Ingeniería en Telecomunicaciones
Álgebra y Matemática Discreta Examen Final
Fecha: 10 de Mayo de 2010
Las respuestas sin justificación se considerarán como no contestadas.
No está permitido el uso de calculadoras.
1. Sea S P3={p(x)∈P3:p(x) = xp0(x)},P3es el espacio vectorial de los
polinomios de grado menor o igual que 3.
a) (1 punto) Demostrar que SP3es un subespacio vectorial de P3
b) (1 punto) Hallar dimensión y una base de SP3.
2. Dada la aplicación F:R37−→ R3definida por
F(x, y, z) := (x, y , 4x),
a) (1 punto) Demuestra que es lineal.
b) (2 punto) Da una base de su imagen y otra de su Ker.
3. Sea la matriz
M=
1b0
1b0
1b0
a) (0.75 puntos) Hallar los valores propios de M.
b) (0.75 puntos) Encuentra bpara que Msea diagonalizable.
c) (1 punto) Elige un valor de los encontrados y halla una base de vectores
propios y la matriz diagonal correspondiente.
4. (1 punto) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones modulares
5x≡4 (m´od 7)
x≡1 (m´od 3)
5. Sea el grafo W5(rueda).
a) (0.5 puntos) Demostrar que no existe un camino euleriano.
b) (0.5 puntos) Añadir a W5un número mínimo de aristas para conver-
tirlo en un grafo euleriano.
c) (0.5 puntos) De cuantas formas distintas se puede pintar las aristas
de W5con dos colores (rojo y azul).
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