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PRODUCTO ESCALAR
u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
/ u^ •^ v = u v ^ cos
PROYECCIÓN
v v
u v proyvu
2
/ v
u v proyv u
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO/ESPACIO
2 2 1
2 2 1
2 d p , q = x 2 − x 1 + y − y +( z − z )
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 M xm ym
PRODUCTO VECTORIAL
u v = u v sen
( u v u v ) i ( u v u v ) j ( u v u v ) k
v v v
u u u
i j k
u v
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
1 2 3
PRODUCTO MIXTO
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u v w v w u v w v w u v w v w
w w w
v v v
u u u
u • v w = = − − − + −
ECUACIONES DE PLANOS
Ecuación vectorial (vector normal):( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) ( n 1 , n 2 , n 3 )= 0
Ecuación vectorial (vectores paral.):( x , y , z ) =( x 0 , y 0 , z 0 ) + 1 ( u 1 , u 2 , u 3 ) + 2 ( v 1 , v 2 , v 3 )
Ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0
Ecuaciones paramétricas:
0 1 3 2 3
0 1 2 2 2
0 1 1 2 1
z z u v
y y u v
x x u v
Ecuación segmentaria: = 1 −
− DA DB CD
x y z
ÁNGULO ENTRE PLANOS
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
1 2 1 2 1 2 cos A B C A B C
A A B B C C
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
2 2 2
1 1 1 1 , A B C
A x B y C z D d P
HAZ DE PLANOS
( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 )= 0
RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuación vectorial:( x , y , z ) =( x 0 , y 0 , z 0 ) + ( u 1 , u 2 , u 3 )
Ecuaciones paramétricas:
0 3
0 2
0 1
z z u
y y u
x x u
Ecuaciones simétricas:
3
0
2
0
1
0
u
z z
u
y y
u
x x −
ÁNGULO ENTRE RECTAS
u v
u v
cos=
ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
2 2 2 2 3
2 2
2 1
1 2 3
u u u A B C
u A u B u C sen
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
u
u PP d P R
(^01) 1 ,
DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS
u v
PP u v d RS
0 1 ,
MATRICES – DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN:
m n mn A B A B
, +
- ( A + B ) + C = A +( B + C )
- A + N = N + A = A
- A +(− A ) =(− A )+ A = N
- A + B = B + A
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR
m n mn A A
.
- ( .) A =( . A )
- ( +) A = A + A
- ( A + B )= A + B
- A = A
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
- ( A. B ) C = A ( B. C )
- A ( B + C )= A. B + A. C
- A. B B. A
- A.B=A.C no se cumple que B=C
- A.B=N no necesariamente A=N v B=N
PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS
t (^) t t A + B = A + B
t (^) t . A = . A
t (^) t t A. B = B. A
t t^ t A + A = A + A
t t^ t A. A = A. A
t t^ t A − A =− A − A
PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSIBLES
- Si una matriz es inversible su inversa es única
- ( )
1 1 1 ,..
− − − A B AB = B A
nn
• ( A ) = A
− 1 −^1
Propiedad: Si el sistema v 1 , v 2 ,, v r incluido en V es generador de V y uno de los vectores que lo forman es C.L. de
los otros, entonces el subsistema que resulta al suprimir ese vector también es generador de V.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
La ecuación 1 v 1 + 2 v 2 + + r vr = 0 tiene siempre solución trivial
▪ Si la trivial es la única solución entonces los vectores son linealmente independientes. ▪ Si además tiene otras soluciones, los vectores son linealmente dependientes.
Observaciones y propiedades:
▪ Todo sistema que contenga al vector nulo es L.D. ▪ Todo sistema con un único vector no nulo es L.I.
▪ El sistema v 1 , v 2 ,, v r es L.D. si y solo si algunos de los vectores del sistema es C.L. de los restantes.
▪ Si un sistema tiene dos vectores no nulos, si uno es múltiplo del otro son L.D.; caso contrario son L.I.
▪ En
2 y
3 dos vectores L.D. son paralelos.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
B = v 1 , v 2 ,, v n es base de V B es S.G. de V ^ B es L.I.
▪ Si se comprueba cualquiera de las dos condiciones ya se puede decir que es base.
Llamamos bases canónicas de
n a por ejemplo:
2 1 , 0 , 0 , 1 en
3 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 en
DIMENSIÓN
▪ Todo espacio vectorial de dimensión finita que no se reduzca al vector nulo admite por lo menos una base. ▪ Si V es un e.v. de dimensión finita, todas sus bases tienen el mismo número n de vectores que se llama
dimensión de V y se nota:dim V = n
▪ Se definedim 0 = 0
▪ dim = dim = dim = + 1
n m n Pn n
n mn
Observaciones: seadim V = n
▪ Todo sistema con más de n vectores de V, son L.D. ▪ Todo sistema con menos de n vectores de V, no generan a V. ▪ Todo sistema de n vectores L.I., forman una base de V. ▪ Todo S.G. de V con n vectores, forman una base de V
Propiedad: Sea dim V = n y sea un conjunto de r vectores (r ▪ Sean S 1 y S 2 subespacios de V, entonces: S 1 (^) S 2 = x V / x S 1 x S 2 es un subespacio de V
denominado subespacio intersección.
