Algebra banco cepre uno, Esquemas y mapas conceptuales de Hidráulica e hidrología 2

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1. En el polinomio

( )

2

P x = 3 x − 2 nx + 1 , si la suma de

los coeficientes es 2, hallar el valor de 𝑃(− 1 ).

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

2. Sea:

( ) ( )

3 5 2 2

P x = a − 7 x + ax + a + 1

Un polinomio Mónico, hallar el T.I.

a) 2 b) 5 c) 10 d) 26 e) 17

3. Si el polinomio

( )

18 15 16

− − + − +

a a b c b

P x x x x

Es completo y ordenado en forma decreciente, calcular: 𝑎 +

a) 32 b) 52 c) 72 c) 82 e) 94

4. Si se cumple la siguiente identidad

( ) ( ) ( )

2 x + 7  m x + 2 + n x − 3

Hallar el valor de 𝑚 + 𝑛

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) - 2

5. Dada la expresión algebraica

( )

2

3

x

P x x

Calcule el valor de ( ) P 1

a) 4 b) 8 c) 5 d) 3 e) 6

6. Si

( ) P x + 1 = 2 x + 3 y ( ( ))

P H x = 4 x − 1 , el

valor de ( )

H 5

es:

a) 9 b) 8 c) 12 d) 10 e) 11

7. Si el polinomio

( )

2 2 2 4

b a a b

P x y ax y bx y

Es un polinomio homogéneo, calcular ( )

P 1,.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

8. Determinar

2 2

x + y ; si se verifican

x + y = 13 y xy = 3

a) 7 b) 8 c) 19 d) 10 e) 13

9. Si se cumple que:

x + = 3

x

, halle el valor de:

3

3

x +

x

, es:

a) 18 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15

10. Al efectuar

( )( )( )

2 2 2

a + a + 1 a − 1 a − a + 1 , se obtiene:

a)

6

2 a − 1

c)

6

a + 1

e)

6

a − 2

b)

6

a − 1 d)

6

a + 2

11. En las siguientes proposiciones marcar (V) si es

verdadero y (F) si es falso:

I. ( )

2 2

x − y − 2 = x + 4 − 2 xy − 4 y − 4 x

II.

( )( )

2 2 4 2

2 x + x + 1 2 x − x + 1 = 4 x + x + 1

III.

( ) ( )

2 2

x − 2 − x + 2 = − 8 x

La secuencia correcta es:

a) FFF b) FVV c) FFV d) FVF e) VVV

12. Si x + 2 y + 3 z = 0 , entonces el valor de la expresión

3 3 3

E = x + 8 y + 27 z , es:

a)

3 3 3

27 x y z c)

2 2 2

18 x y z e) 27 xyz

b)

3 3 3

18 x y z d)

18 xyz

13. Respecto al algoritmo de la división de polinomios, en las

siguientes proposiciones, escribir (𝑉) si es verdadero y

(𝐹) si es falso.

I. El grado del dividendo es mayor o igual al grado del

divisor.

II. El grado del dividendo es mayor o igual al grado del resto.

III. El grado del cociente es igual al grado del dividendo más

el grado del divisor.

La secuencia correcta es:

a) VVV b) VFF c) FVF d) FFF e) FFV

14. .En las siguientes proposiciones respecto a la división de

polinomios, escribir (𝑉) si es verdadera y (𝐹) 144414

1 4. si es falsa.

I. El grado del divisor es menor o igual que el grado del

dividendo.

II. Si los grados del dividendo y del divisor son iguales,

entonces el resto es cero.

III. El grado máximo del divisor es igual al grado del dividendo

menos uno.

La secuencia correcta es:

a) VFV b) VVF c) FVV d) VFF e) VVV

15. El residuo de la división de:

5 4 3 2

2 x + 7 x − 50 x − 173 x − 22 x + 60 , entre

2

x − 2 x − 15 , es:

a) x + 4 b) x − 4 c) 4 d) 2 e) 0

16. calcular el grado del polinomio:

A) 9 B) 18 C) 21

D) 23 E) 45

17. hallar los valores de «a» y «b» en:

29. Si el grado absoluto del monomio

2 2

a b a b

M x y

Es 15, además el grado relativo de 𝑥 es el grado relativo

de 𝑦 como 2 es a 3. Entonces el valor de:

3 3

E = a + b , es:

a) 45 b) 25 c) 65 d) 55 e) 35

30. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I.

( ) ( )

2 2

a − b − a + b = 4 ab

II.

( )

2 2 2 2

a − b − c = a + b + c − 2 ab − 2 bc − 2 ac

III.

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

a − b + a + b = 2 a + b

a) I c) II e) III

b) II y III d) I y III

31. De los siguientes productos.

I.

( )( )

2 2 2 2

m m n n m m n n

x x y y x x y y

II.

( )( )

2 2

x + 2 x + 1 x − 2 x + 1

III.

( )( )

2 2

x + x − 1 x + x + 1

IV.

