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Cap´ıtulo 3
Congruencias
3.1. Clases residuales
En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en el a˜no 1801, Gauss in- trodujo el concepto de congruencia.
Supongamos que a, b y m > 0 son n´umeros enteros. Diremos que a y b son congruentes m´odulo m si m divide a a − b y designaremos esta situaci´on mediante el s´ımbolo a ≡ b (m´od m).
La congruencia es una relaci´on de equivalencia puesto que verifica las propie- dades reflexiva, sim´etrica y transitiva. Esto nos permite agrupar a los enteros en familias disjuntas de manera que dos n´umeros son congruentes m´odulo m si y s´olo si est´an en la misma. Estas familias se denominan clases residuales m´odulo m, y se designa por Zm al conjunto formado por ellas.
De la definici´on anterior se deducen inmediatamente las siguientes propiedades.
Proposici´on 3.1.1. Si a ≡ b (m´od m) y c ≡ d (m´od m), entonces
i) a + b ≡ c + d (m´od m).
ii) ka ≡ kb (m´od m) para todo entero k ∈ Z.
iii) ac ≡ bd (m´od m).
iv) an^ ≡ bn^ (m´od m)
v) f (a) ≡ f (b) (m´od m) para todo polinomio f con coeficientes enteros.
Los enteros 0, 1 ,... , m − 1 est´an en clases residuales distintas. Como todo entero n puede escribirse de manera ´unica de la forma n = mc + r con c entero
2 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
y 0 ≤ r ≤ m − 1, resulta que todo entero es congruente m´odulo m con uno de los enteros 0, 1 ,... , m − 1. En particular existen exactamente m clases residuales m´odulo m y cualquier conjunto de enteros incongruentes m´odulo m constituyen un sistema residual completo.
El conjunto Zm, m ≥ 2, dotado de las operaciones suma y producto emanadas de la proposici´on anterior es un anillo conmutativo cuyo elemento neutro aditivo, clase 0, es 0 = (m) = mZ y cuya unidad multiplicativa es 1 + (m).
Proposici´on 3.1.2. Si {a 1 ,... , am} es un sistema residual completo y (k, m) = 1, entonces el conjunto {ka 1 ,... , kam} tambi´en es un sistema residual completo.
Demostraci´on. Si kai ≡ kaj (m´od m) entonces m | k(ai − aj ). Pero al ser k y m primos entre s´ı, necesariamente m | (ai − aj ). Es decir, los kai son incongruentes entre s´ı m´odulo m y por lo tanto forman un sistema residual completo.
De una manera an´aloga podemos definir un sistema residual reducido como todo conjunto de φ(m) residuos incongruentes m´odulo m, cada uno de ellos primo con m. De manera similar se demuestra la siguiente proposici´on.
Proposici´on 3.1.3. Si {a 1 ,... , aφ(m)} es un sistema residual reducido y (k, m) = 1, entonces el conjunto {ka 1 ,... , kam} tambi´en es un sistema residual reducido.
Se designa por Z∗ m al conjunto de las clases residuales primas con m. Es f´acil ver que constituyen un grupo multiplicativo de orden φ(m).
3.2. Congruencias lineales
En esta secci´on intentaremos resolver la ecuaci´on en congruencias m´as sencilla de todas: la congruencia lineal.
Teorema 3.2.1. Si (a, m) = 1, la congruencia ax ≡ b (m´od m) tiene exactamente una soluci´on m´odulo m.
Demostraci´on. Por la proposici´on 3.1.2, el conjunto {a, 2 a,... , ma} es un sistema residual completo. En particular uno y s´olo uno de los residuos ser´a congruente con b m´odulo m.
Lema 3.2.2. Si ac ≡ bc (m´od m) y d = (m, c), entonces a ≡ b (m´od m/d).
Demostraci´on. Como m | c(b − a), entonces (m/d) | (c/d)(a − b). Pero como (m/d, c/d) = 1, entonces (m/d) | a − b.