Suma:
▪ Sean S 1 y S 2 subespacios de V, entonces (^) S 1 (^) + S 2 = x V / x = x 1 + x 2 conx 1 S 1 x 2 S 2 es un
subespacio de V llamado subespacio suma.
Propiedades:
▪ S 1 S 2 = S S 1 + S 2 = S S 1 S 2 = 0 (suma directa)
▪ dim( S 1 + S 2 ) =dim S 1 +dim S 2 −dim( S 1 S 2 )
CONJUNTO ORTOGONAL Y ORTONORMAL DE VECTORES
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es un conjunto ortogonal si todos los pares de vectores del conjunto
son ortogonales entre si (producto escalar = 0).
Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1 es ortonormal.
Propiedades:
▪ Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos de un espacio vectorial V es un conjunto L.I. ▪ Todo e.v. V que no sea el nulo y que tenga dimensión finita tiene una base ortonormal.
COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO
Sea S subespacio de V:
Se llama complemento ortogonal de S al conjunto formado por todos los vectores de V que son ortogonales a todos
los vectores de S:
S = x V x • y = y S
⊥ / 0
Propiedades:
▪
⊥ S es un subespacio de V
▪ Sidim V = n dim S +dim S =dim V
⊥
▪ S S = V
⊥
ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ
Se llama espacio fila de A al subespacio de
n generado por los vectores fila de A. Se llama espacio columna de A al
subespacio de
n generado por los vectores columna de A.
Se llama rango fila de A a la dimensión de Sf ( A )
Se llama rango columna de A a la dimensión de Sc ( A )
El rango fila y el rango columna de una matriz son iguales. Se llama rango de una matriz a su rango fila y a su rango
columna.
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Sean V y W espacios vectoriales sobre , la función T : V → W es una transformación lineal de V
en W si se verifican los criterios de linealidad.
CRITERIOS DE LINEALIDAD:
▪ T ( x + x ) = T ( ) x + T ( x ) x , x V
▪ T (. x ) =. T ( ) x x V
PROPIEDADES :
Sea T : V → W transformación lineal
▪ T ( 0 V )= 0 W
▪ T (− x ) =− T ( ) x
▪ T ( x − x ) = T ( ) x − T ( x )
NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: Sea T : V → W
Siendo el vector columna
1
21
11
a m
a
a
las coordenadas de T(u 1 ) en la base B 2 , el vector columna
2
22
12
a m
a
a
las coordenadas
de T(u 2 ) en la base B 2 y el vector columna
mn
n
n
a
a
a
2
1
las coordenadas de T(u n ) en la base B 2.
RESUMIDO: (^ )^ (^ ^ (^ )^ ^ (^ )^ ^ (^ ) )
B 1 (^) B 2 1 B 2 2 B 2 n B 2 M T = Tu Tu Tu
OBSERVACIÓN: Sea T : V → Wt. l ./dim V = n dim W = m , B 1 = u 1 , u 2 ,, u n base de V, y B 2 = v 1 , v 2 ,, v m
base de W; entonces:
B 1 (^) B 2 B 1 B 2 M T • x = Tx
ACLARACIÓN : Las bases canónicas se suelen denominar como E y E’.
MATRIZ ASOCIADA A LA TRANSFORMACIÓN LINEAL INVERSA
Sea T : V → V T.L. BIYECTIVA (Los subespacios V no tienen que ser necesariamente iguales, tienen que tener igual
dimensión)
Con V = n T V → V
− dim :
1 T.L.
Sea B 1 base de V y B 2 base de V y sea ( ) ( )
12 21
1 1 B B
mn A MT B B A MT
− − = =
MATRIZ ASOCIADA A LA COMPUESTA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean T 1 (^) : V → W T 2 : U → V T 1 T 2 : U → W T.L.
Condim U = n ,dim V = p ,dim W = m
Sean B 1 base de U, B 2 base de V y B 3 base de W; y sean:
m n BB
pn BB
mp A MT B B B MT MT T A B
= = = (^1 2 )
La composición se puede hacer tanto matricialmente como aplicando T 1 T 2 ( ) x
MATRIZ CAMBIO DE BASE O DE CAMBIO DE COORDENADAS
Considerando la transformación lineal identidad Id : V → V / Id ( ) x = x
Considerando B 1 = u 1 , u 2 ,, u n base de V, y B 2 = v 1 , v 2 ,, v m base de W; entonces:
M ( Id ) B 1 B 2 • x B 1 = Id ( ) x B 2 = xB 2
La matriz asociada a la identidad actúa como matriz cambio de base o matriz cambio de coordenadas de la base B 1 a
la base B 2.
