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Matemáticas: Funciones, Congruencias y Ecuaciones Diofantinas - Prof. García Olmedo, Exámenes de Álgebra

Este documento contiene las preguntas y soluciones de varios ejercicios matemáticos relacionados con aplicaciones funcionales, congruencias y ecuaciones diofantinas. Se incluyen demostraciones para verificar la biyección de una función, soluciones generales de sistemas de congruencias y ecuaciones diofantinas, y cálculos de cocientes y restos de divisiones de polinomios. Estos ejercicios pueden ser útiles para estudiantes de matemáticas en universidades o institutos.

Tipo: Exámenes

2014/2015

Subido el 30/11/2015

joseismael511
joseismael511 🇪🇸

4.3

(21)

7 documentos

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bg1
alumno: grupo: nif:
ALEM
(21/12/2015)
Preguntas
1. Sea la aplicación f:N2N\ {0}definida por:
f(x,y) = 2x(2y +1)
Demostrar que es una biyección.
2. Dado el sistema de congruencias
15x 7(od 16)
10x 14 (od 28)
indicar si tiene solución y en caso de respuesta afirmativa, encontrar su expresión
general y decir razonadamente cuántas tiene comprendidas entre 0y100.
3. Decidir razonadamente si tiene solución la ecuación diofántica:
195x +294y =549
Caso de tenerla, encontrar su expresión general y decir cuántas soluciones hx,yi
tiene tales que yestá comprendida entre 0y1000.
4. Sean p(x) = x137 +x+1yq(x) = x+5, ambos polinomios de Z7[x]. Calcular el
cociente y el resto de dividir p(x)entre q(x).
5. Demostrar que Z2[x]x3+x+1es un cuerpo y encontrar el representante de menor
grado de la clase [x5].
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alumno: grupo: nif:

ALEM

Preguntas

  1. Sea la aplicación f : N^2 −→ N \ { 0 } definida por: f(x, y) = 2 x(2y + 1 ) Demostrar que es una biyección.
  2. Dado el sistema de congruencias 15x ≡ 7 (m´od 16 ) 10x ≡ 14 (m´od 28 ) indicar si tiene solución y en caso de respuesta afirmativa, encontrar su expresión general y decir razonadamente cuántas tiene comprendidas entre 0 y 100.
  3. Decidir razonadamente si tiene solución la ecuación diofántica: 195x + 294y = 549 Caso de tenerla, encontrar su expresión general y decir cuántas soluciones 〈x, y〉 tiene tales que y está comprendida entre 0 y 1000.
  4. Sean p(x) = x^137 + x + 1 y q(x) = x + 5 , ambos polinomios de Z 7 [x]. Calcular el cociente y el resto de dividir p(x) entre q(x).
  5. Demostrar que Z 2 [x]x (^3) +x+ 1 es un cuerpo y encontrar el representante de menor grado de la clase [x^5 ].

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