4 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
Teorema 3.2.4 (Euler-Fermat). Si (a, m) = 1, entonces aφ(m)^ ≡ 1 (m´od m).
Demostraci´on. Sea r 1 ,... , rφ(m) un sistema residual reducido m´odulo m. Entonces, por la proposici´on 3.1.3, ar 1 , · · · , arφ(m) es tambi´en un sistema residual reducido m´odulo m. Los productos de todos los elementos en cada sistema tienen que coincidir m´odulo m, r 1 · · · rφ(m) ≡ aφ(m)r 1 · · · rφ(m) (m´od m)
y como r 1 · · · rφ(m) es primo con m, podemos cancelarlo (ver lema 3.2.2) para obtener aφ(m)^ ≡ 1 (m´od m).
Teorema 3.2.5 (Fermat). Para todo primo p y para todo entero a tal que (a, p) = 1, se verifica la congruencia ap−^1 ≡ 1 (m´od p).
Demostraci´on. Basta con observar que φ(p) = p − 1.
El teorema de Euler-Fermat nos proporciona la soluci´on expl´ıcita x = baφ(m)−^1 para la congruencia ax ≡ b (m´od m) cuando (a, m) = 1.
En el ejemplo anterior tendr´ıamos que x 1 ≡ 9 · 1739 (m´od 41). Para calcular 1739 (m´od 41) calculamos
172
0 ≡ 17 (m´od 41) 172
1 ≡ 2 (m´od 41) 172
2 ≡ 4 (m´od 41) 172
3 ≡ 16 (m´od 41) 172 4 ≡ 10 (m´od 41) 172
5 ≡ 18 (m´od 41)
y como 39 = 2^5 + 2^2 + 2^1 + 2^0 entonces 17^39 ≡ 18 · 4 · 2 · 17 ≡ 29 (m´od 41). Luego x 1 ≡ 29 · 9 ≡ 15 (m´od 41) y a partir de aqu´ı se procede como antes.
Se advierte y se aconseja utilizar el algoritmo de Euclides para resolver las con- gruencias lineales por ser un m´etodo m´as sencillo y eficiente que este que acabamos de ver.
3.3. Congruencias polin´omicas. Teorema de La-
grange
El estudio de congruencias polin´omicas de grado superior resulta m´as compli- cado. Unicamente para las congruencias de grado 2 existe un m´´ etodo razonable (que se ver´a en el siguiente cap´ıtulo) para decidir cu´ando tienen soluci´on.
3.3. CONGRUENCIAS POLIN OMICAS. TEOREMA DE LAGRANGE´ 5
Cuando el m´odulo es primo tenemos, sin embargo, el siguiente teorema.
Teorema 3.3.1 (Lagrange). Dado un primo p, sea f (x) = c 0 + c 1 x + · · · + cnxn^ un polinomio de grado n con coeficientes enteros tal que p - cn. Entonces la congruencia polin´omica f (x) ≡ 0 (m´od p) tiene, a lo m´as, n soluciones.
Demostraci´on. Vamos a proceder por inducci´on sobre el grado del polinomio.
El caso n = 1 ha sido estudiado anteriormente. La congruencia c 0 + c 1 x ≡ 0 (m´od p) tiene una soluci´on si (c 1 , p) = 1.
Hagamos la hip´otesis de que el teorema es cierto para n−1: si x 1 es una soluci´on de c 0 +· · ·+cnxn^ ≡ 0 (m´od p), la ecuaci´on c 1 (x−x 1 )+· · ·+cn(xn^ −xn 1 ) ≡ 0 (m´od p) debe ser verificada por cualquier otra soluci´on.
Es decir, existen enteros a 2 , a 3 ,... , an tales que
(x − x 1 )(cnxn−^1 + a 2 xn−^2 + · · · + an) ≡ 0 (m´od p)
debe ser satisfecha por todas las soluciones de nuestra ecuaci´on.
