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OPERACIONES ALGEBRAICAS
SUMA
REGLA GENERAL PARA SUMAR
PARA SUMAR DOS O MAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS SE ESCRIBEN UNAS A CONTINUACION DE
OTRAS CON SUS PROPIOS SIGNOS Y SE REDUCEN LOS TERMINOS SEMEJANTES SI LOS HAY.
EJEMPLO:
SUMAR 3x^2 -4xy+y^2 , -5xy+6x^2 -3y^2 y -6y^2 -8xy-9x^2 3x^2 - 4xy + y^2 6x^2 -5xy -3y^2 -9x^2 - 8xy - 6y^2 -17xy -8y^2 SI LOS POLINOMIOS QUE SE SUMAN PUEDEN ORDENARSE CON RELACION A UNA LETRA, DEBEN ORDENARSE TODOS CON RELACION A UNA MISMA LETRA ANTES DE SUMAR. SUMAR. -x^2 +x -6, x^3 -7x^2 + -x^3 +8x - -8x^2 +x - +x^3 +xy^2 +y^3 ; +x^3 -5x^2 y -y^3 ; -2x^3 -4xy^2 -5y^3 (^0) -5x (^2) y -3xy (^2) -5y 3
RESTA
REGLA GENERAL PARA RESTAR
SE ESCRIBE EL MINUENDO CON SUS PROPIOS SIGNOS Y A CONTINUACION EL SUSTRAENDO CON
LOS SIGNOS CAMBIADOS Y SE REDUCEN LOS TERMINOS SEMEJANTES SI LOS HAY.
RESTA DE POLINOMIOS
CUANDO EL SUSTRAENDO ES UN POLINOMIO, HAY QUE RESTAR DEL MINUENDO CADA UNO DE
LOS TERMINOS DEL SUSTRAENDO, ASI QUE A CONTINUACION DEL MINUENDO ESCRIBIREMOS EL
SUSTRAENDO CAMBIANDOLE EL SIGNO A TODOS SUS TERMINOS.
EJEMPLO: DE 4X-3Y+Z RESTAR 2X+5Z-
LA SUSTRACCION SE INDICA INCLUYENDO EL SUSTRAENDO EN UN PARENTESIS PRECEDIDO DEL
SIGNO - , ASI:
4x -3y +z – (2x+5z-6) AHORA DEJAMOS EL MINUENDO CON SUS PROPIOS SIGNOS Y A CONTINUACION ESCRIBIMOS EL SUSTRAENDO CAMBIANDOLE EL SIGNO A TODOS SUS TERMINOS Y TENDREMOS: 4x-3y+z-2x-5z+ REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES, TENDREMOS: 4x-2x=2x -5z+z=-4z 2x-3y-4z+ SUELE ESCRIBIRSE EL SUSTRAENDO CON SUS SIGNOS CAMBIADOS DEBAJO DEL MINUENDO, DE MODO QUE LOS TERMINOS SEMEJANTES QUEDEN EN LA COLUMNA Y SE HACE LA REDUCCION DE ESTOS, SEPARADOS UNOS DE OTROS CON SUS PROPIOS SIGNOS. ASI LA RESTA SE VERIFICA DE ESTA MANERA: 4x -3y +z -2x -5z + -2x -3y -4z + RESTAR -4 a^5 b-ab^5 +6 a^3 b^3 -a^2 b^4 -3b^6 de 8 a^4 b^2 +a^6 -4 a^2 b^4 +6ab^5 AL ESCRIBIR EL SUSTRAENDO, CON SUS SIGNOS CAMBIADOS, DEBAJO DEL MINUENDO, DEBEN ORDENARSE AMBOS CON RELACION A UNA MISMA LETRA. EN ESTE CASO, ORDENANDO EN ORDEN DESCENDENTE CON RELACION A LA LETRA a TENDREMOS: a^6 +8 a^4 b^2 -4 a^2 b^4 +6 ab^5 +4 a^5 b -6 a^3 b^3 + a^2 b^4 + ab^5 +3b^6 a^6 +4 a^5 b +8 a^4 b^2 -6 a^3 b^3 -3 a^2 b^4 +7 ab^5 +3b^6 EJERCICIOS:
x^3 -4x^2 y +5y^3 -x^3 -x^2 y +3xy^2 -15y^3 0 -5x^2 y +3xy^2 -10y^3 DE LA SUMA DE x^3 +4x^2 -6 y -5x^2 -11x+5 RESTAR x^4 - x^3 +4x^2 - -5x^2 -11x + X^3 -x^2 -11x -
- x^4 + -x^4 +x^3 -x^2 -11x 0 SIGNOS DE AGRUPACION LOS SIGNOS DE AGRUPACION O PARENTESIS SON DE CUATRO CLASES: EL PARENTESIS ORDINARIO ( ), EL PARENTESIS ANGULAR O CORCHETE [ ], LAS LLAVES { }, Y EL VINCULO O BARRA LOS SIGNOS DE AGRUPACION SE EMPLEAN PARA INDICAR QUE LAS CANTIDADES ENCERRADAS EN ELLOS DEBEN CONSIDERARSE COMO UN TODO, O SEA, COMO UNA SOLA CANTIDAD. SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION. REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR LOS SIGNOS DE AGRUPACION. 1)PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION PRECEDIDOS DEL SIGNO + SE DEJA EL MISMO SIGNO QUE TENGA CADA UNA DE LAS CANTIDADES QUE SE HALLAN DENTRO DE EL. 2)PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION PRECEDIDOS DEL SIGNO – SE CAMBIA EL SIGNO A CADA UNA DE LAS CANTIDADES QUE SE HALLAN DENTRO DE EL. EJEMPLO: 1)SUPRIMIR LOS SIGNOS DE AGRUPACION EN LA EXPRESION: a + (b – c) + 2 a – (a + b) ESTA EXPRESION EQUIVALE A: +a + (+b-c)+2 a – (+a+b) COMO EL PRIMER PARENTESIS VA PRECEDIDO DEL SIGNO + LO SUPRIMIMOS DEJANDO A LAS CANTIDADES QUE SE HALLAN DENTRO CON SU PROPIO SIGNO Y COMO EL SEGUNDO PARENTESIS VA PRECEDIDO DEL SIGNO – LO SUPRIMIMOS CAMBIANDO EL SIGNO A LAS CANTIDADES QUE SE HALLAN DENTRO Y TENDREMOS: a + (b-c)+2 a-(a+b)= a+b-c+2 a-a-b= 2 a-c
