algebra, Apuntes de Matemáticas

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APUNTES

DE

CÁLCULO I

Pepe Aranda

Departamento de Métodos Matemáticos

Facultad de Físicas. UCM

www.ucm.es/centros/webs/d

Cálculo I (2006-2007). Grupo C

Índice

1. Naturales, enteros, racionales y reales

1.1 Números naturales, enteros y racionales 1 1.2 El conjunto R 5

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

2.1 Funciones reales de variable real 9 2.2 Sucesiones de números reales 15 2.3 Límites de funciones. Funciones continuas 21 2.4 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos 28

3. Derivadas en R

3.1 Definición y cálculo 31 3.2 Teoremas sobre funciones derivables 35 3.3 Polinomios 39 3.4 Ceros de funciones 42 3.5 Representación de funciones 44 3.6 Aplicaciones 48

4. Series, Taylor y límites indeterminados

4.1 Series de números reales 51 4.2 Sucesiones y series de funciones 58 4.3 Series de potencias 61 4.4 Polinomios y series de Taylor 64 4.5 Cálculo de límites indeterminados 70

5. Integración en R

5.1 Definición y propiedades 77 5.2 Teoremas fundamentales 80 5.3 Cálculo de primitivas 84 5.4 Integrales impropias 89 5.5 Integración aproximada 93 5.6 Aplicaciones 98

6. Introducción al cálculo en C

6.1 Funciones de variable compleja 101 6.2 Series complejas de potencias 105

Problemas adicionales 109

Problemas comunes I

Novedades de las últimas versiones de los apuntes:

versión 2003: Primera escrita a LATEX, con el mismo orden en los temas que las anteriores a ordenador (y los viejos apuntes a mano de los años 80), aunque añadiendo diversas explicaciones a la teoría y nuevos ejemplos y problemas.

versión 2004: Con los mismos temas que las anteriores, pero algunos de ellos organizados de forma diferente. Si en la versión 2003 y anteriores el capítulo 1 (además de repasar los números y sus propiedades) contenía las sucesiones y las series numéricas, en ésta se acercan estas series a las de funciones, potencias y Taylor. Las sucesiones se trasladan a la sección 2.2, con el fin de haber dado antes el concepto de función y haber repasado las propiedades de los senos, cosenos, exponenciales,... [Creo que el límite de sucesiones (definición rigurosa de las que suelen tener problemas para ser entendidas) se debe dar antes que el ligeramente más complicado límite de funciones]. El 4 pasa a comenzar con las series numéricas, luego se tratan las sucesiones y series de funciones en general, y a continuación las de potencias. Los polinomios de Taylor (con los que en el 2003 empezaba el capítulo) se juntan en la sección 4.4 a las series de Taylor para no interrumpir los argumentos. El capítulo 3 permanece tal como estaba. El 5 sigue casi, casi igual (simplemente las longitudes adelantan a los volúmenes en 5.6) y el 6 tampoco varía (salvo que la i pasa a ser i ). Como todos los años, se corrigen erratas (y probablemente se crean algunas nuevas), se añaden algunas explicaciones a la teoría (en parte necesarias por la nueva organización de los temas) y se elaboran nuevos ejemplos (y se cambian otros de sitio). Los problemas (comunes y adicionales) se organizan según el nuevo orden de la teoría. Los comunes se reducen de 117 a 100, a pesar de incluir los de examen de 2004 y los de 2001 (antes en adicionales). Los adicionales, además de unos pocos nuevos, recogen, como siempre, los retirados de las hojas de comunes.

versión 2005: Sólo se hace alguna corrección estética y de erratas a la teoría y, como todos los años, se cambian algo los problemas, tanto los comunes como los adicionales.

versión 2006: La letra pasa a ser Times (comando \usepackage{mathptmx} en LATEX), lo que lleva a unos cuantos ajustes estéticos, de orden o de lenguaje para ajustar espacios. Las sucesiones de Cauchy se van al final de 2.2 (para aclarar que son secundarias en el temario del curso). Por la misma razón, Trapecios y Simpson son adelantadas por la integración de series en 5.5. Las sucesiones de límite no justificado (como n √ n ) retrasan su aparición a 2.3 (aún sin justificación, aunque más cerca del L’Hôpital, que pasa a ser demostrado (sin ser utilizado) en 3.2). Se reordena también la sección 4.5 de los límites indeterminados. Se retoca un poco la sección 3.3 (la parte de los polinomios de tercer y cuarto orden). Lo de siempre en problemas: se incluyen de los exámenes del 2005-06 en los 100 comunes, se cambia de sitio alguno y otros pasan a ser problemas adicionales (que de año en año van creciendo).

versión 2006 → 2009 : Esta versión es muy parecida a la 2006, con correcciones de estilo para ajustarse a nuevos márgenes y tamaños. En esencia es la elaborada para http://alqua.org/ en 2008 con el fin de servir de base a un ‘libro libre’. En esa página se pueden conseguir los ficheros LATEX y los dibujos de esos apuntes.