Como p es primo, las soluciones distintas de x 1 deben serlo tambi´en de cnxn−^1 + a 2 xn−^2 + · · · + an ≡ 0 (m´od p) y, por hip´otesis de inducci´on, existen, a lo sumo, n − 1 soluciones de esta ecuaci´on, lo cual completa la demostraci´on del teorema de Lagrange.
Corolario 3.3.2. Si la congruencia
cnxn^ + cn− 1 xn−^1 + · · · + c 0 ≡ 0 (m´od p)
tiene m´as de n soluciones, entonces los coeficientes c 0 , c 1 ,... , cn deben ser m´ultiplos de p.
Demostraci´on. Supongamos que no es cierto y sea r el mayor entero tal que p - cr. La congruencia del corolario es equivalente a la congruencia crxr^ + · · · + c 0 ≡ 0 (m´od p), que tiene a lo m´as r soluciones. La contradicci´on surge porque estamos suponiendo que tiene por lo menos n + 1 soluciones.
Teorema 3.3.3 (Wilson).
(p − 1)! + 1 ≡ 0 (m´od p).
Demostraci´on. Consideremos la congruencia
(x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) − (xp−^1 − 1) ≡ 0 (m´od p).
El grado de esta congruencia es p − 2 y, sin embargo, tiene p − 1 soluciones por el teorema de Euler-Fermat. Por lo tanto, todos los coeficientes deben ser m´ultiplos de p y en particular el t´ermino independiente.
3.4. CONGRUENCIAS SIMULTANEAS. TEOREMA CHINO DEL RESTO 7
Demostraci´on. En primer lugar es claro que cada soluci´on de la congruencia mdulo m satisface cada una de las congruencias mdulo mj , j = 1,... , k.
Por otro lado, si para cada k-upla (r 1 ,... , rk) donde rj es una soluci´on de la congruencia anxn^ + · · · + a 0 ≡ 0 (m´od m)j y si x es la soluci´on del sistema
x ≡ r 1 (m´od m 1 ) · · · · · · x ≡ rk (m´od mk)
dada por la proposici´on anterior, entonces
anxn^ + · · · + a 0 ≡ anrnj + · · · + a 0 ≡ 0 (m´od mj )
para todo j y, por tanto,
anxn^ + · · · + a 0 ≡ 0 (m´od m 1 · · · mk).
El n´umero de k-uplas (r 1 ,... , rk) es precisamente el producto del n´umero de soluciones de la congruencia anxn^ + · · · + a 0 ≡ 0 (m´od m)j ara cada j = 1,... , k y cada una de ellas da lugar a una soluci´on distinta de la congruencia original.
Ejemplo: Para resolver x^3 + 2x − 3 ≡ 0 (m´od 45) escribimos el sistema { x^3 + 2x − 3 ≡ 0 (m´od 5) x^3 + 2x − 3 ≡ 0 (m´od 9)
La primera de estas ecuaciones tiene soluciones x = 1, 3 , 4 m´odulo 5 y la segunda x = 1, 2 , 6 m´odulo 9.
Por lo tanto, la ecuaci´on x^3 + 2x − 3 ≡ 0 (m´od 45) tiene 9 soluciones. Para encontrarlas teneos que resolver los 9 sistemas { x ≡ a (m´od 5) x ≡ b (m´od 9)
a = 1, 3 , 4 b = 1, 2 , 6.
Utilizando el Teorema Chino del resto se halla f´acilmente que las soluciones son x = 1, 6 , 11 , 19 , 28 , 29 , 33 , 34 , 38 (m´od 45).
Seg´un lo visto hasta ahora, el problema de encontrar las soluciones de
P (x) = anxn^ + · · · + a 0 ≡ 0 (m´od pα 1 1 · · · pα r r)
8 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
queda reducido a estudiar congruencias de la forma P (x) ≡ 0 (m´od pα), donde p es un n´umero primo.
A continuaci´on vamos a presentar una estrategia que nos permite reducir dicho estudio al caso sencillo α = 1.
Si f (a) ≡ 0 (m´od pα), 0 ≤ a < pα,
entonces f (a) ≡ 0 (m´od pα−^1 ) y a ser´a de la forma a = qpα−^1 + r con 0 ≤ r < pα−^1 para alg´un q, 0 ≤ q < p.