( )( )

2 2

x + x + 1 x − x + 1

Los que corresponden a la identidad de argand, son:

a) I y IV c) II y III e) I y II y III

b) II, III y IV d) III y IV

32. Si el resto de la división:

4 3 2

x x x nx

x

Es ( ) R x = 4 ,e

a) 2 5 b) 4 c)23 d) 27 e) 10

33. El resto de dividir el polinomio

( ) ( ) ( ) ( )

200 201 4 4 4 4

P x = x − 3 x + 6 + x − 3 x + 4 − 2 x − 3 x − 3 x

Entre ( )

4

Q x = x − 3 x + 5

, es:

a)

2

10 + 3 x c) 10 − 9 x e)

4

10 − 3 x

b) 10 + 9 x d) 25 − 9 x

34. Hallar el resto en la división:

( ) ( ) ( )

2002 2003 6 6 6

6

x x x x x x

x x

a) - 4 b) 4 c) - 6 d) - 2 e) - 24

35. Con respecto a la factorización del polinomio

( )

3

P x = x + 125. En las siguientes proposiciones,

escribir (V) si es verdadero y (F) si es falso.

I. El número de factores algebraicos es 4.

II. La suma de los factores primos es

2

x − 4 x + 25

III. La suma de los términos independientes de los factores

primos es 30.

La secuencia correcta es:

a) FFV b) FVF c) VVF d) VFF e) VFV

36. Al factorizar

( ) ( ) ( )

2

2 2

P x = x + x − 18 x + x + 72 , uno de los

factores lineales 𝑃(𝑥) es:

a)

x − 12

c)

x + 2

e)

x + 4

b) x − 4 d) x + 6

37. La solución real para “x” en la ecuación:

3

1

x 8

3 = 9

, es:

a) - 2 b) 2 c) 3 d) - 1 e) 1

37. El grado del polinomio

( ) ( ) ( )

3 5 4 2 2 4 3 5

P x y , = x − 2 xy + y + 5 x y − xy + y

Es:

a) 180 b) 51 c) 28 d) 30 e) 56

38. Si el monomio

( )

2 3

n n n n n

M x x x x x

, es de sexto grado,

el valor de “n” es:

11 b) 9 c) 12 d) 13 e) 10

39. Si la división:

4 3 2

2

x x x mx n

x x

, es exacta el valor de

m + n

, es:

a) 1 b) 0 c) 6 d) - 1 e) 5

40. Hallar la suma de los términos independientes de los

factores primos de

( ) ( )

2 2 2

P x = abx + a + b x + ab

a)

a + b

c)

ab

e)

a + 2 b

b)

a − b

d)

2 a + b

41. Al factorizar la expresión

( ) ( )( )( )( )

P x = x + 1 x + 2 x − 7 x − 6 + 16

, es:

a)

2

x − 3 x − 1

d)

2

x − 5 x + 2

b)

( )

2 2

x − 5 x − 10

e)

( )

2

2

x − 4 x − 8

c)

( )( )

2 2

x + 7 x − 1 x − 7 x + 1

42. , Al factorizar el polinomio

( )

2 3 4

P x = 10 x + 5 x − 3 x + 6 x − 2

; la suma de los

factores primos lineales, es:

a)

5 x + 1

c)

6 x − 1

e)

5 x

b)

6 x

d)

x − 1

43. La suma de los factores primos del polinomio

( )

3 2

P x = 12 x + 8 x − 3 x − 2

, es:

a)

6 x + 2

c)

7 x + 2

e)

7 x − 2

b)

7 x + 4

d)

6 x + 3

44. Al factorizar el polinomio

( )

2 3 4

P x = 10 x + 5 x − 3 x + 6 x − 2

; la suma de los

factores primos lineales, es:

a)

5 x + 1

c)

6 x − 1

e)

5 x

b)

6 x

d)

x − 1

45. Al factorizar la expresión

( ) ( )( )( )( ) P x = x + 1 x + 2 x − 7 x − 6 + 16

, es:

a)

2

x − 3 x − 1

d)

2

x − 5 x + 2

b)

( )

2 2

x − 5 x − 10

e)

( )

2 2

x − 4 x − 8

c)

( )( )

2 2

x + 7 x − 1 x − 7 x + 1

46. Hallar el valor de «x» en:

A) 7 B) 4 C) 5

D) 88 E) Veré en libro el profe loquillo

47. Hallar el valor de «x» en:

A) 3/7 B) 5/4 C) 5

D) 8/5 E) 7/

48. Hallar el valor de «x» en:

Reales

A) 1 B) 2 C) 5

D) 6 E) 3

49. Simplificar la expresión: El valor de

M+5, es:

A) 14 B) 24 C) 54

D) 64 E) 34

50. Sabiendo que ab=b

b =2 El valor de: , es:

A) 4b B) 8a C) 5a

D) 4a E) 3a

51. Simplificar la expresión:

Resulta:

A) 7 B) 4 C) 5

D) 2 E) 1

52. Hallar el valor de:

A) 2/7 B) 4/5 C) 5

D) 2/5 E) 1

53. Si se cumple:

El valor de E=x

+x

A) 14 B) 3 C) 5

D) 12 E) Veré en libro el profe loquillo

54. De las proposiciones siguientes:

I).

II).

III).

