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Área de TEXTO SAN MATEO 2002.
CONTENIDO 12. NOCION :. FACTORIZACIÓN
Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 5
¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica?
Cuando realizamos las multiplicaciones :
i) 2x(x^2 – 3x + 2) = 2x^3 – 6x^2 + 4x ii) (x + 7)(x + 5) = x^2 + 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.
Existen varios casos de factorización :
1. FACTOR COMUN MONOMIO :
Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo N 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 ·2x + 6 ·3y - 6 · 4z = 6 (2x + 3y - 4z )
Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a^2 - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a : por lo tanto 5a^2 - 15ab - 10 ac = 5a ·a - 5a ·3b - 5a · 2c = 5a (a - 3b - 2c )
Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x^2 y - 30xy^2 + 12x^2 y^2 El factor común es “ 6xy “ porque 6x^2 y - 30xy^2 + 12x^2 y^2 = 6xy(x - 5y + 2xy )
Realiza tú los siguientes ejercicios :
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EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :
- 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
- 24a - 12ab = 4. 10x - 15x^2 =
- 14m^2 n + 7mn = 6. 4m^2 -20 am =
- 8a^3 - 6a^2 = 8. ax + bx + cx =
- b^4 -b^3 = 10. 4a^3 bx - 4bx =
- 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =
- 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x^4 - 30x^3 + 2x^2 =
- 10x^2 y - 15xy^2 + 25xy = 16. 12m^2 n + 24m^3 n^2 - 36m^4 n^3 =
- 2x^2 + 6x + 8x^3 - 12x^4 = 18. 10p^2 q^3 + 14p^3 q^2 - 18p^4 q^3 - 16p^5 q^4 =
- m^3 n^2 p^4 + m^4 n^3 p^5 - m^6 n^4 p^4 + m^2 n^4 p^3 =
- (^2) xy^2 9
x y 4
- (^2 3) 3 4 ^25 a^4 b^2 16
a b 8
a b 4
a b 2
- (^) a b 25
a b^16 15
ab^8 5
a b^12 35
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x (a + b ) + y ( a + b ) = = ( a + b ) ( x + y )
EJEMPLO N 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a (m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS.
- a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
- x^2 ( p + q ) + y^2 ( p + q ) = 26. ( a^2 + 1 ) - b (a^2 + 1 ) =
- ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
- (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
- (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) = 2. FACTOR COMUN POLINOMIO :
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pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 ) EJEMPLO Nº 2 :
Factorizar x^2 + 4xy - 12y^2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x^2 : x · x
2º Hallar los divisores de 12y^2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir x^2 + 4xy - 12y^2 = ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS :
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
- x^2 + 4x + 3 = 51. a^2 + 7a + 10 =
- b^2 + 8b + 15 = 53. x^2 - x - 2 =
- r^2 - 12r + 27 = 55. s^2 - 14s + 33 =
- h^2 - 27h + 50 = 57. y^2 - 3y - 4 =
- x^2 + 14xy + 24y^2 = 59. m^2 + 19m + 48 =
- x^2 + 5x + 4 = 61. x^2 - 12x + 35 =
EJEMPLO
Factoriza 2x^2 - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -
3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x^2 + 7x + 5 se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 ) y en este caso nos da : 2x^2 - 11x + 5
EJERCICIOS :
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX^2 + BX + C
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- 5x^2 + 11x + 2 = 63. 3a^2 + 10ab + 7b^2 =
- 4x^2 + 7x + 3 = 65. 4h^2 + 5h + 1 =
- 5 + 7b + 2b^2 = 67. 7x^2 - 15x + 2 =
- 5c^2 + 11cd + 2d^2 = 69. 2x^2 + 5x - 12 =
- 6x^2 + 7x - 5 = 71. 6a^2 + 23ab - 4b^2 =
- 3m^2 - 7m - 20 = 73. 8x^2 - 14x + 3 =
- 5x^2 + 3xy - 2y^2 = 75. 7p^2 + 13p - 2 =
- 6a^2 - 5a - 21 = 77. 2x^2 - 17xy + 15y^2 =
- 2a^2 - 13a + 15 = 6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS :
EJEMPLO:
Factorizar 9x^2 - 16y^2 =
Para el primer término 9x^2 se factoriza en 3x · 3x y el segundo término - 16y^2 se factoriza en +4y · -4y luego la factorización de 9x^2 - 16y^2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
EJERCICIOS :
- 9a^2 - 25b^2 = 80. 16x^2 - 100 =
