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Algebra Lineal (GETI/GEQ/GEM) Codi: 240011 A
Temps: 50 minuts Test (9 punts) 27 de Gener de 2014
1. Suposem Aamb ´unic valor propi λ= 0 (m´ultiple) i blocs de Jordan de grand`aries 4,3 i 1.
Dedu¨ıu les grand`aries dels blocs de Jordan de A2:
(a) 3,2,1,1,1. (b) 3,2,2,1. (c) 2,2,2,2. (d) 2,2,2,1,1.
(e) Cap de les anteriors.
2. Essent F={(x, y, z, t)∈R4:αx +y+z+t= 0, x +y+αz +t= 0},G={(x, y, z , t)∈R4:
x+αy +z+t= 0, x +y+z+αt = 0}, trobeu per a quins valors de α∈R´es F∩G={0}:
(a) α6=−1,1. (b) α6= 1,3. (c) α6= 1,−3. (d) α6=−1,3.
(e) Cap de les anteriors.
3. De les cinc arrels cinquenes de √3−i, digueu quantes tenen part imagin`aria positiva
(a) 4. (b) 1. (c) 2. (d) 3. (e) Cap de les anteriors.
4. Sigui f:R3−→ R3lineal, amb Nuc f={(x, y, z) : x+y+z= 0}, Im f={(x, y, z) : x+z=
0, y = 0}. Aleshores:
(a) f2=f+Id. (b) f2=Id. (c) f2= 0. (d) f2=f. (e) Cap de les anteriors.
5. Essent A=
2 2223
222426
232629
, quina de les afirmacions seg¨uents ´es FALSA:
(a) A´es sim`etrica. (b) det A´es m´ultiple de 210 . (c) det A´es m´ultiple de 3.
(d) A´es invertible. (e) rang A= 2.
6. Donada l’equaci´o diferencial ordin`aria y00(t)−3y0(t) + 2y(t) = e2t, calculeu per a quin α∈R
n’´es soluci´o la funci´o y(t) = αte2t:
(a) α= 1/2. (b) α=−1. (c) α=−1/2. (d) α= 2. (e) Cap de les anteriors.
7. Essent A∈M2(R) que S−1AS =
1/2
−1
2
amb S=
101
110
010
, considerem el sistema
lineal discret x(k+ 1) = Ax(k). Determineu les condicions inicials x(0) per tal que la soluci´o
x(k) sigui acotada:
(a) x1(0) = x2(0) = x3(0). (b) x2(0) = x3(0). (c) x1(0) = x2(0).
(d) x1(0) −x2(0) + x3(0) = 0. (e) Cap de les anteriors.
8. La soluci´o de la equaci´o en difer`encies y(k+ 3) −5y(k+ 2) + 8y(k+ 1) −4y(k) = 0, que satisf`a
les condicions inicials y(0) = 0, y(1) = 1, y(2) = 2, ´es:
(a) y(k) = −3 + 3k+1 −(1/3)k3k. (b) y(k) = −2 + 2k+1 −(1/2)k2k.
(c) y(k) = −(3/2) + 2k+1 −(1/2)3k. (d) y(k) = k.
(e) Cap de les anteriors.
9. Calculeu l’antitransformada Z−1"z2
(z−1)(z−2)#
(a) −k2k+ 1. (b) −2k+k. (c) 2k−1. (d) 2k+1 −1. (e) Cap de les anteriors.