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Congruencias
Si a y b son enteros y n es un número natural, decimos que a y b son congruentes modulo n si
a-b es divisible entre n , y escribimos a≡b (mod n ).
Observar que a≡b (mod n ) si y solo si a y b dejan el mismo residuo al ser divididos entre n.
Ejemplos. 3≡7 (mod 4) -5≡9 (mod 7) 66 ≡0 (mod 11) -1≡1 (mod 2)
Lema 1. Las congruencias modulo n definen una relación de equivalencia en Z.
Demostración. Hay que ver que ser congruentes modulo n es una relación reflexiva, simétrica y transitiva:
• a≡a (mod n) ya que a-a=0 es divisible entre n para todo n.
• Si a≡b (mod n) entonces b≡a (mod n), ya que si a-b es divisible entre n entonces b-a también es
divisible entre n.
• Si a≡b (mod n) y b≡c (mod n) entonces a≡c (mod n), ya que si a-b y b-c son divisibles entre n
entonces a-c=(a-b)+(b-c) también es divisible entre n. □
Ejemplos.
- Dos números son congruentes modulo 2 si y solo si tienen la misma paridad. Las dos clases de equivalencia modulo 2 están formadas por los números pares y los números impares.
- Hay 4 clases de equivalencia de enteros modulo 4, representadas por los residuos 0, 1, 2 y 3. Las 4 clases de equivalencia son 0 = {...,-12,-8, -4,0,4,8,12,...} 1 = {...,-11,-8,-3,1,5,9,13,...} 2 = {...,-10,-6,-2,2,6,10,14,...} 3 = {...,-9,-5,-1,3,7,11,15,...}
Lema 2. La relación de congruencia modulo n es compatible con la suma y el producto en Z :
si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces a+c ≡ b+d (mod n) y a▪c ≡ b▪d (mod n).
Demostración. Si a≡b (mod n) y c≡d (mod n) entonces a-b y c-d son divisibles entre n, por lo tanto (a+c)-(b+d) = (a-b)+(c-d) es divisible entre n, así que a+c≡b+d (mod n). Ademas (a-b)∙c es divisible entre n y b∙(c-d) es divisible entre n, por lo tanto a∙c-b∙d = (a-b)∙c- b∙(c-d) es divisible entre n, así que a∙c≡b∙d (mod n). □
Ejemplos.
- Como 2≡7 (mod 5) y 4≡-6 (mod 5) entonces 2+4≡7-6 (mod 5) y 2 ▪4≡7▪(-6) (mod 5).
- Si ahorita son las 9 entonces en 7 horas serán las 4, ya que 9+7≡4 (mod 12)
- Si hoy es martes entonces en 30 días será jueves, ya que 30≡2 (mod 7)
Problemas.
1. Dos engranes E y F con m y n dientes respectivamente giran
juntos ¿Después de cuantas vueltas de E y cuantas de F los dos
engranes vuelven a la posición original, si...
a. m=20, n=30? b. m=21, n=30? c. m=20, n=31?
2. Si son las 3pm entonces dentro de 100 horas serán las __ y en 1000 horas serán las __
3. Si hoy es martes dentro de 100 días será ___ y dentro de 4321 días será ___
Si este año mi cumpleaños es el jueves, el próximo año será el ___
4. Demuestra que si ac≡bc (mod n) con c y n primos relativos entonces a≡b (mod n).
Muestra que esto puede fallar si m y n no son primos relativos.
5. Demuestra que si p es un numero primo entonces ab≡0 (mod p) si y solo si a≡0 (mod p) o
b≡0 (mod p). Muestra que esto no es cierto si p no es primo.
Ecuaciones con congruencias.
Podemos preguntarmos cuales números enteros satisfacen alguna relación de congruencia.
Ejemplo. ¿Cuales números enteros satisfacen...
- x ≡3 (mod 5)? los números que al dividirse entre 5 dejan residuo 3: ...-7,-2,3,8,13,...
- 2 x ≡0 (mod 6)? los números que multiplicados por 2 son divisibles entre 6: ...-6,-3,0,3,6,...
- 4 x ≡1 (mod 2)? ninguno, porque 4x-1 nunca es divisible entre 2
- 2 x =3 (mod 5)? los que multip. por 2 y divididos entre 5 dejan residuo 3: ...-6,-1,4,9,14,...
