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CAP´ıTULO 8
Dualidad
- Dual de una transformaci´on lineal
En este cap´ıtulo volveremos a considerar el tema de la dualidad de espacios vectoria- les.
Se recuerda que si V es un espacio vectorial, definimos el dual como V ∗^ =
f : V → k : f es una transformaci´on lineal
En el caso en que V tiene dimensi´on finita y B = {e 1 ,... , en} es una base, denotamos la base dual como B∗^ = {e∗ 1 ,... , e∗ n}, ver Definici´on 4.4.18. Recordar que la propiedad m´as importante de la base dual es que se verifican las siguientes igualdades para todo v ∈ V y para todo f ∈ V ∗^ (ver Lema 4.4.19).
v =
i
e∗ i (v)ei
f =
i
f (ei)e∗ i
Denotemos V a la familia de todos los espacios vectoriales, que consideramos si- mult´aneamente con la famila de todas las transformaciones lineales entre todos los es- pacios vectoriales. Decimos que estamos considerando la categor´ıa de todos los espacios vectoriales.
La dualidad se puede pensar como una construcci´on en la categor´ıa V. Para esto necesitamos completar la definici´on y considerar el dual de una transformaci´on lineal.
Definici´on 8.1. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transfor- maci´on lineal. Definimos una nueva transformaci´on lineal T ∗^ : W ∗^ → V ∗^ de la siguiente forma: T ∗(f ) = f ◦ T si f ∈ W ∗.
Observaci´on 8.2. (1) Es de destacar que para verificar la correctitud de la definici´on anterior es necesario probar dos linealidades. La primera es probar que T ∗(f ) ∈ V ∗^ o sea necesitamos verificar que T ∗(f ) es una transformaci´on lineal. Esto es consecuencia del hecho de que T ∗(f ) = f ◦ T y que esta ´ultima es una composici´on de transformaciones lineales. La segunda es verificar que T ∗^ es lineal. En ese caso necesitamos probar que si f, g ∈ W ∗^ y a ∈ k, entonces (af + g) ◦ T = af ◦ T + g ◦ T. Esta propiedad se deduce de la definici´on de af + g ∈ W ∗.
(2) En t´erminos expl´ıcitos, podemos decir que T ∗(f )(v) = f
T (v)
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64 8. DUALIDAD
(3) La funcional lineal T ∗(f ) : V → k se puede caracterizar como la ´unica funcional lineal que hace el diagrama de abajo conmutativo.
V
T AAA√√
AAA AA
T ∗(f ) (^) // k
W
f
~^ >^ >
~
La construcci´on del dual verfica las dos siguientes propiedades que se pueden abreviar diciendo que el dual es un functor contravariante.
Lema 8.3. Sean V, W, U espacios vectoriales y T : V → W , S : W → U transforma- ciones lineales. Entonces:
(1) (S ◦ T )∗^ = T ∗^ ◦ S∗;
(2) (IdV )∗^ = IdV ∗
Demostraci´on. (1) Sea f ∈ U ∗, entonces (S ◦ T )∗(f ) = f ◦ (S ◦ T ). Por otro lado (T ∗^ ◦ S∗)(f ) = T ∗
S∗(f )
= T ∗(f ◦ S) = (f ◦ S) ◦ T. El resultado buscado se deduce de la asociatividad de la composici´on de funciones.
(2) La demostraci´on de esta propiedad es simple y queda como ejercicio. §
- Dualidad y matrices asociadas
A continuaci´on calculamos la matriz asociada a T ∗^ en las bases duales, en t´erminos de la matriz asociada a T en las bases dadas.
Definici´on 8.4. Si A ∈ Mm×n es una matriz definimos la matriz transpuesta At^ ∈ Mn×m como la matriz que se obtiene a partir de la matriz A intercambiando filas por columnas.
Observaci´on 8.5. (1) Podemos interpretar el mapa A √ At^ : Mm×n → Mn×m como una transformaci´on lineal que cuando la aplicamos dos veces da la identidad. Eso se debe a que la transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas y que la transpuesta del m´ultiplo escalar de una matriz es el m´ultiplo escalar de la transpuesta. Adem´as si intercambiamos columnas por filas y luego nuevamente columnas por filas, volvemos a la matriz original.
