¡Descarga activitat dirigida 2 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
AD02-101 Fonaments Matemàtics de l'Enginyeria de
l'Edificació
Daniel Diez
Miguel Grima
Pau Riera
Exercici 1:
a)
Trobem les equacions de totes les cel·les.
restart :
T 1, 1 =
Tn C T 2, 1 C T 1, 2 C Te 4
= T 1, 1 =^1
Tn C 1 4
T 2, 1 C 1
T 1, 2 C 1
Te
T 1, 2 =
Tn C T 1, 3 C T 2, 2 C T 1, 1 4
= T 1, 2 =^1
Tn C 1 4
T 1, 3 C 1
T 2, 2 C 1
T 1, 1
T 2, 1 =
Te C Ts C T 2, 2 C T 1, 1 4
= T 2, 1 =^1
Te C 1 4
Ts C 1 4
T 2, 2 C 1
T 1, 1
T 2, 2 =
T s C T 2, 1 C T 2, 3 C T 1, 2 4
= T 2, 2 =^1
Ts C 1 4
T 2, 1 C 1
T 2, 3 C 1
T 1, 2
T 1, 3 =
Tn C To C T 2, 3 C T 1, 2 4
= T 1, 3 =^1
Tn C 1 4
To C 1 4
T 2, 3 C 1
T 1, 2
T 2, 3 =
To C Ts C T 2, 2 C T 1, 3 4
= T 2, 3 =^1
To C 1 4
Ts C 1 4
T 2, 2 C 1
T 1, 3
b)
Reescrivim les equacions trobades abans substituint en elles el paràmetres donats per l'enunciat de l'exerici.
Tn d 19.4 = 19.
Ts d 5.0 = 5.
Te d 15.3 = 15.
To d 14.3 = 14.
T 1, 1 =
Tn C T 2, 1 C T 1, 2 C Te 4
= T 1, 1 = 8.675000000 C 1
T 2, 1 C 1
T 1, 2
T 1, 2 =
Tn C T 1, 3 C T 2, 2 C T 1, 1 4
= T 1, 2 = 4.850000000 C 1
T 1, 3 C 1
T 2, 2 C 1
T 1, 1
T 2, 1 =
Te C Ts C T 2, 2 C T 1, 1 4
= T 2, 1 = 5.075000000 C 1
T 2, 2 C 1
T 1, 1
T 2, 2 =
T s C T 2, 1 C T 2, 3 C T 1, 2 4
= T 2, 2 = 1.250000000 C 1
T 2, 1 C 1
T 2, 3 C 1
T 1, 2
T 1, 3 =
Tn C To C T 2, 3 C T 1, 2 4
= T 1, 3 = 8.425000000 C 1
T 2, 3 C 1
T 1, 2
T 2, 3 =
To C Ts C T 2, 2 C T 1, 3 4
= T 2, 3 = 4.825000000 C 1
T 2, 2 C 1
T 1, 3
c)
Introduim la matriu (ampliada) dels coeficients de les incògnites i trobem el rang d'aquesta.
M d
1 K^1
0 K^1
T n C Te 4
K^1
1 K^1
0 K^1
T n 4
K^1
0 0 1 K^1
T e C Ts 4
0 K^1
0 K^1
1 K^1
T s 4
0 K^1
1 0 0 K^1
T n C To 4
0 0 K^1
0 K^1
T o C Ts 4
OOOOOOOO
OOOOOOOO
L := (1.1.4.1)(1.1.4.1)
K^1
K^1
K 1
0 K 4
0 K 4
K 56 K^209
K^26
Descomposem A trobant U.
U d LUDecomposition A , output =' U ' ;
U :=
1 K^1
0 K^1
K^1
K 1
K^1
0 0 K 1
K 4
0 0 0 K 4 2 1
Comporvem que multiplicant L amb U, ens dona la matriu A.
L. U ;
OOOOOOOO
1 K^1
0 K^1
K^1
1 K^1
0 K^1
K^1
0 0 1 K^1
0 K^1
0 K^1
0 K^1
1 0 0 K^1
0 0 K^1
0 K^1
e)
Utilitzant les inverses de les matrius U i L multiplicades entre si, i multiplicant per la columna dels termes independents. Resolem el sistema.
U K^1. L K^1.
T n C Te 4 T n 4 T e C Ts 4 T s 4 T n C To 4 T o C Ts 4
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
T_S:=5.0:
T_E:=15.3:
T_O:=14.3:
Equacions:={}:Incognites:={}: for i from 1 to MaxX do for j from 1 to MaxY do Incognites := {op(Incognites),T[i,j]}; NordDeLaCella := if(i=1, T_N, T[i-1,j]); SudDeLaCella := if(i=MaxX, T_S, T[i+1,j]); OestDeLaCella := if(j=1, T_O, T[i,j-1]); EstDeLaCella := if(j=MaxY, T_E, T[i,j+1]); NovaEquacio := T[i,j]=(NordDeLaCella+SudDeLaCella+ OestDeLaCella+EstDeLaCella)/4.0; Equacions := {op(Equacions),NovaEquacio}; end do; end do;
Solucions:=solve(Equacions,Incognites): assign(Solucions); f:=(x,y)->T[1+trunc(y),1+trunc(x)]: with(plots): densityplot(f(x,y),x=1..MaxX,y=1..MaxY,colorstyle=HUE);
OOOOOOOO contourplot(f(x,y),x=1..MaxX,y=1..MaxY,filled=true, coloring=[red,blue]);
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
OOOOOOOO
EstDeLaCella := if(j=MaxY,if((i < 2MaxY/3)and (i > MaxY/3),4, T_E), T[i,j+1]); NovaEquacio := T[i,j]=(NordDeLaCella+SudDeLaCella+ OestDeLaCella+EstDeLaCella)/4.0; Equacions := {op(Equacions),NovaEquacio}; end do; end do;*
Solucions:=solve(Equacions,Incognites): assign(Solucions); f:=(x,y)->T[1+trunc(y),1+trunc(x)]: with(plots): densityplot(f(x,y),x=1..MaxX,y=1..MaxY,colorstyle=HUE);
contourplot(f(x,y),x=1..MaxX,y=1..MaxY,filled=true, coloring=[red,blue]);
L'enunciat ens demana que pasaria si s'obris una finestra en una de les parets. Modificant el programa donat comprovem els nous grafics de les temperatures i les seves variacions que en la finestra es provoca un descens de temperatura que afecta a tota la habitació.
