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ALGEBRA´ Test-A 1 de julio de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Atenci´on: Marque la opci´on deseada. Calificaci´on:
2 m´ax{ 0 ,Aciertos− 6 } 5
40 minutos
- F Todo endomorfismo biyectivo es diagonalizable.
- V Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita y f : V 7 −→ V un endomorfismo. El escalar λ ∈ R
es un valor propio de f si y s´olo si Ker(f − λ Id) ̸=
{−→ 0
} .
- V Sea f : E 7 −→ E un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita. Si f es diagonalizable
y tiene un ´unico autovalor, entonces la matriz de f respecto a cualquier base de E es diagonal.
- La matriz respecto a las bases can´onicas de la aplicaci´on lineal f : R^2 7 −→ R^2 tal que f (1, 1) = (2, 2) y
f (− 1 , 1) = (2, 0) es A =
0 2
1 1
(^).
- F Si U y V son subespacios de R
5 tales que dim(U ) = dim(V ) = 4, entonces U + V = R
5 .
- V El conjunto
{ (1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 0)
} ⊂ Z
3 2 es linealmente dependiente.
- F Q es un R-espacio vectorial con las operaciones suma y producto habituales.
- V Sea A ∈ Mn×n(R).
A
2
- 2A − Idn = 0 si y s´olo si la aplicaci´on lineal asociada a A, f : R
n 7 −→ R
n , verifica f
− 1 = f + 2 IdRn^.
- V (p ∨ q) ⇐⇒
( (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
) es una tautolog´ıa.
- En el R-espacio vectorial C([0, π], R) con el producto escalar (f, g) =
∫ (^) π
0
f (x)g(x)dx, el coseno del ´angulo
que forman las funciones 1, x es
√ 3
2
.
- Respecto a la base B =
{ (1, 2), (− 1 , −1)
} ⊂ R^2 , la matriz del giro positivo de 90o^ alrededor del origen es
G =
3 -
5 -
(^).
- V Para todo espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita se puede encontrar una base en la cual el producto
escalar tiene la forma
(−→ x ,
−→ y
) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + xnyn donde (x 1 , x 2 ,... , xn) y (y 1 , y 2 ,... , yn) son las
coordenadas de los vectores
−→ x ,
−→ y respecto a dicha base.
- F Sean las aplicaciones f : A 7 −→ B y g : B 7 −→ A.
g ◦ f = IdA =⇒ g = f
− 1 .
- F
(
∃x||
( p(x) y q(x)
)) ⇐⇒
((
∃x||p(x)
) y
( ∃x||q(x)
)) es una ley l´ogica.
- V Sea A = {x} y > una operaci´on interna arbitraria sobre A.
(A, >) es un grupo abeliano.
- Una base del subespacio vectorial S = {(x, y, z) ∈ R
3 : x + y + z = 0, x − y + z = 0} es
{ (1, 0 , −1)
}
ALGEBRA´ Test-B 1 de julio de 2011
APELLIDOS:
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2 m´ax{ 0 ,Aciertos− 6 } 5
40 minutos
- F
(
∃x||
( p(x) y q(x)
)) ⇐⇒
((
∃x||p(x)
) y
( ∃x||q(x)
)) es una ley l´ogica.
- F Q es un R-espacio vectorial con las operaciones suma y producto habituales.
- V Sea A ∈ Mn×n(R).
A
2
- 2A − Idn = 0 si y s´olo si la aplicaci´on lineal asociada a A, f : R
n 7 −→ R
n , verifica f
− 1 = f + 2 IdRn.
- F Todo endomorfismo biyectivo es diagonalizable.
- V Para todo espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita se puede encontrar una base en la cual el producto
escalar tiene la forma
(−→ x ,
−→ y
) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + xnyn donde (x 1 , x 2 ,... , xn) y (y 1 , y 2 ,... , yn) son las
coordenadas de los vectores
−→ x ,
−→ y respecto a dicha base.
- Respecto a la base B =
{ (1, 2), (− 1 , −1)
} ⊂ R
2 , la matriz del giro positivo de 90
o alrededor del origen es
G =
3 -
5 -
(^).
- V (p ∨ q) ⇐⇒
( (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
) es una tautolog´ıa.