Claramente f (a) ≡ f (r) ≡ 0 (m´od pα−^1 ) y decimos que r ha sido generado por a.
Es decir, cada soluci´on de f (x) ≡ 0 (m´od pα) genera otra de f (x) ≡ 0 (m´od pα−^1 ).
Pero precisamente estamos buscando el proceso contrario. Si f (r) ≡ 0 (m´od pα−^1 ), ¿cu´ando existe un a tal que f (a) ≡ 0 (m´od pα) y que genere r? Cuando esto ocurra diremos que r puede subirse de pα−^1 a pα.
Teorema 3.4.3. Sea α ≥ 2 y r una soluci´on de
f (x) ≡ 0 (m´od pα−^1 ), 0 ≤ r < pα−^1.
a) Si f ′(r) 6 ≡ 0 (m´od p), entonces r se sube de manera ´unica de pα−^1 a pα.
b) f ′(r) ≡ 0 (m´od p)
b 1 ) Si f (r) ≡ 0 (m´od pα), entonces r puede subirse de pα−^1 a pα^ de p formas diferentes. b 2 ) Si f (r) 6 ≡ 0 (m´od pα), entonces r no puede subirse de pα−^1 a pα.
Demostraci´on. Si a genera r, a tiene que ser de la forma
a = r + qpα−^1 , 0 ≤ r < pα−^1 , 0 ≤ q < p
y adem´as f (a) ≡ 0 (m´od pα).
Por lo f´ormula de Taylor en el punto r tenemos
f (r + qpα−^1 ) = f (r) + qpα−^1 f ′(r) + (qpα−^1 )^2
f ′′(r) 2
Observemos que todos los sumandos a partir del tercero son m´ultiplos de pα. Luego
0 ≡ f (r + qpα−^1 ) ≡ f (r) + qpα−^1 f ′(r) (m´od pα).
10 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
Claramente si a ≡ b (m´od m) se verifica que expm(a) = expm(b). Esto nos permite considerar, indistintamente, exponentes de enteros o de clases residuales primas m´odulo m.
Teorema 3.5.2. Si e = expm(a) entonces los n´umeros a^0 , a^1 ,... ae−^1 son incon- gruentes entre s´ı m´odulo m.
Adem´as ak^ ≡ aj^ (m´od m) si y s´olo si k ≡ j (m´od e); en particular ak^ ≡ 1 (m´od m) si y s´olo si k es divisible por e.
Demostraci´on. Sean k = c 1 e + r 1 , j = c 2 e + r 2 , 0 ≤ r 1 ≤ r 2 < e y supongamos que ak^ ≡ aj^ (m´od m). Entonces ar^1 ≡ ar^2 (m´od m), lo que implica que ar^2 −r^1 ≡ 1 (m´od m) y, por tanto, r 1 = r 2 debido a la propia definici´on del exponente e.
Los n´umeros expm(a) son, por tanto, divisores del n´umero φ(m). Puede darse el caso de que exista g de manera que expm(g) = φ(m). Es este un caso importante que recibe un nombre especial, se dice que g es una ra´ız primitiva m´odulo m.
La existencia de una ra´ız primitiva g es equivalente a que el grupo multiplica- tivo Z∗ m sea c´ıclico y generado por las potencias de g. Por ejemplo g = 3 es una ra´ız primitiva m´dulo 7: { 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 } = { 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 }. Sin embargo 2 no es ra´ız primitiva porque exp 7 (2) = 3; es decir, 2^3 = 1..
A continuaci´on vamos a caracterizar los m´odulos m para los que existen ra´ıces primitivas.
Teorema 3.5.3. Existen ra´ıces primitivas m´odulo m si y s´olo si m = 1, 2 , 4 , pk, 2 pk, donde p designa a un n´umero primo impar y k ≥ 1.