1. Naturales, enteros, racionales y reales

1.1. Números naturales, enteros y racionales

Los números que básicamente vamos a tratar son los reales R. Estudiaremos sucesiones de números reales, funciones de variables reales,... Pero antes de definir los reales vamos a hacer un breve repaso de los números más sencillos. En lo que sigue se supondrá que son conocidos los significados de los símbolos ∀ (para todo), ∃ (existe), ⇒ (implica), ⇔ (si y sólo si), ... y que se han visto propiedades lógicas sencillas que se utilizarán en alguna demostración como, por ejemplo, que la afirmación ‘p ⇒ q’ equivale a ‘(no q) ⇒ (no p)′. Otros conocimientos que se presuponen son las ideas y símbolos básicos de la teoría de conjuntos: ∪ (unión), ∩ (intersección), ⊂ (contenido en), ∈ (pertenece), ...

Llamaremos N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,.. .} al conjunto de los números naturales (sin incluir el 0 ), Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} al de los enteros, y Q = {p/q, p y q enteros, q 6 = 0 } al conjunto de los racionales. La suma y el producto de dos números naturales cualesquiera son también naturales, pero su diferencia puede no serlo. Sí es un entero la diferencia de dos enteros. El cociente de racionales es racional, pero no lo es, en general, el de dos enteros. Los tres conjuntos son conjuntos ordenados por la relación “>"(ser mayor que). Con palabras más matemáticas, y refiriéndonos al mayor de los tres conjuntos, se dice que Q es un cuerpo ordenado, es decir, que satisface las siguientes propiedades (a, b, c ∈ Q):

Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones “+” y “ · ” que cumplen:

1. • y · son asociativas y conmutativas: a + (b + c) = (a + b) + c , a + b = b + a , a · (b · c) = (a · b) · c , a · b = b · a
2. se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
3. hay elementos neutros 0 respecto a + y 1 respecto a · : a + 0 = a, a · 1 = a ∀a
4. existen elementos inversos respecto a + y · : ∀a ∃ − a tal que a + (−a) = 0 , ∀a 6 = 0 ∃ a−^1 tal que a · a−^1 = 1 Propiedades de orden: Existe una relación “>"que satisface:
5. dado a , o bien a > 0 , o bien −a > 0 , o bien a = 0
6. si a, b > 0 también a + b > 0 , a · b > 0

A partir únicamente de las propiedades anteriores se pueden definir las otras conocidas operaciones básicas (diferencia, cociente y potencias) y desigualdades: a − b = a + (−b); si b 6 = 0, a/b = a · b−^1 ; si n ∈ N , an^ = a ·... · a , n veces; b > a si b − a > 0 ; b < a si a > b ; b ≥ a si b > a ó si b = a ; b ≤ a si a ≥ b.

N y Z no son un cuerpo: N no posee inverso siquiera respecto de la suma y Z no lo tiene respecto del producto. El conjunto R de los reales que trataremos en la próxima sección poseerá todas estas propiedades y además otra (el llamado ‘axioma del extremo superior’).

Repasemos algunas otras definiciones y propiedades de los naturales, enteros y racionales:

Factoriales, números combinatorios y binomio de Newton

Para n ∈ N se define factorial de n como: n! = 1 · 2 ·... · (n− 1 ) · n , y además 0! = 1 , y si k es otro natural con 0 ≤ k ≤ n , el coeficiente binomial o número combinatorio es ( n k

) = (^) k!(nn −! k)! = n(n^ −^1 )^ · · · k^ (!n^ −^ k^ +^1 )

[

(n

k

se lee ‘n sobre k’; obsérvese que

(n

0

=

(n

n

= 1 , que

( n

n−k

=

(n

k

, y que

(n

1

=

( n

n− 1

= n ; n! representa el número de formas distintas en que se puede ordenar un conjunto de n elementos y el número combinatorio (que siempre es un número natural) es el número de formas distintas en que se pueden escoger grupos distintos de k elementos (sin importar su orden) entre los n de un conjunto].

La fórmula más famosa en que aparecen estos números es la de binomio de Newton:

(a + b)n^ = an+

(n

1

an−^1 b +

(n

2

an−^2 b^2 + · · · +

( n

n− 1

abn−^1 + bn^ =

n ∑ k= 0

(n k

an−kbk

Demostrémosla por inducción. Es claramente cierta si n = 1 : (a+b)^1 =

( 1 0

) a^1 b^0 +

( 1 1

) a^0 b^1. Suponiendo que es cierta para n , probémosla ahora para n+1 : (a+b)n+^1 = (a+b)(a+b)n^ = (a+b)

[ an^ + · · · +

( (^) n k− 1

) an−k+^1 bk−^1 +

(n k

) an−kbk^ + · · · + bn

]

= an+^1 +

[(n 1

)

(n 0

)] anb + · · · +

[(n k

)

( (^) n k− 1

)] an+^1 −kbk^ + · · · + bn+^1 =

n+ 1 k^ ∑= 0

(n+ 1 k

) an+^1 −kbk,

puesto que se cumple:

(n k

)

( (^) n k− 1

) = (^) k!(nn−!k)! + (^) (k− 1 )!(nn!−k+ 1 )! = n! (kn!−(nk−+k^1 +)+ 1 )k! =

(n+ 1 k

) .