- F Si U y V son subespacios de R
5 tales que dim(U ) = dim(V ) = 4, entonces U + V = R
5 .
- F Sean las aplicaciones f : A 7 −→ B y g : B 7 −→ A.
g ◦ f = IdA =⇒ g = f
− 1 .
- La matriz respecto a las bases can´onicas de la aplicaci´on lineal f : R^2 7 −→ R^2 tal que f (1, 1) = (2, 2) y
f (− 1 , 1) = (2, 0) es A =
0 2
1 1
(^).
- V Sea A = {x} y > una operaci´on interna arbitraria sobre A.
(A, >) es un grupo abeliano.
- Una base del subespacio vectorial S = {(x, y, z) ∈ R
3 : x + y + z = 0, x − y + z = 0} es
{ (1, 0 , −1)
}
- V Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita y f : V 7 −→ V un endomorfismo. El escalar λ ∈ R
es un valor propio de f si y s´olo si Ker(f − λ Id) ̸=
{−→ 0
} .
- En el R-espacio vectorial C([0, π], R) con el producto escalar (f, g) =
∫ (^) π
0
f (x)g(x)dx, el coseno del ´angulo
que forman las funciones 1, x es
√ 3
2
.
- V Sea f : E 7 −→ E un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita. Si f es diagonalizable
y tiene un ´unico autovalor, entonces la matriz de f respecto a cualquier base de E es diagonal.
- V El conjunto
{ (1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 0)
} ⊂ Z^32 es linealmente dependiente.
ALGEBRA´ Test-D 1 de julio de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Atenci´on: Marque la opci´on deseada. Calificaci´on:
2 m´ax{ 0 ,Aciertos− 6 } 5
40 minutos
- F Q es un R-espacio vectorial con las operaciones suma y producto habituales.
- La matriz respecto a las bases can´onicas de la aplicaci´on lineal f : R
2 7 −→ R
2 tal que f (1, 1) = (2, 2) y
f (− 1 , 1) = (2, 0) es A =
0 2
1 1
(^).
- F Sean las aplicaciones f : A 7 −→ B y g : B 7 −→ A.
g ◦ f = IdA =⇒ g = f
− 1 .
- V Sea A ∈ Mn×n(R).
A^2 + 2A − Idn = 0 si y s´olo si la aplicaci´on lineal asociada a A, f : Rn^7 −→ Rn, verifica f −^1 = f + 2 IdRn.
- V El conjunto
{ (1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 0)
} ⊂ Z^32 es linealmente dependiente.
- F Si U y V son subespacios de R
5 tales que dim(U ) = dim(V ) = 4, entonces U + V = R
5 .
- V (p ∨ q) ⇐⇒
( (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
) es una tautolog´ıa.
- En el R-espacio vectorial C([0, π], R) con el producto escalar (f, g) =
∫ (^) π
0
f (x)g(x)dx, el coseno del ´angulo
que forman las funciones 1, x es
√ 3
2
.
- V Para todo espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita se puede encontrar una base en la cual el producto
escalar tiene la forma
(−→ x ,
−→ y
) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + xnyn donde (x 1 , x 2 ,... , xn) y (y 1 , y 2 ,... , yn) son las
coordenadas de los vectores
−→ x ,
−→ y respecto a dicha base.
- V Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita y f : V 7 −→ V un endomorfismo. El escalar λ ∈ R
es un valor propio de f si y s´olo si Ker(f − λ Id) ̸=
{−→ 0
} .
- F Todo endomorfismo biyectivo es diagonalizable.
- Una base del subespacio vectorial S = {(x, y, z) ∈ R
3 : x + y + z = 0, x − y + z = 0} es
{ (1, 0 , −1)
}
- Respecto a la base B =
{ (1, 2), (− 1 , −1)
} ⊂ R^2 , la matriz del giro positivo de 90o^ alrededor del origen es
G =
3 -
5 -
(^).
- F
(
∃x||
( p(x) y q(x)
)) ⇐⇒
((
∃x||p(x)
) y
( ∃x||q(x)
)) es una ley l´ogica.
- V Sea A = {x} y > una operaci´on interna arbitraria sobre A.