Demostraci´on. Veremos primero que si m es de la forma 1, 2 , 4 , pk^ o 2pk^ con p primo impar, entonces Z∗ m es c´ıclico. Lo haremos en varios pasos:
(1) Los casos m = 1, 2 son triviales. Z∗ 4 = { 1 , 3 } y es claro que 3 es una ra´ız primitiva.
(2) Consideremos ahora Z∗ p con p primo impar. Sea f (d) = #{a ∈ Z∗ p : expm(a) = d}, donde d es un divisor de φ(p) = p − 1. Es claro que
d|p− 1 f^ (d) =^ p^ −^ 1. Por otro lado sabemos que
d|p− 1 φ(d) =^ p^ −^ 1. Si probamos la desigualdad f (d) ≤ φ(d) para todo d | p − 1, las dos identidades anteriores fuerzan la igualdad f (d) = φ(d) para todo divisor de p − 1. En particular f (p − 1) = φ(p − 1). Es decir, existen φ(p − 1) ra´ıces primitivas m´odulo p.
3.5. RA´ICES PRIMITIVAS 11
Para completar el argumento s´olo nos queda demostrar la desigualdad f (d) ≤ φ(d): Dado d | p − 1, si f (d) 6 = 0 necesariamente existe un elemento a ∈ Z∗ p tal que d = expp(a) y, en particular, ad^ ≡ 1 (m´od p). La congruencia xd^ ≡ 1 (m´od p) admite, a lo m´as, d soluciones m´odulo p y como la colecci´on 1, a,... , ad−^1 la satisface y son, adem´as, incongruentes entre s´ı m´odulo p, constituyen un conjunto completo de soluciones. S´olo nos queda contar cu´antas de entre ellas tienen exponente igual a d. Es claro que si expp(ak) = d entonces (k, d) = 1 y, por tanto, su cardinal es a lo m´as φ(d) como quer´ıamos demostrar.
(3) Sea g una ra´ız primitiva m´odulo p. Es claro que g + tp es tambi´en una ra´ız primitiva m´odulo p cualquiera que sea el entero t. Consideremos
(g + tp)p−^1 = gp−^1 + (p − 1)gp−^2 tp + Ap^2 = 1 + sp − gp−^2 tp + Bp^2 = 1 + p(s − gpp−^2 t) + Bp^2 ,
donde A, s, B son enteros y gp−^1 = 1 + sp. Podemos elegir el entero t de manera que s − gp−^2 t 6 ≡ 0 (m´od p), es decir, (g + tp)p−^1 = 1 + pu, u 6 ≡ 0 (m´od p). Vamos a probar que, con dicha elecci´on, g + tp es una ra´ız primitiva m´odulo pk, para todo k ≥ 1. Supongamos que (g + tp)d^ ≡ 1 (m´od pk), siendo d un divisor de φ(pk) = pk(p − 1). Como gd^ ≡ 1 (m´od p) y g es una ra´ız primitiva m´odulo p, d habr´a de ser un m´ultiplo de p − 1 y, por ser adem´as un divisor de ppk(p − 1) podemos suponer que tiene la forma d = pl(p − 1) para alg´un l con 0 ≤ l ≤ k − 1. Ahora bien, como
(g + tp)p l(p−1) = (1 + up)p l = 1 + vpl+
para alg´un v 6 ≡ 0 (m´od p), necesariamente tiene que ocurrir que l = k − 1.
(4) En el caso restante, m = 2pk, p primo impar, podemos proceder de la manera siguiente: Sea g una ra´ız primitiva m´odulo pk. Obviamente g + pk^ tambi´en lo es. Sea h el elemento impar del conjunto {g, g + pk}. Vamos a ver que h es ra´ız primitiva m´odulo 2pk.
3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA´ 13
Nos queda por probar que la congruencia anterior tambi´en se verifica para el m´odulo 2k. Si k ≥ 3 aplicamos la misma demostraci´on del caso (5) para obtener que
a
φ(2k^ ) (^2) ≡ 1 (m´od 2k).