La respuesta correcta es:

A) VVV B) No se C) NA D) FFF E) VFF

55. De las proposiciones siguientes:

I). El valor de «x» es 3 en:

II). para x=

III). para x=

La respuesta correcta es:

A) VVV B) No se C) NA D) FFF E) VFF

56. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es

verdadero o (F) si es falso.

I. (a-b)

= a

• b

• 3ab(a+b) ( )

II. (a+b-c)

= a

+b

+c

+2ab+2ac-2bc III. (a+b)

• (a-

b)

=4ab ( )

La secuencia correcta es:

A) FFV B)FVV C) VFV

x 1 x 1

2 2 20

• −

• =

2 x 3 x 2

1

3 2 ( 3) 9

−

−

=

3x 2 x 3

( 8) ( 2) , x

−

6 n 1 3 n

n

4 n 1 n

3 3

M

3 3

=

ab ab

P =ab

2 2

2 2

n n

n n

n n n

n

16 8

8

4 2

E

2 1

=

2 2

2

2 2

n n

n

n n

10 6

E , es :

(25) (15)

−

=

−

( ) ( )

2x 2x 2x x x x

1778 sumandos 1776 sumandos

2 + 2 + ... + 2 − 4 + 4 + ... + 4 = 128

0

a = 1; a  0

n

n

n

1 1

a ; a 0

a a

−

 

= =   

 

n m m n m.n

a = a =a

x

3 x

10 1

−

=

x 2

2 16

=

75. Hallar la suma de los valores de “k” si la distancia del

punto A(2;-1) a la recta:

L : 4 x− 3 y+k= 0

Es de 6 unidades.

a) - 22 b) 33 c) 45 d) 38 e) 45

76. Hallar el radio de la circunferencia:

x y 4 x 6 y 3 0

2 2

• − − − =

a) 7 b) 4 c) 0 d) 2 e) 1

77. Hallar el radio de la circunferencia:

x y 2 x 8 y 8 0

2 2

• • − − =

a) 5 b) 3 c) 12 d) 4 e) 6

78. En las siguientes proposiciones respecto a la división de

polinomios, escribir (V) si es verdadera y (F) si es falsa.

I) El grado del divisor es menor o igual que el grado del

dividendo.

II) Si los grados del dividendo y del divisor son iguales,

entonces el resto es cero.

III) El grado máximo del divisor es igual al grado del

dividendo menos uno.

La secuencia correcta es:

A) VFV B) VVF C) FVV D) VFF E) VVV

79. En las siguientes proposiciones respecto a la división de

polinomios, escribir (V) si es verdadera y (F) si es falsa.

I) El grado del resto es mayor o igual que el grado del divisor.

II) Si los grados del dividendo y del divisor son iguales

entonces el grado del cociente es cero.

III) El grado del divisor, es igual al grado del dividendo más

uno.

La secuencia correcta es:

A) FVV B) FFV C) VVF

D) FVF E) VFF

80. La suma de los coeficientes del cociente de dividir

P(x)=2x

• 3x

+4x

+11x+2 entre Q(x)=2x+1, es

A) 14 B) 12 C) 10

D) 6 E) 20

81. Si la división indicada

• − + −

− −

2 4 3 2 3

2

a x 5ax 14x a x 9

ax 2x 3

; es

exacta, ¿Cuál es el valor real de a?.

A) - 2 B) - 3 C) 9

D) 5 E) 2

82. Hallar la división de «m» y «n»; si la división x

+mx+n

entre x

• 2x+1 es exacta.

A) - 3 y 3 B) - 3 y 2

C) 4 y 5 D) - 2 y 3 E) 1 y 2

83. El resto de dividir P(x)=3x

• 8x

• 5x

+26x

• 33x+26 entre

Q(x)=x

• 2x

• 4x+8, es:

A) 2x+1 B) - 5x+2 C) - 5x- 2 D) 3x+1 E) - 3x- 2

84. Si la división del 6x

• 5x

• mx - 1, entre 2x+1 es exacta,

el valor de m, es:

A) 6 B) 1 C) 3

D) 2 E) - 6

85. Hallar b-a si la división

. Es exacta.

A)8 B) 14 C) 9

D) 13 E) 5

86. La suma de todos los coeficientes del cociente de dividir

entre ,

es:

A) 2 B) 0 C) 7

D) 3 E) 1

87. Al dividir el polinomio entre

,la suma de los coeficientes del cociente

es:

A) 3 B) 4 C) 6

D) 5 E) 2

88.. Si

a b a + b

, el valor numérico de

( ) ( )

( )

6 6 6

3

a b a b

E

ab

, es:

a) - 11 b) - 7 c) - 3 d) 5 e) 7

89. Mostrar el equivalente de:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

• • − + − −

x y x y x y x y

x y xy

a) 2 b) 5 c) 6 c) − 6 e) − 2

90.. Si

( )

x

P x

x

, además

( ) ( )

x

P G x

x

, hallar ( )

G x

a) 2 x − 1 c) x − 1 e) x + 98

b) 3 x + 2 d) 4 x + 98

3

2

x ax b

(x 1)