- 4x^2 - 1 = 82. 9p^2 - 40q^2 =
- 36m^2 n^2 - 25 = 84. 49x^2 - 64t^2 =
- 169m^2 - 196 n^2 = 86. 121 x^2 - 144 k^2 =
- (^2) b^2 36
a 25
(^4) y (^4) 16
x 25
- 3x^2 - 12 = 90. 5 - 180f^2 =
- 8y^2 - 18 = 92. 3x^2 - 75y^2 =
- 45m^3 n - 20mn = 94. 2a^5 - 162 a^3 = 7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO :
Ejemplo:
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2. SUMA DE CUBOS : a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2 )
Ejemplo : 27a^3 + 1 = (3a + 1)(9a^2 – 3a + 1)
64 – x^3 = 126. 8a^3 b^3 + 27 =
27m^3 + 6n^6 = 128. x^6 – y^6 =
27
8 8
(^1 ) x = 130. 64
3 1 x =
9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN:
SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
1 Simplificación de monomios :
8 2
4ab
2 5 3
a b 2 ab
2 Simplificación de polinomios :
Ejemplo 1 ^ ^ x 5
x 2 x 5 x 5
x 2 x 5 x 25
x 7 x 10 2
2
Ejemplo 2 ^ ^ 2 x
x 4 2 xx 4
x 4 x 4 2 x 8 x
x 16 2
no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR ....... LUEGO SIMPLIFICAR.
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EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN :
60 ab c
12 ab 35
2 7
- (^) (^2) 2 2
2 3 2 xy 2 x y
xy
a 16
a a 20 2
2
- (^)
x y y
xy 3 y 3 x 9
x 1 2
2
x 7 x 12
x 6 x 8 2
2
- (^)
^
^
x 5 x 14
x 3 x 4 x 9 x 20
x 4 x 21 x 2 x 3
x 7 x 10 2
2 2
2 2
2
- ^ ^
6 x 5 a 6
a 5 6 x 5
36 x 25
a 11 a 30
a 25
36 x 60 x 25
2
2 2
2
10. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS
EJEMPLO : 1
4 x 6
x 9 2 x 3
3 x (^1)
(^) se factoriza el 2º denominador
2 ( 2 x 3 )
x 9 2 x 3
3 x (^1)
(^) / 2(2x-3)
2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3)
6x - 2 - x - 9 = 4x - 6
x = 5
PERO SIGO SIENDO
EL
REEEYY...DE LA
MATEMÁTICA Y DEL CARRETE
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- ¿ De qué número hay que restar 4
5 para obtener la sexta parte de ese número?
- De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los 8
de su
capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las 5
partes.¿Cuál es su
capacidad?
- Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez?
- La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cuocientes es 6. ¿ cuáles son los números?
- Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 5
(^3) del menor con los 6
(^5) del
mayor exceda en 31 al número del medio.
- Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto.
- Jorge tiene 3
(^2) de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene 5
(^3) de lo que tiene Jorge. Si juntos tienen
$ 24.800. ¿ Cuánto tiene cada uno?
- Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los 2
(^5) de la
edad de Karla. Hallar las edades actuales.
- Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $ 25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda.
- Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. ¿ Cuántas nueces tenía Lucho?
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- En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados. ¿ De cuántos soldados se componía la patrulla?
- Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número dado. ¿ Cuál es el número?
- Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $
- faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. ¿ A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran?
- Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el trabajo los dos juntos?
- Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4 horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. ¿ En qué tiempo se llenará el depósito abriendo las tres llaves a la vez?
- Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el doble de la edad de la segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la segunda será 4
de la edad de la primera.
- Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba 4
de la
parte de Luciano más $ 180. y Luis 6
de la parte de Enrique más $ 120. ¿ Cuánto recibe
cada uno?
- En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿ Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 156 personas?
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