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Algebra Curso 2014-2015 (GRUPOS G,H)
Examen Final (17 de Diciembre de 2014)
APELLIDOS:............................................................. NOMBRE:............................ GRUPO:...
Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. 4 Prob. 5 TOTAL
1. 1 punto Sea z=√2e5π
4i=√25π/4. Hallar α,β∈Rtales que
α−2i=z(−2 + βi).
2. 3 puntos Sean
A=
−1α1 1
1 1 −1 1
1 1 α1
α−111
, b =
5
−1
−1
5
.
a) (1 pto) Discutir el SEL Ax =bseg´un los distintos valores de α∈R.
b) Para α=−1 se pide:
b1) (0.5 ptos) Calcula el conjunto de soluciones del SEL Ax =b.
b2) (0.5 ptos) Halla una base de Nul(A).
b3) (0.5 ptos) Calcula una base del subespacio ortogonal a Nul(A).
b4) (0.5 ptos) ¿Pertenece el vector (7,−3,4,0) a Nul(A)? En caso afirmativo, hallar su vector de
coordenadas en la base dada en el apartado b2).
3. 1.5 puntos Sea L:R3→R2la aplicaci´on definida por
L(x, y, z) = (x+ 2y−z , 2x−3y).
a) (0.5 ptos) Demuestra que Les una aplicaci´on lineal.
b) (0.5 ptos) Calcula la matriz asociada a Lrespecto de las bases can´onicas de R3yR2.
c) (0.5 ptos) ¿Es Linyectiva? ¿Es sobreyectiva? Razona la respuesta.
4. 3 puntos Sea A=
4−1−1
−1 4 −1
−1−1 4
.
a) (1 pto) Calcula los autovalores de A.
b) (2 ptos) ¿Es A diagonalizable?. En caso afirmativo obt´en una matriz inversible Py una matriz diagonal
Dtales que A=P DP −1.
5. 1.5 puntos Sea q:R3→Rla forma cuadr´atica definida por
q(x, y, z)=2x2+ 4xy + 2y2+ 3z2.
a) (0.5 ptos) Halla la matriz (sim´etrica) de q.
b) (1 pto) Clasifica la forma cuadr´atica qobteniendo su signatura.