Ej. ( 1 +x)^6 = 1 + 6 x+ 15 x^2 + 20 x^3 + 15 x^4 + 6 x^5 +x^6 ,

pues

( 6 2

) = 62 ··^51 = 3 · 5 =

( 6 4

) ,

( 6 3

) (^6) · 5 · 4 3 · 2 · 1 =^5 ·^4

Existen infinitos números racionales e irracionales. Observemos que entre dos racionales p > q, por cercanos que estén, existen infinitos racionales. En efecto, r 1 = (q+ p)/2 es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, son r 2 = (q+r 1 )/2 , r 3 = (q+r 2 )/2 , ... Recordamos que una forma de precisar de forma única un racional es dar su expresión decimal, que o bien tiene sólo un número finito de decimales o bien tiene además un número finito de decimales que se repiten periódicamente ( 7/8 = 0.875 es un ejemplo de la primera situación y 8/7 = 1.142857142857... lo es de la segunda). Pensando en la expresión decimal vuelve a estar muy claro que entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan próximos como queramos a uno dado. Sin embargo, a pesar de estar tan juntos los racionales, aparecen de forma natural (ya desde los griegos) otros números que no son racionales (es decir, irracionales; su expresión decimal tendrá infinitos decimales no repetidos periódicamente). Por ejemplo, el teorema de Pitágoras asegura que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide

√ 2 unidades de longitud. Es fácil probar que

√ 2 no es racional (demostrar que otros números famosos como π ó e son irracionales es bastante más complicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una contradicción (es lo que se llama demostración por reducción al absurdo). Como se sabe, un racional puede ser expresado de infinitas maneras diferentes como fracción p/q. De ellas, se llama irreducible a la que tiene el denominador más pequeño posible, o sea, aquella con p y q sin divisores comunes. Supongamos que

√ 2 = p/q fracción irreducible. Entonces p^2 = 2 q^2. Así p^2 es par, con lo que también debe serlo p (los cuadrados de pares son pares e impares los de los impares) y por tanto es de la forma p = 2 m. Así pues, 2m^2 = q^2 y q también es par, en contradicción con la suposición de que p/q fuese irreducible.

Observemos que la suma z = p+x con p racional y x irracional es necesariamente otro número irracional (si fuese z racional, sería x = z− p también racional). Y lo mismo sucede, si el racional p 6 = 0 , con su producto (se prueba casi igual; que conste que suma y producto de irracionales puede ser racional, por ejemplo,

√ 2 + (−

√ 2 ) = 0 y

√ 2

√ 2 = 2 ). Conocemos ya, pues, infinitos irracionales: todos los de la forma p+q

√ 2 , con p, q ∈Z. Con esto podemos ya ver que también entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que estén entre sí, existen infinitos irracionales (por ejemplo, si p > q son racionales, q + (p−q)

√ 2 /n , con n = 2 , 3 , ... , son infinitos irracionales y es fácil ver que están entre uno y otro). También entre dos irracionales hay infinitos racionales e irracionales (parece bastante claro con la expresión decimal). O entre un racional y un irracional.

1/1 1/2 1/3 1/

2/1 2/2 2/3 2/

3/1 3/2^ 3/3^ 3/

Aunque existan infinitos racionales e infinitos irracionales el número de irracionales es un infinito ‘más gordo’ que el de los racionales (dos conjuntos, finitos o infinitos, tienen el mismo número de elementos si se puede hacer una biyección entre ellos). El número de racionales es el mismo que el de enteros (o el de naturales, que también es el mismo), ya que se puede hacer corresponder a cada entero un racional y viceversa (ma- temáticamente se dice que Q es numerable) como sugiere el esquema de la izquierda. Los irracionales (y por tanto los reales), sin embargo, no se pueden poner en biyección con N (pero esto es algo más difícil probarlo).

A cada x ∈ R podemos asociar un real positivo |x| , valor absoluto de x , definido por:

|x| =

x^2 =

{ x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0 x^0 y

|x| |y| |x–y|

|x| representa la distancia de x al origen y |x − y| la distancia de x a y (tanto si y > x como si x > y)

Propiedades inmediatas a partir de la definición son:

|x|^2 = x^2 , |x| = | − x| , |xy| = |x||y| , −|x| ≤ x ≤ |x|

Probemos otras que utilizaremos en muchas ocasiones:

Teorema: Sea a > 0 : |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ; |x| < a ⇔ −a < x < a

⇒) si |x| ≤ a ⇒ −|x| ≥ −a ⇒ −a ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ a –a 0 a ⇐) sea −a ≤ x ≤ a ; si x ≥ 0 , |x| = x ≤ a ; si x ≤ 0 , |x| = −x ≤ a ; por tanto, ∀x, |x| ≤ a [con el < se demostraría igual; del teorema se deduce, desde luego, que |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ó a ≤ x , puesto que la afirmación ‘p ⇔ q’ equivale a la ‘(no p) ⇔ (no q)’]

Teorema:

| x + y | ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular) ; |x| − |y| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y| ;

|x| − |y|

≤ |x − y|

(|x+y|)^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2 ≤ |x|^2 + 2 |x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2 ⇒ |x + y| ≤ |x| + |y| |x| = |x−y+y| ≤ |x−y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x−y| ; |x−y| = |x+(−y)| ≤ |x| + | − y| = |x| + |y| |x| − |y| ≤ |x − y| ; |y| − |x| ≤ |x − y| ⇒ |x| − |y| ≥ −|x − y| ⇒ | |x| − |y| | ≤ |x − y|

Ej. Determinemos los x que satisfacen: | √ x− 2 | = x Si x < 0 , la raíz no está definida. Desarrollando (para x ≥ 0 ) el valor absoluto tenemos:

|

√ x − 2 | =

{ (^) √ x − 2 si √ x ≥ 2, es decir, si x ≥ 4 2 − √ x si √ x ≤ 2, es decir, si 0 ≤ x ≤ 4

Y, por tanto, | √ x − 2 | = x ⇔

{ (^) √ √x^ =^ x^ +^ 2 si^ x^ ≥^4 ⇒^ x^2 +^3 x^ +^4 =^0 x = 2 − x si 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x^2 − 5 x + 4 = 0 El primer polinomio de segundo grado no se anula para ningún x real. El segundo para x = 1 y para x = 4 (ambos en la región 0 ≤ x ≤ 4 en que estamos). Pero sólo es válido x = 1 ( | 1 − 2 | = 1 ). El otro real x = 4 no cumple la igualdad: | 2 − 2 | 6 = 4 (nos lo hemos inventado al elevar al cuadrado).

