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RESUMEN ÁLGEBRA-CÁLCULO
RESUMEN ALGEBRA-CALCULO Subespacios vectoriales (Caracterización de subespacio) Dado un subconjunto W de V, se tiene que W es un subespacio de V si y sólo si para cada par de vectores u, v EW y cada par de escalares A, y EA, se tiene que Mu pu EW. SiW . Esto ocurre si y sólo si todo vector de Y es CL de los vectores 41,03, .... Un. Dependencia e independencia lineal Un sistema de vectores 1, 19, .... Y, Se dice que es libre, o que los vectores que lo forman son linealmente indepen- dientes (LI), cuando la única CL de ellos que da como resultado el vector 0 es la CL en la que todos los escalares son mulos (diremos indistintamente que el sistema o los vectores son LI). Podemos expresarlo así: M01 + A209 ho Ap 0 2 0> 41 ==... = A, =0. En caso contrario se dice que el sistema de vectores es ligado, o que los vectores que lo forman son linealmente dependientes (LD) (diremos indistintamente que el sistema o los vectores son LD). Esto ocurre cuando podamos encontrar alguna CL de los vectores que da cero, siendo algún escalar no nulo, Cambio de base Concretamente, si tomamos La matriz cambio de base nos relaciona las coordenadas de un vector en ambas bas un vector u € Y se tiene que upr= Mp peu. La matriz Mg. pr es invertible y su inversa es My p. Si C es la base canónica entonces las columnas de Mp_¿: son los vectores de la base B, Mp,—Bs = Mpa—B + Mp Ba Ecuaciones de los subespacios Dado W < K" si llamamos A a la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones implícitas de W debe cumplirse que dim W +r(A) =0n. Suma e intersección de subespacios Las ecuaciones implícitas de UY junto con las de W constituyen unas ecuaciones implícitas de Up W al conjunto de vectores Lu + w tales que u € U y w € Wi) al que denotaremos por U + VW. dim(U 4 1) + dim(U NW) =dimU + dim W. Supongamos que tenemos dos subespacios vectoriales U,, U'z de un espacio vectorial V. Se dice que la suma de ambos subespacios (es decir, Uy + U>) es una suma directa cuando Uy M Us = 0, es decir, cuando sólo tienen en somún el vector nulo. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt w ul. Wy = Uy E Op p001 E... e OA 1001 ortonormal [ay el, y ua +1 base ortogonal wa = Ua + 0911 0 —— . ww Wt wi [01 ,09, ..., Un] i uo; Subespacio ortogonal w- fu E Viv -w=0 Vw € W) Además se tiene que V =W 4 W“ y que esta suma es directa Proyección ortogonal VEWSw- UV] = QU] + 33d. OU au: lo llamaremos proyección ortogonal de y sobre W DET TA w4 Wa A We ww Up We Aplicaciones lineales 2 Dada una aplicación f : Y — W entre dos espacios vectoriales Y y W se tiene que f es lineal si y sé flou + Pu) =af(w) + Bf (o), para todo par de vectores u, v € Y y todo par de escalares a, 9 E XK. Si f: V —=W es una aplicación lineal, entonces £(0,.) = Oj. Núcleo e imagen kerf =(vEVIf(v) =0) Inf = (we W|3v € Y cumpliendo que f(w) =w) =[flvJv e VJ kerf 2 — Ecos. ey 2, — Legs Pre, 108 (2+t na) de, donde Fes una función racional. En particular: cos*a = Higia. sené a = uno de los dos cambios a +b=acost, 1 +h=asent. El árca que encierran dos funciones f y y en un intervalo [a, b] (interpretada como la suma de las áreas positivas de los recintos que encierran las curvas y = /(%) e y = g(x) en a, b)) puede calcularse D D por la fórmula f |f — gl (o equivalentemente f ly — f]). a a Para calcular el área de recintos que estón limitados por varias curvas resulta casi imprescindible (o, al menos, muy conveniente) representar gráficamente dicho recinto. Entonces dividimos el recinto en subrecintos limitados por dos curvas, cuya área es más sencilla de calcular. Límite de funciones de varias variables Continuidad Límites iterados L; =lim ¿lim f(z,y Ly =lim [lim fl aa “yb : yb “ra Si los límites iterados existen y no coinciden entonces no puede existir el límite. Si existe alguno de los límites iterados y no coincide con el límite a través de algún subconjunto, entonces tampoco existe el límite, Límites direccionales Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma y —b=wm(x a) Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente: Consecuencia: Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son distintos entonces no existe el límite (a través del dominio). Cambio a coordenadas polares Supongamos que 19] 3 lim, Fla + pcos0,b+psin0) =L 2) Que este valor, L, no depende de 0 € [0,2r|. 