NOTACIÓN : M^ (^ Id ) B 1 B 2 =^ PB 1 → B 2 =^ P
FÓRMULA: PB → B • xB = xB ( P X = X )
1 2 1 2
OBSERVACIÓN: B = B PB → B = In (^1212)
PROPIEDAD: La matriz B 1 B 2
P → es regular y ( )
1 2 2 1
1 1 P PB B PB → B
− →
− = =
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Sea T : V → V endomorfismo
DEFINICIÓN: El vector x V es un autovector o vector propio de T x 0 v / T ( ) x = x. A λ se lo
llama autovalor o valor propio asociado a x.
DEFINICIÓN DE FORMA MATRICIAL : Sea
nn A
El vector
1
n
X es un autovector de A X 0 n 1 / A. X = . X
A λ se lo lama autovalor asociado a X.
PROPIEDAD: autovalordeA A − . I = 0
OBSERVACIÓN:
P ( )= A − . I Polinomio característico cuyas raíces van a ser los autovalores de A
A − . I = (^0) Ecuación característica.
OBSERVACIÓN: Una vez hallados los autovalores al reemplazarlos en el sistema homogéneo A. X = . X que es
compatible indeterminado queda formado un subespacio de
1
n llamado subespacio propio asociado a λ (o
autoespacio):
S X AX X
n /..
1
=^ ^ =^
MATRIZ SEMEJANTE:
Una matriz B de orden n es semejante a una matriz A de orden n si existe una matriz regular P de orden n /
B P. A. P
− 1 =.
Dos matrices semejantes representan el mismo endomorfismo en bases distintas.
PROPIEDAD: B = P AP PB ( ) = P A ( )
−
..
1
DEFINICIÓN : Una matriz A de orden n es diagonalizable tiene n autovectores L.I.
En este caso A es semejante a una matriz diagonal D cuyos elementos en la diagonal son los autovalores de A
mientras que P es una matriz cuyas columnas son respectivamente los n autovectores L.I. de A. ( D P. A. P
− 1 = )
PROPIEDAD: Si los autovalores de A son reales y distintos, los autovectores asociados son L.I.
MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMÉTRICA:
A k se lo llama multiplicidad algebraica y a p se lo llama multiplicidad geométrica.
PROPIEDAD: El subespacio propio asociado a un autovalor λ de multiplicidad k 1 tiene dimensión p k
CONSECUENCIAS DE ESTA PROPIEDAD:
- El subespacio propio asociado a un autovalor simple es de dimensión 1.
- A es diagonalizable k=p para todo autovalor.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS:
PROPIEDADES:
- Si A es una matriz real de orden n simétrica λ son números reales.
- Si A matriz simétrica de orden n A tiene n autovectores ortonormales.
- Una matriz es diagonalizable ortogonalmente es simétrica
ECUACIONES DE TRANSLACIÓN:
0
0
y y y
x x x
ELEMENTOS:
- PARÁMETRO: p
- VÉRTICE: V ( x 0 , y 0 )
• FOCO:
0 ,^0
p F x y
p d y = y −
RECTO: 2. p
ELIPSE
Dados en el plano dos puntos distintos F 1 y F 2 llamados focos y un numero positivo a de modo tal que
d ( F 1 , F 2 ) 2 a , se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a F 1 y
F 2 resulta constante e igual a 2a.
CONDICIÓN IMPORTANTE EN TODAS LAS ELIPSES: a^ =^ b + c cona b
2 2 2
ELIPSE DE EJE PARALELO AL EJE X
ECUACIONES:
2 0 2
2 0 =
b
y y
a
x x Ecuación canónica de la
elipse.
cos
0
0
t y y bsent
x x a t Posible ecuación
paramétrica.
- z − F 1 + z − F 2 = 2 a expresión compleja de una
elipse
ELEMENTOS:
- CENTRO: C ( (^) x 0 , y 0 )
- EJE FOCAL: y = y 0
- FOCOS:
F 1 ( xo + c , y 0 ) F 2 ( x 0 − c , y 0 )
V 1 (^ x 0 + a , y 0 )^ V 2 (^ x 0 − a , y 0 )
- INTERSECCIONES CON EL EJE
x = x 0 :
B 1 ( x 0 , y 0 + b ) B 2 ( x 0 , y 0 − b )
- EJE MAYOR: 2 a
- EJE MENOR: 2 b
c e =
<1 en elipses
a
b
2 2
ELIPSE DE EJE PARALELO AL EJE Y:
ECUACIONES:
2 0 2
2 0 =
a
y y
b
x x Ecuación canónica
de la elipse.