Ej. Hallemos los x que cumplen:

∣∣ x^2 − 1

∣∣ ≤ 3 ⇔ − 3 ≤ x^2 − 1 ≤ 3 ⇔ − 2 ≤ x^2 ≤ 4.

–2 0 2

Ambas desigualdades se cumplen si y sólo si |x| ≤ 2 ( ⇔ x^2 ≤ 4 ; la primera es cierta ∀x). Podemos llegar a lo mismo discutiendo las posibilidades del valor absoluto (más largo): 3 ≥ |x^2 − 1 | =

{ x^2 − 1 si |x| ≥ 1 1 − x^2 si |x| ≤ 1 ⇔

{ x^2 ≤ 4 si |x| ≥ 1 → 1 ≤ |x| ≤ 2 x^2 ≥ −2 si |x| ≤ 1 → todo |x| ≤ 1

Ej. Probemos ahora que para todo x se cumple − 8 ≤ |x − 5 | − |x + 3 | ≤ 8.

Los teoremas aseguran: |x| − 5 ≤ |x − 5 | ≤ |x| + 5 , |x| − 3 ≤ |x + 3 | ≤ |x| + 3. Por tanto: |x − 5 | − |x + 3 | ≤ |x| + 5 − [|x| − 3 ] = 8 (mayor–menor) y |x − 5 | − |x + 3 | ≥ |x| − 5 − [|x| + 3 ] = −8 (menor–mayor) También lo podríamos haber hecho expresando los valores absolutos según los valores de x.

Para enunciar el axioma del extremo superior necesitamos unas definiciones previas:

Un conjunto A ⊂ R se dice acotado superiormente (inferiormente) si existe k ∈ R tal que a ≤ k ( a ≥ k ) para todo a ∈ A. A un real k con esa propiedad se le llama cota superior (inferior) de A. A se dice acotado si lo está superior e inferiormente ( ⇔ ∃k tal que |a| ≤ k , ∀a ∈ A ).

Ej. R+ = {x : x ≥ 0 } no es acotado, aunque sí lo está inferiormente (por −π, por el propio 0... ).

A = {x : 0 ≤ x < 7 } 0 7 está acotado [cotas superiores:

√ 93 , 7 (la menor),... ; cotas inferiores: −13, 0 (la mayor),... ]. B = { (^1) n : n ∈ N} 0 1/3 1/2^1 también lo está [cotas superiores: π , 1 (la menor),... ; cotas inferiores: −3, 0 (la mayor),... ].

Extremo superior (o supremo) de A es la menor de sus cotas superiores. Es decir:

s ∈ R es el extremo superior o supremo de A [ sup A ] si: i) s es cota superior de A , ii) si k es cota superior de A entonces s≤k. [Se define análogo extremo inferior o ínfimo de A [ inf A ], mayor de las cotas inferiores].

El sup A puede pertenecer o no a A ; si pertenece se le llama máximo, es decir:

M ∈ R es el máximo de A [ max A ] si M ∈ A y a ≤ M , ∀a ∈ A (análogamente, min A )

Ej. Z , sin cotas superiores ni inferiores, no puede tener ni supremo ni ínfimo. 7 es el supremo del A de antes (es la cota superior más pequeña), pero no es máximo, pues 7 ∈/ A ; 0 es su mínimo (y, por tanto, su ínfimo). Para B , 1 es el máximo (y supremo) y 0 el ínfimo (no mínimo).

Axioma del extremo superior:

Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee extremo superior. [no es difícil demostrar que la afirmación: ‘todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente posee extremo inferior’ es equivalente al axioma] 0

-! 2 –^! 2 –

3/

no son de Q

Este axioma precisa la idea intuitiva de que los números reales ‘llenan del todo’ la recta real. Como ocurría en Q, entre todo par de reales distintos existen infinitos reales (infinitos racionales e infinitos irracionales). Pero a pesar de estar también los elementos de Q ‘tan cerca unos de otro como queramos’, dejan sin embargo ‘huecos’ entre ellos (los puntos ocupados por los infinitos irracionales). Por eso hay conjuntos acotados en Q sin supremo. Por ejemplo, {x ∈ Q : x^2 < 2 } es un subconjunto de Q con cotas superiores racionales ( 3/2 , por ejemplo) pero no existe ninguna en Q que sea la más pequeña. Dada cualquier cota racional siempre puedo dar otra menor (más cercana al irracional

√ 2 ). El mismo conjunto, visto como subconjunto de R debe tener supremo:

√ 2 lo es.