- 3 x =2 (mod 6)? ninguno porque 3x-2 nunca es divisible entre 6
En los ejemplos anteriores la ecuación ax≡b (mod n) a veces tiene una infinidad de soluciones y
otras veces no tiene ninguna. Podemos preguntarnos si esto siempre ocurre, y si habrá una
manera de hallar las soluciones a estas ecuaciones que no sea adivinando.
Lema 4. Si a y n son primos relativos la congruencia a x ≡b (mod n ) siempre tiene soluciones, y
todas las soluciones son congruentes modulo n.
Demostración. ax ≡ b (mod n) si y solo si existe y en Z tal que ax+ny=b. Esta ecuación tiene soluciones enteras si y solo si el mcd de a y n divide a b. Si a y n son primos relativos su mcd es 1 así que la ecuación tiene soluciones. Si ax 1 ≡ b (mod n) y ax 2 ≡ b (mod n) son soluciones de la ecuación entonces a(x 1 -x 2 ) ≡ 0 (mod n). Esto dice que n divide a a(x 1 -x 2 ) y como a y n son primos relativos n debe dividir a (x 1 -x 2 ) así que x 1 ≡ x 2 (mod n).
10. Muestra lo siguiente , sin hallar todas las soluciones:
a. Las ecuaciones 3x≡1 (mod 7) y 6x≡2 (mod 7) tienen las mismas soluciones.
b. Las ecuaciones 2x≡1 (mod 6) y 4x≡2 (mod 6) no tienen las mismas soluciones.
c. Las ecuaciones 3x≡2 (mod 7) y 5x≡1 (mod 7) tienen las mismas soluciones.
Hint: para c, muestra que cada ecuación se puede multiplicar por un número para obtener la otra. Sistemas de congruencias.
En el siglo III el matemático chino Sunzi propuso el siguiente problema:
Hay algunas cosas cuya cantidad desconocemos. Si las contamos de 3 en 3 sobran 2, si las
contamos de 5 en 5 sobran 3 y si las contamos de 7 en 7 sobran 2 ¿Cuantas cosas son?
Que en lenguaje moderno diría:
Hallar un numero entero que al dividirse entre 3 deje residuo 2, al dividirse entre 5 deje
residuo 3 y al dividirse entre 7 deje residuo 2.
En el siglo VI el hindú Aryabhata dio un algoritmo para resolver problemas de este tipo, y en el
siglo XIII el chino Qin Jiushao dio la solución general.
En el siglo XVIII Gauss definió las congruencias, con las que el problema puede escribirse:
Hallar las soluciones del sistema
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
Podemos intentar atacar el problema con fuerza bruta, hallando las soluciones de cada ecuación y
viendo que números están en su intersección:
x ≡ 2 (mod 3) ...-7,-4,-1,2,5,8,11,14,17,20,23,...
x ≡ 3 (mod 5) ...-12,-7,-2,3,8,13,18,23,28,33,...
x ≡ 2 (mod 7) ...-19,-12,-5,2,9,16,23,30,37,44,...
Aquí 23 es la única solución común visible, podría haber muchas otras en las listas completas
¿Y que pasa si cambiamos la tercera ecuación y consideramos el siguiente sistema?
x ≡ 2 (mod 3) ...-7,-4,-1,2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44...
x ≡ 3 (mod 5) ...-12,-7,-2,3,8,13,18,23,28,33,38,43...
x ≡ 4 (mod 7) ...-17,-10,-3,4,11,18,25,32,39,46,...
Aquí no se ve ninguna solución común, pero podría estar antes o después en las listas...
No es nada obvio cuando un sistema de ecuaciones en congruencias tiene soluciones.
La respuesta la da el siguiente resultado:
Teorema Chino de los Residuos. Si n 1 , n 2 , n 3 , ..., nk son primos relativos, entonces el sistema de
congruencias
x ≡ a 1 (mod n 1 )
x ≡ a 2 (mod n 2 )
x ≡ ak (mod nk)
siempre tiene soluciones, y las soluciones son congruentes modulo n 1 n 2 n 3 ...nk.
En particular, existe exactamente una solución entre 0 y n 1 n 2 n 3 ...nk.
Demostración. Veremos primero que si el sistema tiene soluciones, estas difieren por múltiplos de n 1 n 2 n 3 ...nk.
