Vista previa parcial del texto
¡Descarga Examen final y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
2 10 Donada la funció Th» quina de les segiiónts afirmacions es certa? EUPB * MATEMATIQUES GENER 2002 | CENTRE | ASSIGNATURA ] PARCIAL PERMUTACIÓ | 310 Í 28000 | 02 ! d | 1. La derivada Ei máxima de la funció Fo,y) a a) ( (9) VD (o) 5 > 22. El punt de la recta-y =x a distáncia mínima de (2,0) és ' P paa 00) (ba) e 1 ES 3. Suposeu que la derivada direccional d'una funció en totes les direccions. Aleshores > =30% + 24? al punt (1, —1) val Haya Porigen de coordenades és 0 (8) f és constant (0) fiémmextrema Vorigen (e) el pla tangentaz= fía,y a Vorigen és perpendienlar a Veix 0% En quin punt de la recta y + x= 1 les corbes de nivell de la funció Fo,y) = y? tengents a la recta. O ar 04) e. +y* són a integral fu Pez, fent cl canvi = sin? val a) ue (b) ¿sinti+ teo (0) Pisintt de iS eo, pa 8” Donada la funció fx) =/ ePdi, o (a) Fi) =e* - (0) fla) =2x (0) no existeix Fiz) 7. De quina funció el Polinomi 1 — q 972 $e O 055 8. La funció f(2) = 2? — 39 el polínomi de Taylor a Vorigen de gran 9? (8) és creixent a Pinterval ]— 00,0] i cóncava (U) a Pinterval (0, co[ (b) és decreixent a Tinterval ] — 1, 1[ 1 convexa, (M) a Pinterval [0, col és decreixent a Pinterya] ]-1,1|i cóncava (U) a Pintervel [0, oo! 9. La funció e-/2* . (2) té una asímptota vertical a 2 =0 (b) té una asímptote horitzontal a, y=1 O) té una, asímptota Roritzontal a y =0 0) Per cap grau n el polinomi 1 — e Pot aproximar f(—1) (db) largas. E 27 pot aproximar F(1) prenent un greu n Prou gran (e) Cap de les anteriors y EUPB MATEMÁ TIQUES GENER 2002 1. Considerem Vaplicació linea] que a la base usual té la matrin 2 11) 122 1] 1 -1 3) (2) Troben una base de la imatge, (b) 'Trobeu una base Ortonorma; al de vectors p equesta base. ropis i la matrin de Paplicació 2. (2) Troben el polínomi de Taylor de gran 3 cent f Hz) =(241)/3. Acoten Verror comés al apr x0 alculeu el volum de P. Veix OX. rat a Vorigen (a = 0) de la funció oximar /0.8 amb aquest Polinomi. — el.lipsoide genetrat per y =y1- 7 al girar al voltant de 3 3. Donada la funció H (a) Trobeu la derivada direccional de J en la direcció del (b) Trobeu els extrems ¡ Punts de sella 'f. 2,y)=30 + 12 + y vector (1,1) al punt (4,2). P É 5 + ] B.U.P.B: MATEMATIQUES JUNY 2002 5, Entregueu els problemes per sepsrat , 1. Donada P'aplicació lineal que a la base usual t4 matrin 2. -2 2 A=|-1 3 -2 1.3 -2 o Va o Fonaments malemátics de Parquitectura técnica. Juny 2003 Entregueu cada problema per separat 1, Donada laplicació lineal f : R3= R3 que a la base canónica té matriu (a) Calculeu una base de la imatge d'A. ñ (b) Proveu gue el vector (—4, 9,3) és un vector propi. De quin valor propi? ; (c) Calculen el polinomi ceracterístic d'4 i la resta de valors propis. 5 Discutiu sí Ciagonalitza i, en cas afirmatiu, trobeu una base de vectors propis. i a (a) Calculeu totes les antiimatges de (4, 9, 3. ha | Uliliezant el polinomi de Taylor de grau 3 de ( (ndicació: 1 +x=0. 