Los siguientes subconjuntos de R van a aparecer un montón de veces en estos apuntes:

Intervalos. Dados a < b se define:

intervalo abierto (a, b) = {x : a < x < b} ; intervalo cerrado [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} a y b no pertenecen (^) a (^) b a y b sí pertenecen a b

[ a, b) = {x : a ≤ x < b} ; (a, ∞) = {x : a < x} ; (−∞, b) = {x : x < b} (a, b ] = {x : a < x ≤ b} ; [ a, ∞) = {x : a ≤ x} ; (−∞, b ] = {x : x ≥ b} [ ∞ no es ningún número real, es sólo notación]

2. Funciones, sucesiones, límites y

continuidad en R

2.1. Funciones reales de variable real

Def.

Una función f es una regla que asigna a cada uno de los números x de un conjunto D ⊂ R un único número real f (x). A D ≡ dom f se le llama dominio de f. y ≡ f (x) es el valor de f en x. Imagen o recorrido de f es f (D) ≡ im f ≡ { f (x) : x ∈ D}.

f : D → f (D) x → y ≡ f (x)

Muchas veces f admite una expresión algebraica como f (x) = |x| , f (x) = sen x ,...), pero otras no será expresable ni con palabras. Una f estará determinada si conocemos todos los x de D y los valores y correspondientes. Esto lleva a una definición más teórica, aunque más precisa:

Def. Una funcióndos distintos con el mismo primer elemento.^ f^ es un conjunto de pares ordenados que no contiene

[Así, la ‘función |x|’ sería {(x, |x|) : x ∈ R} ] (Si no se precisa más, dom f es el conjunto de x para los que f tiene sentido).

b 1 m

Geométricamente, f se puede representar en un sistema de coor- denadas como un conjunto de puntos (gráfica de f ) en el plano xy. Así, la gráfica de f (x) = mx+b es un conjunto de puntos que constituyen una recta (m es su pendiente y b su corte con el eje y ).

Dadas dos funciones f y g se pueden definir otras funciones f +g , f −g , f ·g , f /g y f ◦g :

Def.

( f + g)(x) = f (x) + g(x) , ( f − g)(x) = f (x) − g(x) , ( f · g)(x) = f (x) · g(x) para x ∈ dom f ∩ domg. ( f /g)(x) = f (x)/g(x) para x ∈ dom f ∩ domg ∩ {x : g(x) 6 = 0 }. ( f ◦g)(x) = f [g(x)] (composición de f y g) para x con x ∈domg y g(x) ∈dom f.

Suma y producto de funciones, como es inmediato ver, son conmutativas, asociativas y hay distributiva; la composición es asociativa, pero no conmutativa:

Ej. Si f (x) = x^2 , g(x) = 2 x − 1 se tiene que ( f ◦g)(x) = 4 x^2 − 4 x + 1 6 = 2 x^2 − 1 = (g◦ f )(x).

–x x

Def. f es inyectiva en A ⊂ R si f (x) = f (x∗) ⇒ x = x∗, ∀x, x∗^ ∈ A [o lo que es lo mismo, si x 6 = x∗^ ⇒ f (x) 6 = f (x∗) ].

Ej. f (x) = |x| no es inyectiva en A = R (a x y x∗^ = −x les corresponde el mismo valor). Sí lo es en A = [ 0 , ∞) , o en A = [− 7 , − 1 ] , por ejemplo. La gráfica de una función inyectiva no corta más de una vez cualquier recta horizontal.

Def. Si f : x → y = f (x) es inyectiva existe la función inversa f −^1 : y → x = f −^1 (y).

f −^1 : f (A) → A y = f (x) → x = f −^1 (y)

[Si no es inyectiva, o sea, si hay x 6 = x∗^ con f (x) = f (x∗) = y , no podemos asignar un único x al y ].

En términos de pares ordenados, la función inversa es f −^1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f }.

Propiedades inmediatas son:

y=f(x)

y=f –1(x)

dom f −^1 =im f , im f −^1 =dom f , ( f −^1 ◦ f )(x) = ( f ◦ f −^1 )(x) = x

La gráfica de f (x) y la de f −^1 (x) son simétricas respecto a la recta y=x [pues (x, y) e (y, x) lo son]. Para escribir y= f −^1 (x) explícita- mente (cuando se pueda; en general será imposible) se despeja la x en función de y de y= f (x) y se cambia el nombre a las variables.

Ej. La inversa de y = x^3 − 5 es y = (x + 5 )^1 /^3 [pues x = (y + 5 )^1 /^3 al despejar].

Def.

f es estrictamente creciente en A ⊂ R si ∀x, x∗^ ∈ A con x < x∗^ se tiene f (x) < f (x∗). Es estrictamente decreciente si f (x) > f (x∗). Es creciente si f (x) ≤ f (x∗). Es decreciente si f (x) ≥ f (x∗). Cualquiera de ellas se dice monótona (estrictamente monótonas, las dos primeras).

1 2 3

1

2

3

Ej. f (x) = [ x ] = máximo entero menor o igual que x [llamada ‘parte entera de x’] es creciente en todo R [no estrictamente].

Ej. f (x) = |x| es estrictamente decreciente en {x ≤ 0 } y es estrictamente creciente en {x ≥ 0 }.

Teorema: f estrictamente monótona en A ⇒ f inyectiva en A [y existe su f −^1 ]

[si x 6 = x∗^ o bien es f (x) < f (x∗) o bien f (x) > f (x∗) ]

[Para ver si una f es monótona (y por tanto inyectiva) acudiremos en el futuro a las derivadas].