Si x 1 es una solución del sistema y x 2 ≡ x 1 (mod n 1 n 2 n 3 ...nk) entonces x 2 también es solución del sistema
ya que x 2 ≡ x 1 (mod ni) para cada i. Y si x 1 y x 2 son soluciones del sistema, entonces x 1 -x 2 ≡ 0 (mod ni) para cada i, así que x 1 -x 2 es divisible entre cada ni. Como los ni son primos relativos, esto implica que x 1 -x 2 es divisible entre el producto de todos los ni, así que x 1 ≡ x 2 (mod n 1 n 2 n 3 ...nk). Para ver que estos sistemas siempre tienen soluciones consideremos primero un sistema de 2 ecuaciones: x ≡ a 1 (mod n 1 ) x ≡ a 2 (mod n 2 ) Sabemos que la primera ecuación tiene soluciones, que son de la forma x = a 1 +n 1 y para y en Z. Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación obtenemos a 1 +n 1 y ≡ a 2 (mod n 2 ) así que n 1 y ≡ a 2 - a 1 (mod n 2 ) Como n 1 y n 2 son primos relativos, entonces esta ecuación tiene soluciones. Si y 1 es una solución entonces x = a 1 +n 1 y 1 es solución de la primera ecuación y también x = a 1 +n 1 y 1 ≡ a 1 +(a 2 -a 1 ) ≡ a 2 (mod n 2 ) así que x también es solución de la segunda ecuación Ahora podemos proceder por inducción en el numero de ecuaciones. Supongamos que todo sistema de k ecuaciones tiene soluciones, que difieren por múltiplos de los k módulos, y consideremos un sistema de k+1 ecuaciones. x ≡ a 1 (mod n 1 ) x ≡ a 2 (mod n 2 )
.......... x ≡ ak (mod nk) x ≡ ak+1 (mod nk+1) Por hipótesis de inducción, el sistema formado por la primeras k ecuaciones tiene soluciones, que son de la forma x = a+n 1 n 2 ...nky para y en Z. Sustituyendo en la ultima ecuación obtenemos
132z-65 ≡ 5 (mod 13) simplificando queda 2z ≡ 5 (mod 13) multiplicando por 7 da 14z ≡ 35 (mod 13) y simplificando queda z ≡ 9 (mod 13) cuyas soluciones son z=9+13m. Sustituyendo este valor de z en x queda x = 132z-65 = 132(9+13m)-65 = 1123+1716m , con m en Z. La solución positiva mas pequeña (el único valor de x entre 0 y 1716) es 1188, lo que puede comprobarse dividiendo 1188 entre 11, 12 y 13. Problemas.
11. Encontrar todas las soluciones de los sistemas de congruencias
a. x ≡ 5 (mod 7) b. x ≡ 1 (mod 9)
x ≡ 6 (mod 11) x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 2 (mod 20)
12. Hallar el número natural mas pequeño que dividido entre 17 deja residuo 5 y dividido entre 19
deja residuo 8. (usando el teorema chino, no la fuerza bruta)
13. ¿Cual es el número mas cercano a 1000 que al dividirse entre 7 deja residuo 2, al dividirse
entre 9 deja residuo 3 y al dividirse entre 11 deja residuo 4?
14. Hallar todas las soluciones (ojo con los módulos)
a. x ≡ 3 (mod 6) b. x ≡ 2 (mod 6)
x ≡ 7 (mod 10) x ≡ 7 (mod 9)
15. Hallar todas las soluciones del sistema de congruencias
4x ≡ 2 (mod 11)
5x ≡ 6 (mod 17)
hint: cambiar las congruencias por otras equivalentes donde los coeficientes de x sean 1
Los enteros modulo n.
Para cada n>1 hay n clases de congruencia de enteros módulo n, correspondientes a los residuos
0,1,2,3,...,n-1, y que denotaremos por 0 , 1 , 2 , 3 , ..., n-1.
Al conjunto de clases de congruencia modulo n se le denota por Z n.
Observar que a=b en Z n ⇔ a≡b (mod n ) ⇔ n|a-b.
Los elementos de Z n pueden sumarse y multiplicarse: la suma y producto modulo n están bien
definidas porque si a≡b (mod n ) y c≡d (mod n ) entonces a+c≡b+d (mod n ) y ac≡bd (mod n ).