−

6 4 3 2

8x + 4x − 7 3x − 3x + 5 3x − 3 2x − 3

20 8 4

P x 8x 5x 4x 3

4

Q x 2x 1

91. Dado el polinomio

( ) ( ) ( )

2

P x + 1 = 3 x − 1 + 2 x − 1 + 1

Halle ( ) P x + 2

a)

2

3 x + x + 2 d)

2

3 x − x + 1

b)

2

3 x + 2 x + 1 e)

2

3 x + 2 x − 1

c)

2

3 x − 2 x + 1

92. Hallar

2

n , si:

n n n

(3 − 1)(1 + 3 + 9 ) = 728

a) 2 b) 1 c) 4 d) 1/2 E) 1/

93. .Hallar el valor de “k” si la siguiente recta es vertical:

L :(k− 4 )x+(k− 2 )y− 8 = 0

a) 3 b) 1 c) 2 d) – 5 e) 7

94. Hallar la suma de los valores de “k” si la distancia entre

las rectas paralelas es 4 unidades:

L : 3 x 4 y 2 0

L : 3 x 4 y k 0

2

1

• • =
• • =

a) 0 b) 4 c) 2 d) − 3 e) 1

95. El centro de la circunferencia

( )

2 2

C : x + y − ax − 4 x − b + 3 y + 52 = 0

es ( a − 1;6),

el valor de “ a + b ”, es:

a) 14 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12

96. Dada la ecuación

( )

2 2

x + y + Dx + Ey + F =0 ...  , el

valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si

2 2

D + E − 4 F  0 , entonces la ecuación ( ) 

representa a una circunferencia.

II) Si

2 2

D + E − 4 F = 0 , entonces la ecuación ( ) 

representa al conjunto vacío.

III)Si

2 2

D + E − 4 F  0 , entonces la ecuación ( ) 

representa a un punto.

En el orden en que aparecen es:

a) VFV b) VFF c) VVF

d) FVF e) FFV

97. Determinar el valor de “k” para que la circunferencia:

2 2

2x + 2y + 8x − 16y − k = 0 , sea tangente al eje de las

abscisas.

a) -- 2 b) 4 c) - 6 d) - 8 e) - 7

98. Hallar el radio de la circunferencia:

C : 2 x 2 y 6 x 10 y 7 0

2 2

• − + + =

a) 2 u b) 7 u c) 5 u d) 3 u e) 6

u

99. La ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre

el eje X y que pasa por los puntos M =( 1,3) y

N =( 4, 6) , es:

a)

2 2

x − 7 + y = 45

b) ( )

2 2

x + 7 + y − 2 = 45

c) ( )

2 2

x + y − 2 = 45

d)

2 2

x + y + 2 = 45

e)

2 2

x + 7 + y = 45

100. Uno de los fatores primos del polinomio:

P(x) = x

• 7x

• 2x - 40, es:

A) x- 3 B) x- 5 C) x- 4

D) x+1 E) x+

101. La suma de los divisores binomios del polinomio

P(x)=12x

• 20x

• x - 3 , es:

A) 6x+3 B) 7x+4 C) 7x+3 D) 7x- 1 E) 5x+

102. Uno de los factores primos del polinomio

P(x)=15x

• 26x- 21 , es:

A) 3x- 1 B) 3x- 3 C) 5x- 7 D) 5x+7 E) 3x- 7

103. El número de factores primos del polinomio

P(x,y,z)=x

yz+4x

y

z+3xy

z, es:

A) 5 B) 3 C) 4

D) 2 E) 6

104. Dado el polinomio.

( )

2 2

P(x) = x − 5 x + 7 x + 3x + 1 En las siguientes

proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es

falsa:

I) El número de factores primos de P(x) es 3 ( )

II) El número de factores de P(x) es 4 ( )

III) El número de factores primos cuadráticos

de P(x) es 2. ( )

La secuencia correcta es:

A) VFF B) VFV C) VVF

D) FVF E) FFF

105. La suma de los coeficientes de uno de los factores

primos del polinomio: P(x)=x

• 4x

+x

• 4, es:

A) 3 B)2 C) 1

D)4 E) - 3

106. La suma de sus términos independientes de los

factores primos de: P(x)=x

+2x

+5x+2, es:

c)( )

( )

2

y + 5 = 4 x + 3

d)( ) ( )

2

y − 5 = − 8 x + 3

e)( )

( )

2

y + 5 = 16 x + 3

124. La suma de las coordenadas del vértice de la

parábola:

2

P : x − 4 x − 4 y = 0 es:

a) – 3 b) 3 c) – 1 d) 1 e) 2

125. Hallar la ecuación de la siguiente parábola, con

vértices en ( 2,5)y foco en( 2,0)

a)

2

x − 4 x − 20y + 104 = 0

b)

2 2

2x + 2y − 6y + 10y + 8 = 0

c)

2

y − 6x + 10y + 7 = 0

d)

2

y − 4 y − 20x + 104 = 0

e)

2

x + 8 y − 8 = 0

126. El resto de la división

( ) ( ) ( )

4 5

P x = x − 1 + x − 1 + 3 , entre

( ) ( )