Y como φ(
k (^) ) 2 es un divisor de^
φ(m) 2 habr´ıamos acabado. Si k ≤ 2 tenemos que φ(m) = φ(2k)φ(pa 1 1 ) · · · φ(pa r r) = 2nφ(2k) para alg´un entero n. Por tanto, tambi´en es cierto que
a
φ(m) (^2) = anφ(2k^ )^ ≡ 1 (m´od 2k),
como quer´ıamos probar.
En el apartado (2) hemos observado que existen exactamente φ(p − 1) = φ(φ(p)) ra´ıces primitivas m´odulo el primo impar p. Esto sigue siendo cierto para el caso general.
Sea g una ra´ız primitiva m´odulo m. Es claro que el conjunto
{gk^ : 1 ≤ k ≤ φ(m), (k, φ(m)) = 1}
consiste, precisamente, de todas las ra´ıces primitivas m´odulo m. Por lo tanto, si m = 1, 2 , 4 , pk^ ´o 2pk, p primo impar, existen exactamente φ(φ(m)) ra´ıces primitivas m´odulo m o, lo que es igual, el grupo c´ıclico Z∗ m tiene φ(φ(m)) generadores.
Observemos tambi´en que, fijada una ra´ız primitiva g m´odulo m, entonces { 1 , g,... , gφ(m)−^1 } es un sistema residual reducido m´odulo m.
Por lo tanto, dado a, primo con m, podemos asignarle un ´unico n´umero k, 0 ≤ k ≤ φ(m) − 1 de manera que a ≡ gk^ (m´od m).
3.6. Ley de reciprocidad cuadr´atica
En el cap´ıtulo anterior hemos desarrollado con detalle la teor´ıa de las con- gruencias lineales ax + b ≡ 0 (m´od m). Ahora vamos a considerar las congruencias cuadr´aticas x^2 ≡ a (m´od m).
Definicion 3.6.1. Dada una clase residual prima m´odulo m, representada por el entero a, diremos que es un residuo cuadr´atico si la congruencia x^2 ≡ a (m´od m) tiene soluci´on. En caso contrario diremos que a es un residuo no cuadr´atico.
14 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
Es claro que el car´acter cuadr´atico es independiente del representante elegido. En lo sucesivo mantendremos la ambig¨uedad consistente en hablar de un entero particular como residuo cuadr´atico o residuo no cuadr´atico, en vez de mencionar a la clase residual que lo contiene.
Proposici´on 3.6.2. Sea p un n´umero primo impar. Existen exactamente p− 2 1 resi- duos cuadr´aticos y p− 2 1 residuos no cuadr´aticos m´odulo p.
Demostraci´on. Consideremos el siguiente sistema residual completo m´odulo p: { −
p − 1 2
p − 1 2
Como (−k)^2 = k^2 , existen, a lo m´as, p− 2 1 residuos cuadr´aticos.
Por otro lado, la congruencia k^2 ≡ j^2 (m´od p), 1 ≤ k, j ≤ p− 2 1 , necesariamente implica la igualdad k = j:
(k − j)(k + j) ≡ 0 (m´od p) implica que k − j ≡ 0 (m´od p) o bien k + j ≡ 0 (m´od p), lo que junto con la relaci´on 1 ≤ k, j ≤ p− 2 1 nos da k = j.
Por lo tanto, los n´umeros 1^2 , 22 ,... ,
(p− 1 2
son incongruentes entre s´ı m´odulo p.
Definicion 3.6.3. Dado un n´umero primo impar p, el s´ımbolo de Legendre
a p
es
la funci´on aritm´etica definida de la forma siguiente:
( a p
0 , si a ≡ 0 (m´od p) +1, si a es un residuo cuadr´atico − 1 , si a es un residuo no cuadr´atico
Proposici´on 3.6.4 (Criterio de Euler). Sea p un n´umero impar. Tenemos que ( n p
≡ n
p− 1 (^2) (m´od p), para todo entero n.
Demostraci´on. Si n ≡ 0 (m´od p), entonces el resultado es inmediato.