Ejemplo. Z 5 tiene 5 elementos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Las tablas de la suma y multiplicación en Z 5 son:
x 0 1 2 3 4
En la tabla de la suma en cada renglón aparecen los mismos números pero recorridos. En la multiplicación en cada renglón aparecen todos los números, pero en distintos ordenes.
Ejemplo. Z 6 tiene 6 elementos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5. Las tablas de la suma y multiplicación en Z 6 :
x 0 1 2 3 4 5
La tabla de la suma en Z 6 se parece a la de Z 5 : en cada renglón están todos los números pero recorridos. La tabla de la multiplicación es muy distinta: en algunos renglones solo aparecen algunos números, estos están repetidos y el 0 aparece como producto de números distintos de 0_._
Problemas.
16. Calcula la tabla de multiplicar de Z 7 y la de Z 8.
17. Encuentra los divisores de 0 en Z 21 y di por cuanto hay que multiplicarlos para obtener 0.
18. ¿ Z 129 es un dominio entero? ¿y Z 131? Explica.
19. ¿Es cierto que en un anillo conmutativo el producto de divisores de 0 es divisor de 0?
.... ¿Y que la suma de divisores de 0 es un divisor de 0?
20. Demuestra que si en un anillo conmutativo A vale la cancelación para el producto entonces A
es un dominio entero.
La multiplicación en Z n.
Si m es primo relativo con n , entonces al multiplicar a m por todos los elementos de Z n quedan
elementos distintos de Z n ya que si m∙a = m∙b en Z n entonces m∙(a-b)= 0 en Z n así que n|m(a-b)
y como m y n son primos relativos entonces n|a-b así que a = b en Z n.
Esto dice que en la tabla de multiplicar de Z n el renglón correspondiente a m tiene n números
distintos , por lo que deben aparecer todos: 0 , 1 , 2 , 3 , ..., n-1.
Si m y n no son primos relativos, y su mcd es d, entonces todos los múltiplos de m son múltiplos
de d, por lo que al multiplicar por m solo aparecen múltiplos de d. Debe aparecer d (ya que
existen enteros a y b tales que am+bn=d por lo que a∙m=d y por lo tanto aparecen todos los
múltiplos de d y cada uno aparece repetido d veces.
Recordar que si A es un anillo conmutativo entonces un inverso multiplicativo de un elemento a es
un elemento b tal que ab=1. Los inversos multiplicativos en un anillo conmutativo son únicos, ya
que si ab=1 y ac=1 entonces b=1b=(ac)b=a(cb)=a(bc)=(ab)c=1c=c así que b=c.
Lema. En Z n la clase a tiene inverso si y solo si a y n son primos relativos.
Demostración. ⇒ Si existe b en Z n tal que a∙b= 1 entonces n|ab-1, así que existe m tal que ab-1=mn, por lo que 1 es una combinación lineal entera de a y n, así que a y n son primos relativos. □
⇐ Si a y n son primos relativos entonces existe una combinación lineal entera ab+mn=1 así que a∙b= 1 en
Z n y esto dice que b es inverso de a.
Ejemplos:
- En Z 7 todos los elementos distintos de 0 tienen inversos. Podemos hallar el inverso de cada m hallando la combinación lineal de 7 y m da 1: para m= 5 , (3)5-2(7)=1 así que 3∙ 5 ≡1 (mod 7) y esto dice que el inverso de 5 es 3.
- En Z 12 los elementos 1 , 5 , 7 , 11 tienen inversos, los elementos 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 10 son divisores de 0, por lo que no pueden tener inversos.
- ¿En Z 37 cual es el inverso multiplicativo de 16? Por el algoritmo de Euclides 37 = 16·2+ 16 = 5·3+ 1 = 16-5·2 = 16-(37-16·2)·3 = 16·7-37· 3 así que 16· 7 ≡ 1 (mod 37) y el inverso de 16 es 7.
Un campo es un anillo conmutativo donde cada elemento distinto de 0 tiene un inverso
multiplicativo. Los números reales forman un campo, los racionales forman otro, los enteros no.
Todos los campos son dominios enteros, ya que si ab=0 y a≠ 0 , entonces podemos multiplicar la
igualdad por el inverso multiplicativo de a y obtener b=(a-1a)b=a-1(ab)=a-10=0 así que b=0.