Q x = x x − 2 , es:

a)

x + 2

c)

x − 3

e)

x + 4

b) x − 2 d) x + 3

127. Calcule el resto de la división:

( ) ( )

20 4

x x x

x

a) 4 b)0 c) 16 d) 8 e) 24

128. Si el resto de la división:

4 3 2

x x x nx

x

Es ( )

R x = 4 , calcular el valor de “n”

a) 2 5 b) 4 c)23 d) 27 e) 10

129. El resto de dividir el polinomio

( ) ( ) ( ) ( )

200 201 4 4 4 4

P x = x − 3 x + 6 + x − 3 x + 4 − 2 x − 3 x − 3 x

Entre ( )

4

Q x = x − 3 x + 5 , es:

a)

2

10 + 3 x

c) 10 − 9 x e)

4

10 − 3 x

b) 10 + 9 x d) 25 − 9 x

130. Hallar el resto en la división:

( ) ( ) ( )

2002 2003 6 6 6

6

x x x x x x

x x

b) - 4 b) 4 c) - 6 d) - 2 e) - 24

131. Hallar el eje mayor de la elipse:

2 2

4x + 9y + 32x − 18y + 37 = 0

a) 2 unidades b) 4 unidades e) 9 unidades

c) 6 unidades d) 8 unidades

132. Dada la ecuación de la elipse:

2 2

9x + 4y + 54x + 16y − 47 = 0

Halle la distancia entre foco y foco

a) 2 5 unidades b) 35 unidades

c) 45 unidades d) 55 unidades

e) 65 unidades

133. Hallar la ecuación de la elipse que tiene vértices en

( 8, 3) , ( − 4, 3)y un foco en ( 6, 3).

a)

( )

2 2

x 2 y 3

1

36 20

− −

• =

b)

2 2

x y

1

36 20

• =

c)

( )

2 2

y 3 x 2

1

36 20

• =

d)

2 2

y 3 x

1

36 20

−

• =

e)

( )

2

x 2 y 3

1

36 20

• =

9. Si el eje mayor de la elipse

( )

( )

2 2

2 2

2 5

: 1

2

y x

E

a a

− −

• =

mide 10 unidades, el valor de su excentricidad, es:

a)

2

5

b)

3

5

c)

4

5

d)

3

4

e)

2

3

134. La suma de las longitudes de los ejes mayor y

menor de la elipse de ecuación

2 2

x + 4 y − 2 x − 3 = 0 ,

es:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 12

135. De las siguientes ecuaciones cuadráticas:

I.-

2 2

x + y − 2 x + y = 0

II.-

2

y − 12 x − 8 y + 40 = 0

III.-

2 2

x − y + 2 x + 4 y − 5 = 0

IV.-

2 2

4 x + 9 y − 16 x + 54 y + 61 = 0

V.-

2 2

2 x − y + 6 x − y − 10 = 0

La ecuación que corresponde a una elipse es:

a) IV b) I c) II d) V e) III

136. La ecuación general de una elipse de vértice ( 3;5)

y ( 3; − 1 )y excentricidad

1

3

e = , es:

a)

2 2

8 x + 9 y − 32 x − 54 y − 121 = 0

b)

2 2

8 x + 9 y − 32 x − 54 y + 112 = 0

c)

2 2

9 x + 8 y + 54 x − 32 y + 112 = 0

d)

2 2

9 x + 8 y − 54 x − 32 y − 112 = 0

e)

2 2

9 x + 8 y − 54 x − 32 y + 112 = 0

137. En las proposiciones siguientes, dada la ecuación:

ax

+bx+c=0, a¹0, escribir (V) si es verdadero o (F) si es

falso.

I. Si b

• 4ac>0, la ecuación tiene dos raíces reales

diferentes ( )

II. Si a = c y b 0, la ecuación tiene raíces recíprocas

III. Si a c y b 0, la ecuación tiene raíces simétricas

La secuencia correcta es:

A) FVV B) VFV C) VVF

D) VFF E) FVF

138. En la ecuación de segundo grado con una variable

ax

+bx+c=0 ¿Cuál es el valor de verdad de las

siguientes proposiciones?

I. Si b

• 4ac=0, la ecuación tiene raíces iguales y son

números enteros.

II. Si b

• 4ac>0, la ecuación tiene raíces diferentes y son

números reales.

III. Si 2kx

+(k+3)x+k+1=0 tiene raíces recíprocas, entonces

k=-1.

A) FVV B) FVF C) FFV

D) VVV E) FFF

139. siguientes es verdadera, si b

• 4ac>0?

I. Tiene dos raíces reales distintas

II. Tiene dos raíces reales e iguales

III. No tiene raíces reales

A) Solo III B) I y II C) I y III

D) Solo I E) II y III

140. ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son

verdaderas?

I. Sean x 1

y x 2

las raíces de una ecuación cuadrática. Si

x 1

.x 2

=-1 entonces las raíces son simétricas.

II. Toda ecuación cuadrática siempre tiene una solución

real.