(A, >) es un grupo abeliano.
- V Sea f : E 7 −→ E un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita. Si f es diagonalizable
y tiene un ´unico autovalor, entonces la matriz de f respecto a cualquier base de E es diagonal.
ALGEBRA´ Ejercicio 1 1 de julio de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on m´axima: 2 puntos Tiempo estimado: 30 minutos
Sean las aplicaciones lineales g : Z
2 2 7 −→^ Z
5 2 y^ h^ :^ Z
5 2 7 −→^ Z
3 2 tales que
g
b 1
b 2
b 1 + b 2
b 1
b 1
b 2
b 2
y h
c 1
c 2
b 1
c 3
b 2
c 1 + b 1 + b 2
c 2 + b 1
c 3 + b 2
a) Calcular las matrices G y H asociadas a las funciones g y h.
b) Estudiar si son inyectivas y/o sobreyectivas las funciones g y h.
c) Calcular el producto de las matrices H y G.
d) Determinar el n´ucleo y la imagen de las funciones g y h. ¿Qu´e relaci´on hay entre Img(g) y Ker(h)?
e) Codificar w = (0, 1) ∈ Z
2 2 utilizando la funci´on^ g^ para obtener la palabra codificada^ p^ =^ g(w).
Modificar un bit de la palabra codificada, p, para obtener una nueva palabra, q. ¿Cu´anto vale h(q)?
Soluci´on:
a) Las im´agenes mediante g de los elementos de la base can´onica de Z
2 2 son
g
y g
Las im´agenes mediante h de los elementos de la base can´onica de Z
5 2 son
h
(^) , h
(^) , h
(^) , h
(^) y h
Las matrices asociadas a las funciones g y h son
G =
y H =
ALGEBRA´ Ejercicio 2 1 de julio de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on m´axima: 2 puntos Tiempo estimado: 30 minutos
- Sea
V, < , >
un R-espacio vectorial eucl´ıdeo, y
u y
v vectores de V, y ∥ ∥ la norma inducida
por el producto escalar < , >. Demostrar que
u +
v ∥
2 = ∥
u ∥
2
v ∥
2 si y solamente si
u y
v son ortogonales.
- Sea el R-espacio vectorial R 1 [x] =
p(x) = a + bx : a, b ∈ R
. Se pide:
a) Demostrar que < p(x), q(x) >= p(1)q(1) + p(2)q(2) es un producto escalar en R 1 [x].
b) Calcular todos los polinomios q(x) ∈ R 1 [x] que sean unitarios y ortogonales a p(x) = 1 + x.
Soluci´on:
- La norma al cuadrado del vector
u +
v es
u +
v ∥
2 =<
u +
v ,
u +
v >= ∥
u ∥
2
u ,
v > +∥
v ∥
2 .
Evidentemente, ∥
u +
v ∥
2 = ∥
u ∥
2
v ∥
2 si y solamente si <
u ,
v >= 0.
Aplicando la definici´on de ortogonalidad, ∥
u +
v ∥
2 = ∥
u ∥
2
v ∥
2 si y solamente si
u y
v
son ortogonales.
- a) Se trata de un producto escalar porque ∀p, q, r ∈ R 1 [x] y ∀λ ∈ R, se cumplen las siguientes
propiedades:
Sim´etrica:
< p(x), q(x) >= p(1)q(1) + p(2)q(2) = q(1)p(1) + q(2)p(2) =< q(x), p(x) >.
Distributiva:
< p(x), q(x) + r(x) > = p(1)
q(1) + r(1)
q(2) + r(2)
= p(1)q(1) + p(1)r(1) + p(2)q(2) + p(2)r(2)
p(1)q(1) + p(2)q(2)
p(1)r(1) + p(2)r(2)
=< p(x), q(x) > + < p(x), r(x) >.
Producto por un escalar:
< λp(x), q(x) >= λp(1)q(1) + λp(2)q(2) = λ
p(1)q(1) + p(2)q(2)
= λ < p(x), q(x) >.
Positividad:
< p(x), p(x) >= p(1)p(1) + p(2)p(2) = p
2 (1) + p
2 (2) ≥ 0.