Pero hay muchos dominios enteros que no son campos, como Z.
Corolario. Si p es un número primo entonces Z p es un campo.
Demostración. Ya sabemos que cada Z n es un anillo conmutativo con unidad. Falta ver que si p es primo entonces cada a≠ 0 en Z p tiene un inverso multiplicativo. Esto se sigue del lema anterior porque si p es primo todos los números entre 1 y p-1 son primos relativos con p. □
Observar que en los campos existe la división, que se define para b≠ 0 como a÷b=a∙b
Ejemplo: Z 2 es un campo con solo 2 elementos.
Ejemplo: Z 5 es un campo, así que en Z 5 podemos dividir entre números distintos de 0:
1 ÷ 2 = 3 ya que 2 x 3 = 1 en Z 5 1 ÷ 4 = 4 ya que 4 x 4 = 1 en Z 5 2 ÷ 3 = 4 ya que 3 x 4 = 2 en Z 5 3 ÷ 4 = 2 ya que 4 x 2 = 3 en Z 5 Ecuaciones lineales.
Si A es un anillo conmutativo, una ecuación lineal en A es una ecuación de la forma ax+b=
donde a y b son elementos de A , a≠ 0 y la incógnita x es un elemento desconocido en A.
La existencia de soluciones para las ecuaciones lineales depende del anillo:
- En un campo cada ecuación lineal ax+b=0 tiene exactamente una solución: x=-b÷a.
- En otros anillos la ecuación lineal ax+b=0 puede tener una solución o tener varias o no
tener ninguna, dependiendo de los coeficientes.
Calcular las potencias en Z n es mas fácil que calcular las potencias en Z porque solo tenemos que
multiplicar los residuos modulo n.
Ejemplos: Las potencias de 7 en Z 9 : Las potencias de 7 en Z 10 : Las potencias de 7 en Z 11 : 70 = 1 70 = 1 70 = 1 71 = 7 71 = 7 71 = 7 72 = 4 72 = 9 72 = 9 73 = 1 73 = 3 73 = 3 74 = 7 74 = 1 74 = 1 75 = 4 75 = 7 75 = 7 76 = 1 76 = 9 76 = 9 Las potencias de 7 77 = 3 77 = 3 se repiten con periodo 3. 78 = 1 78 = 1 79 = 7 79 = 7 las potencias de 7 710 = 7 se repiten con periodo 4 711 = 7
. las potencias de 7 se repiten con periodo 10 ¿Como se pueden explicar los periodos de las potencias mod n? ¿Tienen alguna relación con el módulo?
Teorema pequeño de Fermat. Si p es un numero primo entonces a
p
≡ a (mod p) para todo a.
Corolarios:
- Si p es primo y p no divide a a entonces a p-
≡ 1 (mod p).
Esto es cierto porque entonces a y p son primos relativos, asi que a tiene un inverso mod p, y multiplicando ap-1^ ≡ 1 (mod p) por el inverso de a obtenemos el resultado.
- Si p es primo, el periodo de repetición de las potencias de a en Z p divide a p-1. Como a^0 ≡ 1 y ap-1^ ≡ 1 las potencias de a se repiten después de p-1 pasos. Y el periodo de repetición mínimo debe dividir a cualquier periodo de repetición, porque si no se repetirían después del residuo.
Observación. Si n no es primo a
n
≡ a (mod n) puede ser cierta o no dependiendo de a y n.
Ejemplos:
- 25 ≡2 (mod 5)
- 37 ≡3 (mod 7)
- 46 ≡4 (mod 6)
- 56 ≡5 (mod 6)
n 1 n 2 n k n n-
Hay muchas demostraciones del teorema pequeño de Fermat, una sencilla usa el siguiente lema:
Lema. Si p es un número primo entonces (a+b)p^ ≡ ap+bp^ (mod p) para todos a,b en Z.