III. Dadas m y n raíces de una ecuación cuadrática,

entonces dicha ecuación es: x

• (m+n)x+m.n=

IV. La suma de raíces de la ecuación cuadrática 2x

+6x-

7=0 es - 3

A) 1 B) 4 C) 3

D) 2 E) 0

141. Si la ecuación cuadrática: (2k+10)x

+(4k-4)x+k-2=0,

tiene raíces recíprocas, entonces el valor de k, es:

A) 12 B) 14 C) - 12

D) 10 E) - 10

142. Si la suma de las raíces de la ecuación bicuadrática:

es el producto de sus raíces es:

A) 7 B) 5 C) 6

D) E)

143. El denominador racional simplificado de

es:

A) x

y

B) xy

C) y

D) x

y

E) x

144. El denominador racional simplificado de

, es:

A) a

• 1 B) a

• 2a+

C) a

+3a- 1 D) a

• 6a+1 E) a

145. El radial doble , , al ser

transformado a suma de dos radicales simple, es:

A) B)

C) D)

E)

146. El denominador racional de la fracción

A) 12 B) 10 C)

D) 3 E) 2

147. En las proposiciones siguientes, dada la ecuación:

ax

+bx+c=0, a¹0, escribir (V) si es verdadero o (F) si es

falso.

I. Si b

• 4ac>0, la ecuación tiene dos raíces reales

diferentes ( )

( ) ( )

4 2 2

a − 1 x + 3ax − a − 3a + 2 = 0

( ) a − 7

15

71 33 5

x

x y

2

1 + 2 + a

• −

2

x x 1 x  1

• −

1 1

2 2

x x + −

−

1 1

2 2

x x

• −

1 1

4 4

x x + −

1 1

2 2

x x

• −

−

1 1

4 2

x x

3 3

3

, es :

2 − 12 + 8

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2

3

2

3

x 2

x

P x x P

x

P

P

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ( ) )

( )

( )

( ) ( )

1 2 3 y 4 1

P x x P H x x

x H x

x H x

H x x

2H x x

H x x

H

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 4

GA 2b 2 GA 2 4b

2 2 2 4

GA 2b 2 2 4b

2b 2........ 1

= + + = +

b a a b

a a

b a a b

P x; y a x y b x y

a a

a

P 1;1 a b

a b

a 2b

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2xy 13

13 y 3

x y xy

x y

x y

x y

x y

( )

( )( )

( )( )

3

3

2

1 2

2 1 2

2 2

3 3 1 2 1 2

x 3

x 2x.x x 9

x x 7

x x x x.x x

−

− −

−

− − − −

x x

x x

x

x x

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

Argand

2 2

Diferencia de cu

6

os

4

b

1 1 1

1 1 1

1 1

1

• • − − +

− + + − +

− + +

−

a a a a a

a a a a a

a a a

a

( )

( )( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 4 2

2 2

2

II. 1 1 1

III. 2 2

F

y

V

F

I. x y x xy y x

x x x x x x

x x x

( ) ( )

( )( )

3 3 3

3 3 3

condicio

na

xy

l

z

x y z E x y z

E x 2y 3z

E x 2y 3z

( )

I. D d V

II. D r F

III. q D d F

VFF

( )

max

I. d D V

II. D d resto 0 F

III. d D 1 F

VFF

5 4 3 2

2

Aplicando el metodo de horner

resto 0

x x x x x

x x

16. Recuerde que el grado en un producto se obtiene

sumando los grados de cada uno de los factores

indicados.

Entonces:

17. Del enunciado tenemos:

De las ecuaciones I y II tenemos:

y

18. Recuerde que el grado en una potencia se obtiene

multiplicando el grado de la base por la

potencia Entonces:

G=

19. En el polinomio:

Datos:

G.A. = 20

G.R.

(y)

Planteando:

G.R.

(y) = n - 2 = 8

n = 10

Luego

m+3+n-2=GA

m+n+1 = 20

m + n = 19

m = 9

El valor de m.n es 90

20. I) G.A.(P(x).Q(x))=m (F)

Porque G.A.(P(x).Q(x))=m+n

II) G.A.(P(x)-Q(x))=m-n (F)

Porque G.A.(P(x)-Q(x))=m

III) G.A.(P(x)+Q(x))=m (V)

Porque m n

La secuencia correcta es: FFV

I. El grado absoluto del polinomio P(x)=5x

8 y

6 +7x

9 y

2

• 9 es

14 ....(F)

Como el polinomio está definido en «x», entonces el grado

absoluto está dado por el mayor exponente de esta, GA=

II. El grado absoluto del polinomio P(x,y)=7x

10 y

20 z

5 +9x

4 y

8 z

6

4xyz

3 es 35 ....(F)

Observamos que el polinomio está definido en «x í y»,

entonces el grado absoluto está dado por el mayor exponente

de esta x i y, GA=

III. El grado absoluto del polinomio

P(x,y,z)=3x

4 y

6 z

2

• 7x

2 y

3 z

14

• 2z

24 es 24....(V)

Observamos que el polinomio está definido en «x, y, z»,

entonces el grado absoluto está dado por el mayor

exponente de esta, GA=

I) El grado absoluto del polinomio P(x,y,z), es 30....(V) ;