Supongamos que (n, p) = 1. El Teorema de Fermat nos dice que np−^1 ≡ 1 (m´od p).
Es decir, (n
p− 2 1 − 1)(n
p− 2 1
- ≡ 0 (m´od p) y por lo tanto, una de las dos relaciones siguientes debe ser verificada:
i) n
p− 1 (^2) − 1 ≡ 0 (m´od p).
16 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
Demostraci´on. Consideremos las p− 2 1 congruencias siguientes:
p − 1 ≡ 1(−1)^1 (m´od p) 2 ≡ 2(−1)^2 (m´od p) p − 3 ≡ 3(−1)^3 (m´od p) 4 ≡ 4(−1)^4 (m´od p) · · · r ≡ p− 2 1 (−1)
p− 1 (^2) (m´od p)
donde r es p− 2 1 ´o p − p− 2 1 seg´un el caso.
Multipliquemos estos sistemas de congruencias y observemos que cada entero situado en los miembros de la parte izquierda es necesariamente par. Resulta que:
2 · 4 · 6 · · · (p − 1) ≡
p − 1 2
!(−1)1+2+···+^
p− 1 (^2) (m´od p).
Es decir,
2
p− 1 2
p − 1 2
p − 1 2
p^2 − 1 (^8) (m´od p).
Podemos dividir por (p− 2 1 )! para obtener ( 2 p
p− 1 (^2) ≡ (−1) p^2 − 1 (^8) (m´od p)
que, por la misma raz´on de la proposici´on anterior, implica la igualdad:
( 2 p
p^2 − 1 (^8).
3.6.2. Ley de reciprocidad cuadr´atica
La ley de reciprocidad cuadr´atica fue descubierta por Euler en torno al a˜no
- Gauss, a su vez, tambi´en la descubri´o y produjo la primera demostraci´on completa en 1796, varios a˜nos despu´es de sus Disquisitiones Arithmeticae.
Hoy en d´ıa se conocen muchas demostraciones distintas. A continuaci´on vamos a presentar una de las m´as sencillas conceptualmente, que est´a basada en el siguiente lema de Gauss.
3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA´ 17
Lema 3.6.8 (de Gauss). Sea p un primo impar y a un entero no divisible por ´el. Dado x = 1,... , p− 2 1 , sea ax ≡ xux (m´od p), donde ux es un entero del conjunto { 1 , 2 ,... , p− 2 1 } y x = ± 1. Entonces
( a p
= 1 · · · p− 21.
Demostraci´on. En primer lugar observemos que dado x, 1 ≤ x ≤ p− 2 1 , tanto el entero ux, 1 ≤ ux ≤ p− 2 1 como el n´umero x est´an un´ıvocamente determinados por la relaci´on ax ≡ xux (m´od p).
En efecto, si ax 1 ≡ u (m´od p) y ax 2 ≡ −u (m´od p), entonces a(x 1 + x 2 ) ≡ 0 (m´od p), lo que es imposible por ser 1 ≤ x 1 , x 2 ≤ p− 2 1.
Multiplicando las congruencias para cada x, 1 ≤ x ≤ p− 2 1 obtenemos
a
p− 2 1 1 · 2 · · ·
p − 1 2
≡ 1 · · · p− 1 2
p − 1 2
(m´od p).
Es decir a
p− 1 (^2) ≡ 1 · · · p− 1 2 (m´od p).
Basta entonces con aplicar el criterio de Euler para concluir la demostraci´on del lema.
Teorema 3.6.9 (Ley de reciprocidad cuadr´atica). Sean p y q n´umeros primos im- pares distintos. Tenemos que
( p q
q p
(p−1)(q−1) (^4).
Demostraci´on. Sean p = 2n + 1, q = 2m + 1. Apliquemos el lema de Gauss para a = q con respecto al conjunto { 1 , 2 ,... , n}, n = p− 2 1.
Tenemos, para cada x, 1 ≤ x ≤ n,
qx ≡ xux (m´od p) con 1 ≤ ux ≤ n, x ∈ {− 1 , +1}.