Demostración. Por el Teorema del binomio* (a+b)n^ ≡ an^ + ( ) an-1b + ( ) an-2b^2 +...+ ( ) an-kbk^ +...+ ( ) abn-1^ + bn donde = Basta ver que todos los coeficientes de los términos donde aparecen a y b son divisibles entre n. El número n aparece en el numerador de y todos los números en el denominador son menores a n. El cociente es un entero, que se obtiene cancelando los factores primos comunes en el numerador y el denominador. Si n es primo entonces n aparece entre los factores primos del numerador pero no aparece entre los factores primos del denominador, por lo tanto sobrevive a la cancelación y el resultado es divisible entre n. □
- Quienes no recuerden el teorema del binomio pueden ver: https://www.matem.unam.mx/~max/AS1/N5.pdf pagina 9 Demostración del teorema pequeño de Fermat. Por inducción sobre a. Base de inducción. 1 p=1 (mod p). Paso de inducción. Supongamos que el teorema vale para a y probemos que vale para a+1: Si ap^ ≡ a (mod p) entonces por el lema anterior (a+1)p^ ≡ ap^ +1p^ (mod p). Y por hipótesis de inducción ap^ +1p^ ≡ a+1 (mod p) asi que ya acabamos. □
El test de primalidad de Fermat es un procedimiento para tratar de adivinar si un número n es
primo, usando el teorema pequeño de Fermat:
Elegir al azar un número a menor que n, calcular a
n-
(mod n).
- Si el resultado no es 1 el numero n no es primo.
- Si el resultado es 1 el numero n puede ser primo.
Observar que si a
n-
≡ 1 (mod n) entonces a y n son primos relativos. Así que si n no es primo
siempre hay valores de a para los que a
n-
≡ 1 (mod n). Y muchas veces a
n-
≡ 1 (mod n) aunque
a y n sean primos relativos. Así que si repetimos el test muchas veces eligiendo a al azar y el
resultado es siempre 1 entonces es muy probable que n sea primo.
Problemas.
26. a. Calcula las potencias de 4 modulo 13. ¿Con que periodo se repiten?
b. Calcula las potencias de 7 modulo 13. ¿Con que periodo se repiten?
27. Calcula: a. 100100 (mod 3) b. 399 (mod 7) c. 791 (mod 8) no trabajen de mas!
28. ¿Para cuales valores de a se tiene que a^8 ≡ a (mod 8)? ¿Y que a^12 ≡ a (mod 12)?
29. Muestra que si n no es primo entonces la congruencia (a+b)n^ ≡ an+bn^ (mod n) puede fallar.
n n! k k! (n-k)! n! k! (n-k)!
Factoriales en Z n.
Son mas fáciles de calcular que en Z porque solo hay que multiplicar los residuos modulo n.
Observar que m! ≡ 0 (mod n) si m≥n.
Ejemplos. Factoriales en Z 6 : Factoriales en Z 7 : Factoriales en Z 9 :
Si n no es primo, podemos escribir n=ab con 1<a,b<n así que a y b son factores de (n-1)!, por lo
que n=ab divide a (n-1)! y por lo tanto (n-1)! ≡ 0 (mod n).
Si n es primo entonces todos los números entre 1 y n son primos relativos con n así que (n-1)! es
primo relativo con n y por lo tanto (n-1)! ≡ 0 (mod n).
Así que n es primo ⇔ (n-1)! ≡ 0 (mod n)
Teorema de Wilson. Si p es primo entonces (p-1)! = -1 en Z p.
Demostración. Si p es primo, cada número a entre 1 y p es primo relativo con p y por lo tanto a tiene un inverso en Z p. El inverso de -1 es -1, pero el inverso de cualquier número a distinto de 1 y -1 es un número distinto de a (ya que si el inverso de a es a entonces a es una raíz cuadrada de 1, pero las únicas raíces cuadradas de 1 en Z p con p primo son 1 y -1). Así que en el producto 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙(p-1) aparece cada número y su inverso y se cancelan, y solo queda -1 (que solo aparece una vez en el producto). Por lo tanto 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙(p-1)≡ -1 (mod p). □ Problemas.
30. ¿-1 tiene raíces cuadradas en Z 11? ¿-1 tiene raíces cuadradas en Z 13? ¿Si si, cuales son?
31. a. Muestra que si p primo, los únicos números en Z p cuyo cuadrado es 1 son 1 y -1.
......b. Muestra que esto puede fallar si p no es primo.
32. ¿Cuales números en Z 11 tienen raíces cubicas?
33. Calcula a. 99! en Z 101 b. 100! en Z 1001
34. ¿Si n es primo, cuanto vale (n-2)! (mod n)? ¿Y si n no es primo?