(2) Si la matriz es cuadrada, al transponerla obtenemos una matriz cuadrada que es la sim´etrica de la primera con respecto a la diagonal principal. Claramente la transpuesta de la identidad es la identidad.
(3) Una matriz se dice sim´etrica si coincide con su transpuesta y se dice antisim´etrica si es la opuesta de su transpuesta.
(4) Probaremos m´as adelante –se podr´ıa tambi´en verificar directamente– que la trans- puesta de un producto es el producto de las transpuestas en el orden inverso. O sea, (AB)t^ = BtAt, ver Corolario 8.7.
Teorema 8.6. Sea T : V → W una transformaci´on lineal entre espacios de dimen- si´on finita y sean B = {e 1 ,... , en} una base de V y C = {f 1 ,... , fm} una base de W. Sean
B∗^ = {e∗ 1 ,... , e∗ n} y C∗^ = {f 1 ∗ ,... , f (^) m∗} las bases duales. Entonces (^) B∗ [T ∗]C∗ =
C [T^ ]B
)t .
66 8. DUALIDAD
linealmente independiente a una base de un espacio vectorial. Consecuentemente siempre se puede encontrar el complemento de un subespacio cualquiera de un espacio vectorial.
(2) Veremos m´as adelante (ver Teorema 8.12) una generalizaci´on de este resultado.
- Correspondencia entre subespacios de V y de V ∗
Estudiaremos a continuaci´on la relaci´on entre los subespacios de un espacio vectorial y los de su dual.
Definici´on 8.10. (1) Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V un subespacio. Se define el anulador o perpendicular de W en V ∗, W ⊥^ ⊂ V ∗^ de la siguiente forma: W ⊥^ = {f : V → k ∈ V ∗^ : f |W = 0}.
(2) Sea X ⊂ V ∗^ un subespacio del dual de V , se define X⊥^ ⊂ V de la siguiente forma: X⊥^ = {v ∈ V : f (v) = 0 para todo f ∈ X}.
Es f´acil probar a partir de las definiciones anteriores que W ⊥^ es un subespacio de V ∗ y que X⊥^ es un subespacio de V.
Lema 8.11. Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V un subespacio. Entonces la proyec- ci´on can´onica π : V → V /W induce un isomorfismo π∗^ : (V /W )∗^ → W ⊥^ ⊂ V ∗.
Demostraci´on. La aplicaci´on π∗^ : (V /W )∗^ → V ∗^ es injectiva – como se deduce del teorema anterior – y su imagen es Im(π∗) =
f : V → k : existe g : V /W → k, f =
g ◦ π
. Claramente una transformaci´on lineal de la forma g ◦ π est´a en W ⊥^ pues se anula en W. Rec´ıprocamente, si tenemos una transformaci´on lineal f : V → k que est´a en W ⊥ , usando la propiedad universal del cociente deducimos que existe g : V /W → k tal que f = g ◦ π. En definitiva, hemos probado que Im(π∗) = W ⊥. §
Teorema 8.12. Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´on finita y T : V → W una transformaci´on lineal.
(1) N(T ∗) ∼=
W/ Im(T )
(2) Im(T ∗) ∼=
V / N(T )
Demostraci´on. (1) Observemos que N(T ∗) = {f ∈ W ∗^ : f ◦ T = 0} = {f ∈ W ∗^ : f |Im T = 0}. Aplicando el Lema 8.11, deducimos que N(T ∗) ∼=
W/ Im(T )
(2) Si probamos que f ∈ Im(T ∗) si y s´olamente si f |N(T ) = 0, el resultado se deduce aplicando nuevamente el Lema 8.11.