75). Doneu una cota. ls ms Calculcu a ES 7 :)á a. Vorigen, calculey (0.75)% 3 error comeés. gradient de la funció , (9) q la derivada direccional en £ E al punt (1,2). / (5) Pla tangent a le superficie = (1-2) — (y— 3)? al punt (1,2). (e) Calenleu els punts crítics Y' fa, y) i classifiqueu-los. A > ¿ (a) Calculeu els exurems d'f(x, y) sobre el lligam (2 — 2)2+ (y- 3? —1=0. Waves 25 Rica. 26 FONAMENTS MATEMÁTICS DB L'ARQUITECTURA TÉCNICA EPSEB GENER 2005 T CENTRE ASSIGNATURA | PARCIAL l PERMUTACIÓ ] 310 26150 | D2 | o y 1. El desenvolupament de Taylor de grau 3 de la funció Yz en el punt a=1 és: A) mália - x : 4 4 1 qa, 1 3 YA , ' : B) 1+(0-D-5(0-19+ (01) l 1x3 1 1 5 , (y A A A ” Oy 145 ) sí 1) ge 1) dl 2. El gradient de f(u, y) =e% cos y en (1, 7) val AL) BJ) E) 0-e) 3. La direcció de máxim pendent de la funció Fay) =x+Y8 — ay enel punt (1,1) és 38D BW) Ó(3. - Sila funció y = f(x) és contínua a re EN A) pot tenir asímptotes verticals. 8) Pot tenir asímptotes horitzontals. C) no té cap tipus V'asímpiota perque és contínua. o La funció f(w) = y satisfá que ez -»A) és contínua en x= 0. B) té una discontinuitas asimpiótica en 2 = 1, C) s'amulla en 7 =3, 7. Trequació de la recta tangent a la gráfica de f(u) = ter en == 7/4, és: A)y=1 BDy-1=2(8 7/4) C) No existeix ' 8. La funció /(1) = A) és sempre creixent B) té un mínim en 2 =0i un méxim en y = 2 ¿Y té un máxim en 2 0,2 un mínim en 3=. 20 , Fonaments Matemnátics de l' Arquitectura Ti, Gener 2005 Entregueu cada problema en fulls se arats E > 1. Donada Vaplicació lincal d'R” definida a la base canónica per la matriv z 3-1 2 ; 11.5 > 2.2 0 ; (a) Trobeu-ne el subespai imatge i el valor del parámetro h per a que el vector (0,1,A) hi , pertanyl. (b) Discutiu si diagonalitza i trober , Si existeix, una base de vectors propis i la matriu de Vaplicació en aquesta base. , 2. (a) Trobeu el polinom: de Taylor de la funció (u + 8) de grau 3 a Vorigen. z (b) Utilitzeu el polinomi anterior per donar wua aproximació de /9 i doneu una cota de Verror comés. 3. (a) Troben els extrems de la funció hi (ay= a 2? — Lay + y, Ñ (b) Trobeu el pla tangent a 2 = F(z,y) al punt e =1,y = 1 Quina és la pendent máxima z Vaquest pla respecte el pla de coordenades. (ndicació: coincideix amb le, pencent máxima ] de la funció f(x, y) en el punt de tangéncia). e PONAMENIS MALENA JLS DE LL ARJULLEO LULA LEON LIA y UIN Y 2005 ENTREGUEU CADA PROBLEMA EN PULLS DIPERENTS | ESCRIVIU EL NOM 1 COGNOMS AMB MAJÚSCULES A CADA PULL 1. Considerem l'endomorfisme f : Ri ——>R? que té matrin a la base usual de R? fe 1 1 A=|0 2 0]. 1-11 a) Trobeu una base i la dimensi de Imif b) Busquen el conjunt d'antlimatges del vector (0, 0, 0) c) Trobeu el polinomi característic d'f, els valors propis i els vectors propis df d) Trobeu, si és possible, una base de IR? formada per vectors propis. Quina és lamatriu d'f en aquesta base? 2. a) Calculeu la direcció de máxima pendent de la funció (1) = - en el punt (1,1) bel valor . 4y del pendent en aquesta direcció (derivada direccional). b) . Nm : Calculen el polinomi de Taylor a P'origen, de grau 2, de f(x) = (14 aji lave iio qui; me " Pinterval on es pot aproximar (15) $ amb un error més petit que 0.01. Ce en ñ NL 3. a) Busqueu els extrems relatius de la funció Ú Fay) =30% + xy + 4y — Ex b) Trobeu els extrems de SS mateixa funció amb la Migedura 3x + y justificant les e, Y eS JA Ys k E pao ¡ES l 1. La derivada direccional de f(x, y) = ar 7 A) =. B) 7. ah. E )7 NR La funció /(2,y) =0y +0 +yté: 1 A) un máxim en (1,1) B) un mínim en (-1, 1) C) un punt de sella en (—1,—1) 3. Sil , Y) és diferenciable i (grad Pp — (0,0), eleshoros la gráfica de q = He, y) en el punt p A) té el pla tangont z =0. B) té per vector perpendicular el (0, 0, 1. C) Cap de les anteriors, 4. Si lim, autos F(<) = 3, llavors la corba y = f (1) A) té una asímptota vertical en 1 = 3. B) té una asímptota horitzontal y=3 C) té una asímptota obliqua de pendent m = 3. 