Definición y gráficas de las funciones elementales:

_

3

x^2 (^3) !x_

!x

x^3 x^2

x^3

!x

_

–1^1

1

y = xn^ , y = x^1 /n^ = n

x , n ∈ N

Cuando n impar, y = xn^ es inyectiva en todo R y es f (R) = R. Su inversa x^1 /n^ está definida en R y su imagen es R. Si n par, no es inyectiva en R. Se llama entonces y = x^1 /n^ a la inversa de y = xn^ restringida al intervalo [ 0 , ∞) , con lo que la y = x^1 /n^ tiene por dominio e imagen [ 0 , ∞) (la función y = −x^1 /n^ , para n par, es la inversa de y = xn^ restringida a (−∞, 0 ] ).

y = x−n^ =

xn y = x−^1 /n^ =

x^1 /n n ∈ N

y = xm/n^ = n

xm^ , m, n ∈ N

1

1

1/x

1/x

1/x

1/x 2 2

!x

_ 1/

–1 (^1)

x3/ x2/

1

Recordemos primero la equivalencia entre grados y radianes. Como un ángulo recto son π 2 radianes (la longitud de la circunferencia unidad es 2π) o 90◦, es a◦^ = 180 aπ radianes. En particular, los famosos ángulos de 30◦, 45◦^ y 60◦^ son, respectivamente, π 6 , π 4 y π 3 radianes.

Las funciones trigonométricas tienen una infinidad de valores exactos conocidos como:

sen (kπ) = cos ( π 2 + kπ) = tan (kπ) = 0 , sen ( π 2 + 2 kπ) = cos ( 2 kπ) = 1 , sen (− π 2 + 2 kπ) = cos [( 2 k − 1 )π] = −1 ,

que son inmediatos, y los siguientes que se deducen fácilmente del teorema de Pitágoras:

sen π 6 = cos π 3 = 12 , sen π 4 = cos π 4 =

√ 2 2 ,^ sen^

π 3 =^ cos^

π 6 =

√ 3 2 tan π 6 =

√ 3 3 ,^ tan^

π 4 =^ 1 ,^ tan^

π 3 =^

(además de los similares de otros cuadrantes). De Pitágoras también se deduce:

sen^2 a + cos^2 a = 1 ⇒ 1 + tan^2 a = (^) cos^12 a

A partir de las últimas igualdades es fácil hallar, dada cualquiera de las razones trigonométricas de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra, los valores de las restantes:

Ej. Si tan α = − 43 y α ∈ ( 32 π , 2 π) , los valores del seno y el coseno de este ángulo son:

cos α = + √^1 1 +tan^2 α = √ 1 +(^116 / 9 ) = 35 , sen α = cos α tan α = − 45.

Más difíciles de probar son las siguientes importantes identidades (válidas ∀a, b):

sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b , cos (a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b ,

pero a partir de ellas ya es fácil comprobar todas las siguientes (de hecho, nos bastaban las fórmulas para a+b , pues las de a−b son consecuencia inmediata de ellas). Por ejemplo:

sen 2a = 2 sen a cos a , cos 2a = cos^2 a − sen^2 a = 1 − 2 sen^2 a = 2 cos^2 a − 1

⇒ sen^2 a = 12 [ 1 − cos 2a] , cos^2 a = 12 [ 1 + cos 2a]

Ej. Calculemos usando las igualdades anteriores el cos 3512 π.

Primero observemos que cos 3512 π = cos( 3512 π − 2 π) = cos 1112 π = cos(π − 12 π ) = − cos 12 π. Como cos^2 ( 12 π ) = 12 [ 1 + cos π 6 ] = 2 +

√ 3 4 ⇒^ cos^ 35 π 12 =^ −^ 1 2

√ 2 +

√

Podemos dar una expresión más bonita: − cos 12 π = − cos( π 3 − π 4 ) = − (^12)

√ 2 2 −

√ 3 2

√ 2 2 =^ −

√ 2 +√ 6

Veamos otras propiedades que también utilizaremos. Ésta es casi inmediata:

tan (a ± b) = 1 tan ∓ tana^ ± a^ tan tan^ b b ⇒ tan 2a = 1 2 tan− tan^ a 2 a

En las siguientes basta desarrollar los segundos miembros:

sen a sen b = 12 [ cos (a−b) − cos (a+b) ] cos a cos b = 12 [ cos (a+b) + cos (a−b) ] sen a cos b = 12 [ sen (a+b) + sen (a−b) ]

En la última, llamando A = a+b y B = b−a , resulta ser a = A− 2 By b = A+ 2 Bcon lo que:

sen A − sen B = 2 sen A− 2 Bcos A+ 2 B

arccos x

arcsen x

!

!/

–1 1

• !/

Para definir las funciones trigonométricas inversas debemos res- tringir los intervalos de definición para que sen x , cos x y tan x sean inyectivas: arc sen x

dom = [− 1 , 1 ] , im = [− π 2 , π 2 ]

es la inversa de sen x restringida a [− π 2 , π 2 ]. arc cos x

dom = [− 1 , 1 ] , im [ 0 , π]

es la inversa de cos x restringida a [ 0 , π]. (El arco seno de un x no es simplemente ‘el ángulo cuyo seno vale x ’; hay infinitos x con el mismo seno; incluso hay 2 si sólo nos preocupamos de [ 0 , 2 π] ).

arctan x

!/

• !/

arctan x

[

dom = R , im = (− π 2 , π 2 )

]

es la inversa de tan x definida en (− π 2 , π 2 ).