Por definici´on, Im(T ∗) = {f ∈ V ∗^ : ∃ g ∈ W ∗^ , g ◦ T = f }. Luego, si f = g ◦ T ∈ Im(T ∗) y v ∈ N(T ), entonces f (v) = g ◦ T (v) = g(0) = 0. Rec´ıprocamente, si f |N(T ) = 0,
entonces f induce una funcional lineal f˜ : V / N(T ) → k. Por otro lado, T induce un
isomorfismo T˜ : V / N(T ) → Im(T ); sea S : Im(T ) → V / N(T ) su inversa. Entonces g = f ◦ S : Im(T ) → k es tal que g ◦ T = (f ◦ S) ◦ T = f. Razonando como antes extendemos g : Im(T ) → k a una funcional ˜g : W → k ∈ W ∗^ Entonces ˜g ∈ W ∗^ es la funcional lineal buscada, o sea una funcional que verifica que T ∗(˜g) = f y que garantiza que f ∈ Im(T ∗). §
Observaci´on 8.13. Nuevamente, obs´ervese que la hip´otesis en las dimensiones es s´olo t´ecnica, obedeciendo a que no tenemos probado extensi´on de bases en dimensi´on infinita.
- DOBLE DUAL 67
- Rango de T y rango de T ∗
Estamos ahora en condiciones de probar que el rango por filas de una matriz es igual al rango por columnas.
Corolario 8.14. Sea T : V → W una transformaci´on lineal entre espacios vecto- riales de dimensi´on finita. Entonces r(T ) = r(T ∗). En particular, el rango por filas de una matriz es igual al rango por columnas.
Demostraci´on. En efecto, dim Im(T ∗) = dim
V / N(T )
= dim V / N(T ) = dim Im(T ).
Si A es una matriz, entonces rc(A) = r(LA) = r
(LA)∗
= rc(At) = rf(A). La pen´ultima igualdad se demuestra aplicando el Teorema 8.7. §
- Doble dual
En esta secci´on estudiaremos la relaci´on entre un espacio vectorial V y su doble dual V ∗∗.
La construcci´on – functor – que realizamos en V y que a un espacio vectorial le asocia su dual, podemos iterarla. De esta forma tenemos otro functor V → V, tal que V √ V ∗∗ y T : V → W √ T ∗∗^ : V ∗∗^ → W ∗∗.
Es importante notar que si bien la construcci´on del dual es contravariante en el sentido que intercambia el dominio con el codominio, al iterarla se hace covariante y a T : V → W le corresponde T ∗∗^ : V ∗∗^ → W ∗∗.
El doble dual est´a ligado con el espacio original mediante un mapa natural que pasamos a definir.
Definici´on 8.15. Sea V un espacio vectorial, se define jV : V → V ∗∗^ de la siguiente forma: jV (v)(f ) = f (v) para toda f ∈ V ∗.
Lema 8.16. (1) Para todo V el mapa jV definido arriba es lineal e inyectivo. (2) Para toda transformaci´on lineal T : V → W , el digrama de abajo conmuta.
V
T ≤ ≤
jV (^) // V ∗∗ T ∗∗ ≤ ≤ W (^) jW /^ /W ∗∗
Demostraci´on. (1) Debemos en primer lugar observar que si v ∈ V entonces jV (v) ∈ V ∗∗. Eso quiere decir que para todos a, b ∈ k y para todo f, g ∈ V ∗, jV (v)(af + bg) = ajV (v)(f )+bjV (v)(g). Se verifica directamente que jV (v)(af +bg) = (af +bg)(v) = af (v) + bg(v) = ajV (v)(f ) + bjV (v)(g).
Adem´as queremos probar que jV es lineal o sea que jV (av + bw) = ajV (v) + bjV (w) para a, b ∈ V y v, w ∈ V. Si evaluamos en f ∈ V ∗^ tenemos que: jV (av + bw)(f ) = f (av + bw) = af (v) + bg(w) = ajV (v)(f ) + bjV (w)(f ). La inyectividad de V se prueba de la siguiente forma: v ∈ N(jV ) si y solo si f (v) = 0 para todo f ∈ V ∗. Queremos probar que si 0 6 = v ∈ V , entonces existe una funcional lineal f ∈ V ∗^ tal que f (v) 6 = 0. Para