0
t y y a t
x x bsent Posible ecuación
paramétrica.
- z^ − F 1 + z − F 2 =^2 a expresión compleja de
una elipse
ELEMENTOS:
- CENTRO: C ( x 0 , y 0 )
- EJE FOCAL: x = x 0
- FOCOS:
F 1 ( xo , y 0 + c ) F 2 ( x 0 , y 0 − c )
V 1 (^ x 0 , y 0 + a )^ V 2 (^ x 0 , y 0 − a )
- INTERSECCIONES CON EL EJE
y = y 0 :
B 1 ( x 0 + b , y 0 ) B 2 ( x 0 − b , y 0 )
- EJE MAYOR: 2 a
- EJE MENOR: 2 b
c e =
< 1 en elipses
a
b
2 2
HIPÉRBOLA
Dados en el plano dos puntos distintos F 1 y F 2 llamados focos y un número real positivo a tal que d ( F 1 , F 2 ) 2 a , se
llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a F 1 y F 2 resulta
constante e igual a 2a.
CONDICIÓN IMPORTANTE EN TODAS LAS HIPÉRBOLAS:
c = a + b conc a c b
2 2 2
HIPÉRBOLA DE EJE PARALELO AL EJE X
ECUACIONES:
2
2 0 2
2 0 =
b
y y
a
x x Ecuación canónica de
la hipérbola.
^ 2 32
0
0 0 2 tan
sec
t t t y y b t
x x a t
Posible ecuación paramétrica.
- z − F 1 − z − F 2 = 2 a expresión compleja de
una hipérbola
ELEMENTOS:
- CENTRO: C ( (^) x 0 , y 0 )
- EJE FOCAL: y = y 0
- FOCOS:
F 1 ( xo + c , y 0 ) F 2 ( x 0 − c , y 0 )
V 1 ( x 0 + a , y 0 ) V 2 ( x 0 − a , y 0 )
b y =
- EJE REAL: 2 a
- EJE CONJUGADO: 2 b
c e =
>1 en hipérbolas
a
b
2 2
HIPÉRBOLA DE EJE PARALELO AL EJE Y
ECUACIONES:
2
2 0 2
2 0 =
b
x x
a
y y Ecuación canónica de la
hipérbola.
0 0 2 sec
tan
t t t y y a t
x x b t
Posible ecuación paramétrica.
- z − F 1 − z − F 2 = 2 a expresión compleja de una
hipérbola
CILINDRO ELÍPTICO (CIRCULAR) RECTO: CILINDRO HIPERBÓLICO RECTO:
2
2
2
y
a
x 2 1
2
2
2 − = b
y
a
x
SUPERFICIE CÓNICA RECTA:
2
2
2
2
2
z
b
y
a
x
CUÁDRICAS SIN CENTRO ( Mx + Ny = Sz )
2 2
PARABOLOIDE ELÍPTICO: PARABOLOIDE HIPERBÓLICO:
cz b
y
a
x
2
2
2 cz a
x
b
y − 2 =
2
2
2
CILINDRO PARABÓLICO RECTO:
x = cy
2
CURVAS EN EL ESPACIO
(^ )
Gx y z
F x y z C
La curva C está dada como intersección de dos superficies distintas F y G que contienen más de un punto en común.
La curva C es curva plana si todos sus puntos están en un mismo plano. Es una curva alabeada en caso contrario.
APLICACIONES DE DIAGONALIZACIÓN
POTENCIAS DE UNA MATRIZ A DIAGONALIZABLE (de orden n)
1
..
− A = PD P
K K Siendo
K n
K
K
K D
2
1
ROTOTRANSLACIÓN DE CÓNICAS
Aplicando el proceso de diagonalización, se identifica una cónica dada mediante su ecuación de 2° grado en dos
variables de la forma:
^0
2 2
FORMACUADRATICA TERMINOSLINEALES TERMINOSINDEPENDIENTES
Ax Bxy Cy Dx Ey F
Se debe diagonalizar ortogonalmente la matriz obtenida
FORMULA DE LA ROTOTRANSLACIÓN:
( ) ( ) F
y
x D E y
x
B C
A B
x y = +
Sabiendo que ( ) ( )
t
TRANSPONIENDO
x y x y P y
x P y
x =
Y como P es ortogonal:
t P = P
− 1
Se reemplaza en la formula del principio y se reemplaza P AP = D
−
..
1
La matriz P tiene que ser ortogonal propia