Ej. arctan(tan 34 π ) = arctan(− 1 ) = − π 4. La función arctan x aparece muchas veces en el cálculo, por ejemplo hallando primitivas.

Exponenciales y logaritmos:

bx^ es fácil de definir si x ∈ Q [ bm/n^ = n

bm^ ] pero no si x es irracional (¿qué es 2π^ ?) y por tanto logb x tampoco tiene sentido. Definiremos primero el logaritmo neperiano así:

log x ≡ ln x =

∫ (^) x 1

dt t , para^ x^ >^0 [ log x será siempre neperiano, el decimal log 10 x no se utilizará]

que es la forma más corta de definirlo, aunque habría que esperar a las integrales para deducir todas sus propiedades. Admitimos que log x es estrictamente creciente en {x > 0 } y que su imagen es R. También admitimos las propiedades clásicas:

log (a · b) = log a + log b , log ab = log a − log b , log (ac) = c log a , si a, b > 0

A partir de la función logaritmo, definimos:

e

logx

x

1

1

1

1

(0<b<1)bx

bx(b>1)

log xb

log xb (0<b<1)

(b>1)

ex^ es la inversa de log x , con lo que su dominio es R y su imagen x > 0.

xb^ ≡ eb^ log^ x^ , x > 0 ;

bx^ ≡ ex^ log^ b^ , b > 0 , ∀x ;

logb x ≡ log log^ xb , b^ >^ 0,^ b^6 =^ 1 , x > 0.

De estas definiciones se podrían deducir:

b^0 = 1 , bx+y^ = bxby^ , b−x^ = (^) b^1 x , (bx)y^ = bxy^ [ bxy representa siempre b(xy)^ ] , ...

Las definiciones son naturales, si han de satisfacerse estas propiedades. Así, por ejemplo:

xb^ = [exponencial inversa del logaritmo] = (elog^ x)b^ = [pues (bx)y^ = bxy^ ] = eb^ log^ x [La definición de arriba de xb^ sólo vale para los x > 0 si b es un real cualquiera, pero no olvidemos que, por ejemplo, si b = 7 ó b = 1 /3 está xb^ definida ∀x ].

2.2. Sucesiones de números reales

{an} = a 1 , a 2 , ..., an, ... es una sucesión: a cada natural n corresponde un real an.

Matemáticamente, como una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro:

Def. Una sucesión de números reales es una función de N en R a^ :^ N n →→ aR(n) ≡ an

Una sucesión tiende hacia a si en todo entorno de a, por pequeño que sea, están casi todos los términos de la sucesión (todos salvo un número finito). Por ejemplo { (^1) n } = 1 , 12 , 13 , ... tiende hacia 0 ya que fijado un entorno cualquiera del origen todos los términos de la sucesión a partir de uno dado acaban metiéndose dentro. Precisando:

Def.

{an} tiene por límite a (o tiende hacia a o converge hacia a ) si para todo ε > 0 existe un número natural N tal que para todo natural n ≥ N es |an −a| < ε. Lo representaremos por l´ nım→∞ an = a ó an (^) n→→∞a. Si una sucesión {an} no es convergente se dice divergente.

Esta definición es la primera de las definiciones rigurosas de límite de aspecto similar que veremos en los apuntes. Hagamos unas cuantas observaciones sobre ella:

Decir que |an−a|<ε es equivalente a que an ∈ B(a, ε). Para todo ε hemos de encontrar un N tal que aN , aN+ 1 , aN+ 2 , ... estén dentro del entorno. El N no es único: si los an ∈ B(a, ε) para n ≥ N , también están dentro para n ≥ N∗^ si N∗^ ≥ N. No se trata de hallar el menor N , basta con dar uno para el que se cumpla. En sucesiones escribiremos simplemente an → a , pues sólo tiene sentido el límite para n → ∞ (en funciones, la x podrá tender a 0 , a ∞ , a −∞ ,... y sí habrá que precisarlo).

( ) 0

1/N

-!!

Ej. Formalicemos que (^1) n → 0 : dado cualquier ε (por pequeño que sea) existe N tal que (^) N^1 < ε. Por tanto, si n ≥ N , | (^1) n − 0 | ≤ (^1) N < ε. Se ve que N depende del ε dado (si ε = 0 ,1, basta tomar N = 11, pero para ε = 0 ,001 debemos tomar N = 1001 o número mayor).

Ej. La sucesión {(− 1 )n} = − 1 , 1 , − 1 , 1 , ... diverge, pues está claro que no todos sus términos a partir de un N están en todo entorno de −1 , ni de 1 , ni de cualquier otro real. Aunque haya infinitos términos en cualquier entorno de 1 (por ejemplo) otros infinitos se escapan. Si ε = 2 todos los an pertenecen al entorno B( 1 , 2 ) , pero esto debe ocurrir ∀ε y no sólo para ε grandes.