GA=4(6)+3(2)=

II) El grado relativo respecto a la variable x, es 8 ....(V) ;

GA(x)=1(6)+1(2)=

III) El grado relativo respecto a la variable y, es 15....(F) ;

GA(y)=2(6)+1(2)=

Analizando las proposiciones:

I. (a-b)

3 = a

3

• b

3

• 3ab(a+b) (F)

(a-b)

3 = a

3

• b

3

• 3ab(a-b)

II. (a+b-c)

2 = a

2 +b

2 +c

2 +2ab+2ac-2bc (F)

(a+b-c)

2 = a

2

• b

2

• c

2

• 2ab - 2ac - 2bc

III. (a+b)

2

• (a-b)

2 =4ab (V)

La secuencia correcta es: FFV

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

4

4

200 201 4 4 4 4

200 201 4 4 4 4

200 201

3x 9x

R x 5 5 5 5 9x

R x 9x 25

z

3 5 0

3 5

3 6 3 4 2 3 3

3 6 3 4

9x 9x

reem

3

pla ar :

2 3

6 4 2 3

= − + =

− = −

= − + + − + − − −

= − + + − + − − − −

= − − − − −

=

−

• • • − −

−

−

Q x x x

x x

P x x x x x x x x

x x x x x x x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2002 2003 6 6 6

6

6

6

2002 2003

2002 2003

6 6 6 4 2 6 14

6 5

6 5 0

6 5

R x 5 6 5 4 2 5 14

R x 5 6 5 4 2 5 14

R x 4

− + + − + − − −

− +

 − + =

− = −

= − + + − + − − −

= − + + − + − − −

= −

x x x x x x

x x

x x

x x

( )

( ) ( ) ( )

3

2

2

125

x 5 25

I. #fact.a lg ebrai cos 3 F

II. defact.primos 30 F

III. delos T.I.defact.primos 30 V

5x

4x

= +

− +

=

−

= +

=

= 



P x x

P x x

x

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

2 2 2

2

2

2 2

x 4

x

18 72

12

6

12 6

x 4 x 3

3 x 2

x 3 x 3 x 2

= + − + +

−

−

−

−

− −

− + −

P x x x x x

x + x

x + x

x + x x + x

( )

3

3

3

3

1

x 8

1

2x 2 x 8

x 1

2 4 8

x 1

4 4

3

3

x 1

x 1

x 1

n m

a a m n

( ) ( ) ( )

3 5 4 2 2 4 3 5

, 2 5

.. 5 2 6 3 .. 28

= − + + − +

 =  + 

=

P x y x xy y x y xy y

G A

G A

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 3

2 3

1 2 3 ... n

n n 1

2

n 1

2

n 1

n 1 12

n 11

n n n n n

n n

n

n

M x x x x x

M x x. x .x ... x

M x x

M x x

M x x

G A

( ) ( )

4 3 2

2

7 21 5 10 m n

3 2 1 m 3 n 3

R x m 3 x n 3

m 3 0 n 3 0

m 3 n 3

Reemplazando :

x x x mx n

x x

m n =

( ) ( )

( )( )

2 2 2

ax b

bx a

ax b bx a

T.I. fact. primos a b

= + + +

= +



P x abx a b x ab

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

2 2

2

2

2

2

2 2

1 2 7 6 16

x 5x 6 x 5x 14 16

Cambio de variable :

x 5x a

a 6 a 14 16

a 20a 84 16

a 20a 100

a 10

a 10

a 10

x 5x 10

= + + − − +

= − − − − +

− =

− − +

− + +

− +

−

−

−

= − −

P x x x x x

P x

P x

( )

2 x

2 3

10 5 3

−

P x = x + x − x

( )( )

( )( ) ( )

4

2

2

2 2

2

6 2

6x x 1

x x 2

6x x 1 x x 2

3x 1

2x 1

3x 1 2x 1 x x 2

fact. primos lineales 5x

• −

− −

− − + +

−

• − + +

= 

x

( ) ( )

3 2

2

12 8 3 2

12 8 3 2

1 / 2 6 7 2

12 14 4 0

1

x 12x 14x 4

2

6x 4

2x 1

2x 1

6x 4 2x 1

2

2x 1 3x 2 2x 1

fact.primos 7x 2

= + − −

− −



 

= − + +  

 

−  

= + +  

 

= − + +

= + 

P x x x x

P x

P x

P x

( )

4 3 2

P x = 6 x + 5 x + 10 x

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 x

2

2

2 2

2

6x x 1

x x 2

6x x 1 x x 2

3x 1

2x 1

3x 1 2x 1 x x 2

−

x

P x

P x

Bases iguales, los exponentes son iguales

54. VVV

55. VVV

56. Tema: PRODUCTOS NOTABLES

Analizando las proposiciones:

I. (a-b)

= a

• b

• 3ab(a+b) (F)

(a-b)

= a

• b

• 3ab(a-b)

II. (a+b-c)

= a

+b

+c

+2ab+2ac-2bc (F)

(a+b-c)

= a

• b

• c

• 2ab - 2ac - 2bc

III. (a+b)

• (a-b)