Es decir, qx = xux + py donde x, ux, y est´an un´ıvocamente determinados por estas condiciones cuando x est´a dado.
En particular x toma el valor −1 si y s´olo si
py = qx + ux, con 1 ≤ ux ≤ n.
3.6. LEY DE RECIPROCIDAD CUADR ATICA´ 19
Sea T el n´umero de parejas (x′, y′) que verifican
1 ≤ x′^ ≤ n 1 ≤ y′^ ≤ m qx′^ − py′^ > m.
Entre estos conjuntos existe una correspondencia biyectiva dada por { x′^ = n + 1 − x y′^ = m + 1 − y.
Por lo tanto S = T. Por otro lado M +N +S+T = mn, entonces (−1)M^ +N^ = (−1)mn y el teorema queda demostrado.
3.6.3. Ejemplos y aplicaciones
La ley de reciprocidad cuadr´atica es uno de los resultados m´as notables de la Teor´ıa de los N´umeros: una relaci´on sorprendente y a la vez sencilla entre las propiedades de las congruencias x^2 ≡ q (m´od p) y x^2 ≡ p (m´od q). Es tambi´en pieza importante de otras teor´ıas aritm´eticas.
a) La ley de reciprocidad cuadr´atica nos permite calcular el valor de
m p
en muchos casos. Ejemplo: Supongamos que queremos estudiar si la congruencia x^2 ≡ 315 (m´od 65537) tiene soluci´on, sabiendo de antemano que 65537 es rimo. Por supuesto podr´ıamos ir comprobando todos los restos m´odulo 65537, pero la ley de reciprocidad cuadr´atica nos proporciona un m´etodo mucho m´as r´apido. Recordemos que el s´ımbolo de Legendre es una funci´on multiplicativa. ( 315 65537
4 · (^655364)
6 · (^655364)
Es decir, la congruencia x^2 ≡ 315 (m´od 65537) tiene soluci´on. De hecho tiene exactamente dos soluciones pero la Ley de reciprocidad cuadr´atica no nos da una pauta para encontrarlas.
20 CAP´ITULO 3. CONGRUENCIAS
b) Otro ejemplo interesante de aplicaciones es el siguiente. Queremos saber para qu´e primos, la congruencia x^2 ≡ 3 (m´od p) tiene soluci´on. Es decir, para qu´e valores de p se tiene que
3 p
p
(p
3
p− 1 (^2).
Como (p 3
+1 si p ≡ 1 (m´od 3) − 1 si p ≡ − 1 (m´od 3) y
(−1)
p− 1 (^2) =
+1 si p ≡ 1 (m´od 4) − 1 si p ≡ − 1 (m´od 4)
resulta que ( 3 p
+1 si p ≡ ± 1 (m´od 12) − 1 si p ≡ ± 5 (m´od 12).
3.7. Ejercicios del cap´ıtulo 3
3.7.1. Se ha escrito un n´umero. Luego se ha escrito otro, permutando las cifras del primero. La diferencia de los dos n´umeros es 391738 X ¿Qu´e d´ıgito es la ´ultima cifra representada por X?
3.7.2. Sea S un conjunto de n enteros no necesariamente distintos. Demostrar que alg´un subconjunto no vac´ıo de S posee una suma divisible por n.
3.7.3. Demostrar que
∑n k=1 k^10
k (^) es m´ultiplo de 3 si y s´olo si n 6 ≡ 1 (m´od 3).
3.7.4. Hallar el resto al dividir el n´umero 999 998 997... 003 002 001 000 entre
3.7.5. El n´umero n expresado en base 2 se escribe 10010100111010100011 , Decir si es m´ultiplo de 3.
3.7.6. Probar el rec´ıproco del teorema de Wilson: Si (n − 1)! + 1 ≡ 0 (m´od n), entonces n es primo.
3.7.7. Demostrar que si n + 2 es primo, n > 1 , entonces n 2 n^ + 1 no es primo.