El cálculo de límites con ε y N es, en general, complicado. Pero, gracias a los teoremas que veremos (demostrados utilizando los ε), sólo en contadas ocasiones y para sucesiones muy extrañas deberemos en el futuro acudir a la definición. Para manejar ésta (en ejemplos y en teoremas) se suele partir de lo que uno quiere hacer pequeño ( |an − a| ) y, tras algunos < ó ≤ (la desigualdad triangular suele aparecer), se llega a una expresión de la que sea ya fácil decir para qué n es < ε :

Ej. Probemos sólo con la definición (pronto será innecesaria) que {an} =

{ 2 √n+ 5 −n

√n+ 1

→ 2. ∣∣ ∣

2 √ n + 5 −n √ n + 1 − 2

∣∣ ∣ =^

| 5 −n^ − 2 | √ n + 1 ≤ 5 −n^ + 2 √ n ≤ 3 √ n < ε ⇔

√ n > 3 ε ⇔ n > 9 ε^2 Por tanto, dado cualquier ε , si N es un natural > 9 /ε^2 , para n ≥ N se cumple que |an − 2 | < ε. [No es la única forma de precisar el N, podríamos, por ejemplo, no haber quitado el 1 del denominador y habríamos llegado a otro N; lo que, desde luego, no funcionaría sería empezar haciendo |an − 2 | ≤ |an|+2 , pues no habría forma de hacer esto menor que cualquier ε ].

Teorema: {an} convergente ⇒ {an} acotada.

Sea ε=1 (por fijar un número); sabemos que ∃N / si n≥N ⇒ |an|−|a|≤|an−a|<1 , |an|≤|a|+. Por tanto, llamando M = máx{|a 1 |,... , |aN− 1 |, |a|+ 1 } se tiene |an| ≤ M ∀n.

No es cierto que toda sucesión acotada sea convergente. Por ejemplo, {(− 1 )n} es acotada y diverge. Lo que sí se deduce del teorema (no q ⇒ no p) es que una sucesión que no está acotada seguro que diverge.

Definimos ahora un par de tipos importantes de sucesiones divergentes (y no acotadas):

Def.

{an} diverge hacia +∞ ( l´ım n→∞ an = ∞ ) si ∀K ∃N / ∀n ≥ N se cumple an ≥ K. {an} diverge hacia −∞ ( l´ım n→∞ an = −∞ ) si ∀K ∃N / ∀n ≥ N se cumple an ≤ K.

[+∞ y −∞ son sólo símbolos, no números; estas sucesiones no convergen a ningún número real]

Ej. n (^2) + 1 2 n →^ ∞^ , pues^ ∀K,^ n^2 + 1 2 n ≥^ n 2 >^ K^ si^ n^ ≥^ N^ con^ N^ cualquier natural^ ≥^2 K^. − 1 , 0 , − 2 , 0 , − 3 , 0 , − 4 , ... no diverge hacia −∞. A pesar de que contenga términos tan pequeños como queramos, no es cierto que dado cualquier K queden a su izquierda todos los términos a partir de un N (para los K < 0 es evidente que es falso). Claramente, tampoco tiende a 0.

Def. {an} es creciente si an ≤ an+ 1 ∀n. {an} es decreciente si an ≥ an+ 1 ∀n. Cualquiera de las dos se dice monótona.

Ej. 13 , 23 , 33 , 43 , 53 ,... (no acotada, divergente hacia +∞) es creciente.

1 , 1 , 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 4 , ... es decreciente (y tiende hacia 0 ).

Teorema: {an}^ creciente y acotada superiormente^ ⇒ {an}^ convergente. {an} decreciente y acotada inferiormente ⇒ {an} convergente. aN

a–! a

El axioma del extremo superior asegura que {an} tiene supre- mo al que llamamos a. Veamos que a es el límite de {an} : Sea ε > 0 , ∃N tal que aN > a−ε (si no, existirían cotas más pequeñas que a ). Por tanto, si n ≥ N , a ≥ an ≥ aN > a − ε ⇒ |an − a| = a − an < ε. [Análoga la otra].

Dada una sucesión {an}, se llama subsucesión de {an} a cualquier sucesión formada escogiendo ordenadamente infinitos términos de {an} , es decir:

Def. {an (^) j } = an 1 , an 2 , · · · con los n (^) j ∈ N tales que n 1 < n 2 < · · · es subsucesión de {an}

Ej. 12 , 14 , 16 , 18 , 101... , 1, 111 , 1111 , 11111 , 111111... ó 251 , 261 , 271 , 281 ,... son subsucesiones de { (^1) n }.

No lo es, en cambio, 12 , 1 , 14 , 13 , 16 , 15 ,... , formada con elementos desordenados de { (^1) n }.

Está claro que si {an} → a también cualquier subsucesión suya {an (^) j } → a. Por tanto, una forma de probar que una sucesión no tiene límite es encontrar dos subsucesiones suyas que converjan hacia límites distintos o alguna subsucesión que no converja. [A las subsucesiones de las sucesiones divergentes pueden pasarle, sin embargo, todo tipo de cosas. Por ejemplo, 1, 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... tiene subsucesiones convergentes a infinitos límites distin- tos (a cada número natural), otras que divergen a +∞ y otras que no tienen límite ni finito ni infinito; − 1 , 0 , − 2 , 0 , − 3 , 0 , − 4 , ... tiene subsucesiones que tienden a 0 y otras a −∞; 1, 2 , 3 , 4 , ... no tiene subsucesiones convergentes... Si la sucesión es acotada veremos que sí podemos sacar alguna conclusión].