MULTIPLICACION LA MULTIPLICACION ES UNA OPERACIÓN QUE TIENE POR OBJETO, DADAS DOS CANTIDADES LLAMADAS MULTIPLICANDO Y MULTIPLICADOR, HALLAR UNA TERCERA CANTIDAD, LLAMADA PRODUCTO. EL MULTIPLICANDO Y MULTIPLICADOR SON LLAMADOS FACTORES DEL PRODUCTO. EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO. ESTA PROPIEDAD, DEMOSTRADA EN ARITMETICA SE CUMPLE TAMBIEN EN ALGEBRA. LOS FACTORES DE UN PRODUCTO PUEDEN AGRUPARSE DE CUALQUIER MODO. LEY DE LOS EXPONENTES PARA MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE ESCRIBE LA MISMA BASE Y SE LE PONE POR EXPONENTE LA SUMA DE LOS EXPONENTES DE LOS FACTORES. LEY DE LOS COEFICIENTES EL COEFICIENTE DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES ES EL PRODUCTO DE LOS COEFICIENTES DE LOS FACTORES CASOS DE LA MULTIPLICACION 1)MULTIPLICACION DE MONOMIOS REGLA. SE MULTIPLICAN LOS COEFICIENTES Y A CONTINUACION DE ESTE PRODUCTO SE ESCRIBEN LAS LETRAS DE LOS FACTORES EN ORDEN ALFABETICO, PONIENDOLE A CADA LETRA UN EXPONENTE IGUAL A LA SUMA DE LOS EXPONENTES QUE TENGA EN LOS FACTORES. EL SIGNO DEL PRODUCTO VENDRA DADO POR LA LEY DE LOS SIGNOS. 2 a^2 x 3 a^3 = 2 x3 a2+3= 6 a^5 2)MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS REGLA. SE MULTIPLICA EL MONOMIO POR CADA UNO DE LOS TERMINOS DEL POLINOMIO, TENIENDO EN CUENTA EN CADA CASO LA REGLA DE LOS SIGNOS, Y SE SEPARAN LOS PRODUCTOS PARCIALES CON SUS PROPIOS SIGNOS. MULTIPLICAR: 3x^2 -6x + 7 4 ax^2 12 ax^4 -24x^3 +28 ax^2 a 3 x -4 a^2 x^2 + 5 ax^3 -x^4 -2 a^2 x -2 a^5 x^2 +8 a^4 x^3 -10 a^3 x^4 +2 a^2 x^5 X^2 -4x+ -2x -2x^3 +8x^2 -6xL
8n -9m 4n +6m 8n(4n)-9m(4n) +6m(8n) + 6m(-9m) 32n^2 -36mn +48mn -54m^2 32n^2 +12mn 54m^2 DIVISION LEY DE LOS EXPONENTES PARA DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE DEJA LA MISMA BASE Y SE LE PONE DE EXPONENTE LA DIFERENCIA ENTRE EL EXPONENTE DEL DIVIDENDO Y EL EXPONENTE DEL DIVISOR. 1) DIVISION DE MONOMIOS REGLA. SE DIVIDE EL COEFICIENTE DEL DIVIDENDO ENTRE EL COEFICIENTE DEL DIVISOR Y A CONTINUACION SE ESCRIBEN EN ORDEN ALFABETICO LAS LETRAS, PONIENDOLE A CADA LETRA UN EXPONENTE IGUAL A LA DIFERENCIA ENTRE EL EXPONENTE QUE TIENE EN EL DIVIDENDO Y EL EXPONENTE QUE TIENE EN EL DIVISOR. EL SIGNO LO DA LA LEY DE LOS SIGNOS. EJEMPLO: DIVIDIR 4 a^3 b^2 entre – 2 ab 4 a^3 b^2 = – 2 a^2 b
- 2 ab DIVIDIR: -5 a^4 b^2 c entre -a^2 b -5 a^4 b^2 c = +5 a^2 bc -a^2 b DIVIDIR: -20 mx^2 y^3 entre 4y^3 -20 mx^2 y^3 =-5mx^2 4y^3 REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO SE DIVIDE CADA UNO DE LOS TERMINOS DEL POLINOMIO ENTRE EL MONOMIO SEPARANDO LOS COCIENTES PARCIALES CON SUS PROPIOS SIGNOS. DIVIDIR: 3 a^3 – 6 a^2 b + 9 ab^2 entre 3 a 3 a^3 – 6 a^2 b + 9 ab^2 = 3 a^3 – 6 a^2 b + 9 ab^2 = a^2 – 2ab +3 b^2 3a 3 a 3 a 3 a DIVIDIR: a) a 2 -ab entre a
a 2 -ab = a - b a a b) 3 a^3 -5ab^2 -6 a^2 b^3 = -2 a -2 a -2a