3) Que existe una función F : KR —+E cumpliendo que lim F(p) = 0 y de modo que p>0 fla + pcos0,b+ psin0) — L| 10 Derivadas direccionales, derivadas parciales Plano tangente a una superficie Diferenciabilidad an) € Domf | v= (v1.....0y ) un vector no nulo de R” una función f: RU —E | un punto xq = (81, Do ft) lin Fx0 + tv) — f(20) lim Far 4401, ..., Op +40) — F(01; «o. Ap) Oo 7 a] t nj la base canónica de IR” Sea f:R” —R | Lo = (a 41) € Domf | y C=[fe1.e2 (20 + te¡) (20) : : lim flo + tes) — fro) derivada parcial de f con respecto a +; en el punto xq 0) t tomamos la superficie determinada por la ecuación 2 = f(%,y) es posible obtener el plano tangente a la superficie en un punto (a. b) . of ON 2 (a,b) + —(a,b)-(1 —a)+ abj-(y —b) Fu.) 5) )+(a,b) (y) dx Oy Supongamos que tenemos un función f:iRS y to = (a,,49,...,a,) un punto del interior de Domf. Diremos que f es diferenciable en «y cuando existe una aplicación lineal Fl(a7,...,4n) + (01,22) — F(07, ..., dp) — T(21, .... tn) 0 Y (20) = antes) Ox; lim 21,2 n)=(0,...,0) T= dfíxo) la diferencial sería una aplicación lineal f= (fi fm): RU >R%- dflap) = (dfil20), ... df (20) Propiedad: Si una función gr, pr f: 3s diferenciable en un punto + entonces existe la derivada direccional D,f(wp) , $ ) v= (61,82, ..., Un) de R” Divo Sa. b) = df (a,b) (v1.2) Aia + La, db) -va 2) dx Oy Si todas las derivadas parciales de f en + existen con valor finito entonces sabemos que de ser diferen- ciable f en el punto xy ocurriría que para cualquier vector (17, ...,2,) € se tendría que la diferencial de f en xp sería la función T': R” — ER definida por Extremos relativos Sea f( y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que: e La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(=,y) > f(a,b). e La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(w,y) € f(a,b). Puntos críticos Sea f(x, y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que (a, b) es un punto crítico de f si en dicho punto se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Criterio de las primeras derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Una función definida sobre un abierto sólo puede alcanzar extremos relativos en los puntos críticos, es decir, donde se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Matriz hessiana Dada una función f diferenciable dos veces en el punto (a,b), se llama matriz hessiana de f en (a,b) a la matriz: festa.b) fuy(a,b) ( fuela.b) Fla.) ) Criterio de las segundas derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto (a, b) Hy(a,b) que es crítico (f. (a. b) (a.b) =0). Entonces: e Si |Hg(a,D)| >0 y fir(a,b) >0, f tiene un mínimo relativo en (a,b). e Si|Hy(a.b)|>0 y fuzla.b) <0, f tiene un máximo relativo en (a,b). e Si |Aj(a,b)| <0, f tiene un punto de silla en (a,b). e Si |Hy(a.b)| =0, este criterio no lleva a ninguna conclusión. Extremos absolutos Sea Fl /) una función definida sobre el conjunto R. Se dice que: e La función f alcanza un mínimo absoluto en el punto (a,b) si: f( 0.4) 2 f(a,b), para todo (x.y) € + La función f alcanza un máximo absoluto en el punto (a,b) si: f(w, y) < f(a.b), para todo (». y) € Para la existencia de extremos absolutos se considera el teorema de Weierstrass: toda función continua definida sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Para determinar los extremos absolutos hay que tener en cuenta que se pueden alcanzar tanto en los extremos relativos como en la frontera del dominio de definición. El método de los multiplicadores de Lagrange Tres variables y una o dos ligaduras. Para hallar el extremo absoluto de f(x,y) sometido a las estricciones q, (1, y, 2 =0 y ga(a.y,2) =0, se procede asf: fl Se considera la función F(zx.y, 242) + Agile, 2) + Aogal[x, y, 2) y se resuelve el sistema: Se evalúa f en cada solución del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el máximo y el mínimo de f, respectivamente, condicionados a las ligaduras. 