2341 > 5. La funció f(x) - £ A) té una discontinvitat evitable en x = 2, B) no s'anulla enlloc, C) no té máxims ni mínims. a . z dt 6. Donada f(x, y) ==, es compleix: y A) No és diferenciable en (0, 1) B) No és contínua en (0, 1) C) El gradient de f en el punt (0, 1) és (1,0) 7. Els extrems de la funció f(x, y) = 2? — y? sobre la circumferéncia 1? + y? =4 són: A) (0,2), (0, —2) máxims i (2,0), (-2, 0) mínims. B) (0,2),(0, 2) mínims i (2,0), (2,0) máxims. C) (0,2), (0,2), (2,0), (-2,0) máxima. 8. El desenvolupament per Taylor de grau 2 de (1) =vVz2+F1a Porigen és 2 2 2 a q coa ¿E E e A E 9. El domini del camp escalar f(=, y) = FONAMENTS MATEMATICS DE L'ARQUITECTURA TÉCNICA EPSERB JUNY 2007 _ CENTRE —ASSIGNATURA PARCIAL PERMUTACIÓ | 310 26150 02 1 1. Si el producte de dos nombres reals és zy = k, llavors la seva suma S =0+ Y | A) té un máxim relatiu quan =y= +vk. X B) té un mínim relatiu quan 1 =y= —Vh. £) té un mínim relatin quan x= y =+vVk. a El desenvolupament, per Taylor de la. funció y = Vz NO el podem ter en Ventorn del punt: £a=0 Bja=1 Cja=40 A CERCO Dal CA 1 ln IO Ml A A 3. El línait PUE ma és A Yo. 2 20 +1. OL 4) La direcció de máxi pendent de la funció fx, y) = 2? + — ay en el punt (1,1) és A)(,1. B) (2,2). Eo) (1,42): - La funció f(x, y) = xy +1 + y té: cr A) un máxim en (-1,—1) B) un mínim en (—1, -1) 42) yn punt de sella en (—1,—1) 6, Sigui f una funció contínua en z =C. Definim L := lim f(x), llavors X ee A) L no sempre exisbelx. B) f és derivable en-x = €. L lim f(=)= l m7 a. 16] / El desenvolupament de Taylor de la funció Í a origen és: +x A) » o Erro. yz 3 + 8, Els extrems de la funció Ha, y) => + y? xy sobre la recta a + y =4 són: y un mínim en (2,2) B) un máxim en (2,2) C) un raínim en (0,0) i un máxim en (2,2) 2 , Ae 09) L'cquació de la recta tangent a la corba y =8 en el punt y =1és: Tas l a 1 Vo 1 a y ¿+2 B)y=¿2+2 C) y=¿(21 +2) 110) El pla tangent a la superfície ¿ =x* + xy en el punt corresponent a (x, y) = (1,—1) és: Bi 2=0 B)-y+2=0 C) (2,y, 2) = (1,1, 1) + (1, —1, 0) He) =L FONAMENTS MATEMÁTICS DE L'ARQUITECTURA TÉCNICA JUNY 2007 ENTREGUEU CADA PROBLEMA EN FULLS DIFERENTS ESCRIVIU EL NOM 1 COGNOMS EN MAJÚSCULES A CADA FULL Mconsieces Pendomorfisme de R* que en base canónica té per matriu -2 12 ua HO Y +b 7 A=|5 2 3 * 111) =é Calculeu Im /(doneu-ne una base i la dimensió). “b) Demostreu que el vector » = 6 13,8) és vector propi de f. / Quin és el seu valor propi? Á Busqueu la antiimatge del vector Y = (14,1). Que es pot dir del vector v, observant el resultat? Me 0 1 A Calculeu el polinomi característic de fi els valors propis de f 5 o H / r IN] 3 Quina és la matriu de f' en aquesta base? 4 tl -/ 4 A Escriviu la matriu de canvi de base de la base de vectors propis a la base natural. E HN Ir £ 7 pe Aproximeu útilitzant el polinomi de Taylor de grau 3. Y Ak q Y Trobeu la ps direccional de f(x, y)=x" + y? —x- y en el punt (2,3) venía direcció 8,4). 0) Yo, 69 A A Trobeu els extrems de la funció f(x, y)=x?- y” en els punts de la Migadura(x* +y /N justificant la resposta. Y P| (Va M fr Ay - NOTA: Tingueu en compte que x* = Ey que x o y poden ser zero. y Trobeu els punts crítics de la fanció f(x, y)=x* + y*—2x? +4x-y-2y?. Classifiqueu- los. pena J) edrnd NOTA: Recordeu que x%2-y? >x=-p | / S ÉL > . PEA) MORE... 