Esta desigualdad asegura que el producto de un polinomio por s´ı mismo es un n´umero
positivo o nulo, pero la condici´on de producto escalar exige que el producto sea estric-
tamente mayor que cero si el vector (polinomio en este caso) es distinto del vector cero.
En este caso, el producto de un polinomio, p(x), por s´ı mismo se anula solamente cuando
p(1) = p(2) = 0.
Como el espacio vectorial de referencia es R 1 [x], p(x) = a 0 + a 1 x es un polinomio de
grado no superior a 1, luego el sistema de ecuaciones lineales
{
p(1) = a 0 + a 1 = 0
p(2) = a 0 + 2a 1 = 0
establece las condiciones que deben cumplir los polinomios de grado no superior a 1 y que
se anulan en los puntos x = 1 y x = 2. Se trata de un sistema compatible determinado
y su ´unica soluci´on es a 0 = a 1 = 0, que coincide con el polinomio p(x) = 0, por tanto, el
´unico polinomio de R 1 [x] que al multiplicarlo por s´ı mismo con la operaci´on considerada
da cero es el polinomio nulo.
Consecuentemente, se cumple
∀p(x) ∈ R 1 [x] < p(x), p(x) > ≥ 0 y < p(x), p(x) >= 0 ⇐⇒ p(x) = 0.
b) Si r(x) = a + bx, entonces
< 1 + x, q(x) >= 2(a + b) + 3(a + 2b) = 5a + 8b,
luego r(x) es ortogonal a 1 + x si y solamente si r(x) = −
b + bx = b
El m´odulo de los polinomios r(x) ortogonales a 1 + x es
∥r(x)∥
2
r(1)
2
2
b
2
= |b|
Los polinomios unitarios ortogonales a 1 + x son los que cumplen |b| =
, luego hay dos
soluciones:
q 1 (x) =
y q 2 (x) = −
El subespacio propio asociado al autovalor λ 2 = 1 es Ker(A − Id 3 ). Se trata del subespacio
formado por las soluciones del sistema
(A − Id 3 )
v
T
v 1
v 2
v 3
es decir
v 3 = 0
v 1 + v 2 − v 3 = 0
luego
Ker(A − Id 3 ) = {(a, −a, 0) : a, b ∈ R}.
La dimensi´on de este subespacio propio es 1 porque sus elementos pueden describirse con un
solo par´ametro. Cualquier conjunto formado por un vector no nulo del subespacio es una base
suya, por ejemplo:
B 1 = {(1, − 1 , 0)}.
El subespacio propio asociado al autovalor λ 3 = 2 es Ker(A − 2 Id 3 ). Se trata del subespacio
formado por las soluciones del sistema
(A − 2 Id 3 )
v
T
v 1
v 2
v 3
es decir
−v 1 + v 3 = 0
−v 2 + v 3 = 0
v 1 + v 2 − 2 v 3 = 0
luego
Ker(A − 2 Id 3 ) = {(x, y, z) ∈ R
3 : x = y, y = z} = {(a, a, a) : a, b ∈ R}.
La dimensi´on de este subespacio propio es 1 porque sus elementos pueden describirse con un
solo par´ametro. Cualquier conjunto formado por un vector no nulo del subespacio es una base
suya, por ejemplo:
B 2 = {(1, 1 , 1)}.
c) Como la dimensi´on del espacio vectorial V es tres y hay tres autovalores distintos, entonces la
matriz A es diagonalizable porque puede encontrarse una base formada por autovectores de A.
Las posibles formas diagonales de A son
d) El conjunto
B = B− 1 ∪ B 1 ∪ B 2 = {(1, 1 , −2), (1, − 1 , 0), (1, 1 , 1)}
es una base de R
3 formada por vectores propios de la matriz A, por tanto, la matriz E es diago-
nalizable y existe una matriz cuadrada P tal que P
− 1 AP = D, siendo D una matriz diagonal.
La matriz diagonal est´a formada por los autovalores de A :
D =
y la matriz P de cambio de base, tiene como columnas los elementos de la base B colocados en el
orden considerado al colocar los autovalores en A :
P =
La matriz inversa de P es
P
− 1
Puede comprobarse que
D = P
− 1 AP =
y que
AP =
= P D.