=4ab (V)

La secuencia correcta es: FFV

57. Tema: PRODUCTOS NOTABLES

x - x

= 3, E = x

+x

Previamente recordar:

− = − +

• = + +

• = + + +

2 2 2

2 2 2

3 3 3

(a b) a 2ab b (TCP)

(a b) a 2ab b

(a b) a b 3ab(a b) (Binomio al cubo)

−

− −

−

−

−

− − −

−

−

 − =

− + =

• = +

• =

 + =

• • • =
• • =

• =

1 2 2

2 1 2

2 2

2 2

2 2 3 3

6 6 2 2 2 2

6 6

6 6

(x x ) (3)

x 2x.x x 9

x x 9 2

x x 11

(x x ) (11)

x x 3x .x (x x ) 1331

x x 3(11) 1331

x x 1298

Por tanto el valor de E=

58. (nx+my)

• (ny-mx)

=(n

+m

)(x

+y

) (F)

Debería ser:

(nx+my)

+(ny-mx)

=(n

+m

)(x

+y

Que es la identidad de Lagrange

II. (a-b+c)

=a

+b

+c

• 4(ab-ac+bc) (F)

Debería ser:

(a-b+c)

=a

+b

+c

+2ac-2bc-2ac

III.(a

2m +a

m b

n +b

2n )(a

2m

• a

m b

n +b

2n )= a

4m +a

2m b

2n +b

4n

(V)

Es una de las formas de la identidad de Argand.

Rpta. FFV

59. En:

Por las identidades de Legendre:

=

2 2

(8xy) (x y )

2 2

8xy (x y )

Rpta. 1

Del problema tenemos:

• =

=

x y 13.........(1)

xy 3................(2)

Elevando al cuadrado (1):

( )

• =

• • =

• =

2 2

2 2

2 2

x y 13

x 2xy y 13

x y 7

Rpta. 7

• − + −

− −

2 4 3 2 3

2

a x 5ax 14x a x 9

ax 2x 3

3 n 2 n

n

n

2 n n

2 2

E

2 1

2 (2 1)

E

=

=

n

(2 +1)

n

2

E = 2 = 4

( )

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

n n n n

n

n n n n

n n n

5 .2 3.

E

5 .5 5.

2 5 3

E

−

=

−

−

=

( )

2 2 2 n n n

5 5 − 3

2

2

2

n

n

n

2 2

E E

5 5

 

=  =  

 

( ) ( )

2x 2x

2x

2x 7

2 1778 2 1776 128

2 (1778 1776) 128

2 .2 2

− =

− =

=

2x 1 7

2x 6

x 3

• =

=

=

2

E 3 3

E 12

 = +

=

4 4

3 3

(x y) (x y)

8x y 8y x

• − −

• =

= −

= −

3

3

a 27 0

a 27

a 3

Rpta. - 3

=

−

3

2

x ax b

r 0

(x 1)

a = 3 b = 2

 b − a = 2 − −( 3) = 5

Rpta. 5

Por Horner:

Si la división es exacta:

m+3=0 y n-2=

y

Rpta.-3 y 2

Rpta.

65. Tema: DIVISION DE POLINOMIOS

Para , reemplazando

Aplicando Ruffini:

Cuya suma de coeficientes = 2

Rpta. 2

( )

( )

2

2 2

2 2

...

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

2 8

2

2 8

4 4 8

4 4 0

2 0 2

2 3 2

2 2

4 6

9

11 11

10 10

T C P

y x

xy x y

x y xy

x xy y xy

x xy y

x y x y

x x x x

F

x x x x

x x x

F

x x

x

F F

x

=

• =

• • =

− + =

− =  =

=

− + +

=

=  =

4 4

3 3

4 4

4 4

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

2

a b ab

b a

b a

F a b

b a

b a

b a

F a b

b a

b a

F ab ba ab

F

= =  =

   

= +    

   

   

   

   

= +    

 +   + 

   

   

= + =

=

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c ab bc ac

a b c

a b c

a b c

2 3

a a 5a 14 a 9

2 2a 3a

3 14 21

6 9

a 7 3 0 0

− −

1 1 0 a b

2 2 1

1 4 2

1 2 a 3 0 b 2 0

−

− −

• = − =

1 1 0 m n

2 2 -

-1 4 -

1 2 (m+ 3) (n-2)

Cociente Resto

m = − 3 n = 2

6 4 3 2

2x 3 0

3 x

2

8x 4 x 7 3x 3x 5 3x 3

P(x)

2x 3

− =

=

• − − + −

=

−

8 0 4 7 3 3 7 3 3

3

4 3 6 5 3 3 3 3 3

2

8 4 3 10 2 3 6 2 3 0

2

4 2 3 5 3 3 3

− − −

−

− −



− −

 4 + 2 3 + 5 − 3 − 3 + 3 = 6 + 2 3

6 + 2 3

=

4

x y

• • • − +

5 4 3 2 8y 0y 0y 5y 4 3

2y 1

8 0 0 5 -4 3

-4 2 -1 -2 3

8 -4 2 4 -6 6

y= -

1

2

/

4 -2 1 2 -