que se concluye que los respectivos elementos neutros
de cada operación son diferentes y no existen divisores propios de cero.
Isomorfismos y homomorfismos
Dentro de la Álgebra Moderna pueden establecerse relaciones entre las estructuras algebraicas y
sus operaciones. Dichas relaciones permiten intercambiar los símbolos u operaciones de una
estructura sin alterar sus propiedades algebraicas o sus resultados.
Homomorfismos
Sean (𝐺, +) y (𝐺′,∗) dos grupos. Un homomorfismo de A en B es una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que
El término viene de los vocablos griegos ομός ( homos , mismo) y μορφή ( morphe , forma).
Ejemplo 7.33. Sean el grupo
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
� = [(𝑎
1
1
1
] · [(
2
2
2
]
1
2
1
2
1
2
Al realizar las operaciones, se observa que no existe igualdad. Se concluye que la función dada no
es un homomorfismo entre los anillos.
Isomorfismos
Se considera que una función 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ entre dos estructuras algebraicas es un isomorfismo, si
además de ser homomorfismo es una función uno-a-uno y sobre; es decir,
- A cada elemento de A le corresponde un asociado en A’.
- Todos los elementos de A se asocian con todos los elementos de A’.
- La función f tiene inversa.
- El elemento neutro de A se transforma en el neutro de A’.
Ejemplo 7.35. Sean los grupos (ℝ
,·) y (ℝ, +). Se define la función
𝑓(𝑥) = log
𝑏
Por propiedades de los logaritmos se sabe que
log
𝑏
(𝑥 · 𝑦) = log
𝑏
𝑥 + log
𝑏
Por lo tanto, la función es un homomorfismo. Para verificar si es un isomorfismo se prueba el
elemento neutro del primer grupo, que es 1.
𝑓(1 · 1) = log
𝑏
1 + log
𝑏
Que es el elemento neutro para el segundo grupo.
Para verificar la función inversa se toma a ambos lados la función exponencial en la base b.
log
𝑏
(𝑥·𝑦)
log
𝑏
𝑥+log
𝑏
𝑦
log
𝑏
𝑥
log
𝑏
𝑦
Lo cual indica que si existe la función inversa, entonces la función en uno-a-uno. Con respecto a la
propiedad sobre , todo número real positivo tiene su correspondiente logaritmo dentro de los
números reales. En consecuencia, la función logaritmo entre los grupos (ℝ
,·) y (ℝ, +) es un
isomorfismo.
Ejemplo 7.36. Sean los grupos
y
, donde 𝐴 = {0, 1} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏
y las operaciones en
cada conjunto están definidas por las tablas 7.5 y 7.6, respectivamente.
⊕ 0 1 ⊙ a b
0 0 1 a a a
1 1 1 b a b
Tabla 7.5.
Operación en A.
Tabla 7.6.
Operación en B.
Determínese si 𝑓: 𝐴 → 𝐵, donde 𝑓
𝑎 y 𝑓
𝑏 es un isomorfismo.
Comprobando cada operación se tiene
Como la última expresión no es cierta, entonces la función dada no es un isomorfismo.
Espacio vectorial
Existe una estructura algebraica donde se definen dos operaciones, que a diferencia del anillo y
del campo, una de esas operaciones trabaja con dos conjuntos diferentes. Dicha estructura se
conoce como espacio vectorial.
Sean dos conjuntos no vacíos V y K , donde K es un campo. En V se definen las operaciones
- Suma de vectores 𝑢� + 𝑣̅.
- Multiplicación por un escalar 𝛼𝑢�.
El conjunto V es un espacio vectorial sobre el campo K , si para todo vector 𝑢�, 𝑣̅, 𝑤� ∈ 𝑉 y para todo
escalar 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 se cumple que
