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…Soy Fleming soy ganador, soy ganador soy Fleming… (^) 1
DIVISIÓN
TEOREMA DEL RESTO
DIVISIBILIDAD
PROPIEDADES GENERALES DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS
a) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
b) El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su máximo grado es una unidad menor que el grado del divisor (a excepción de los polinomios homogéneos)
MÉTODO DE HORNER.
Así:
Ejemplo #
Dividir: x^32 x^23 x 4
2 x^65 x^510 x^42 x^310 x^210 x 3
Solución:
Q^0 = D^0 – d°
Rmáx = d^0 – 1
2 Alexander Fleming… insuperables en tu preparación…
- Hallar el residuo de la división.
a) x^2 + 1 b) 4x – 6 c) - d) - e) 4x
- En la siguiente división exacta
.
Calcular:
a) 2 b) 1/ c) 3 d) 1/ e) 1
- Luego de dividir:
se obtiene un cociente de forma: y un residuo idéntico a: ax + e – 1. Calcular: ad + bc – - e a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) – 1
- Encontrar el valor de "m + n + p" si la división:
Es exacta. a) 22 b) 18 c) 17 d) 25 e) 28
- Si la siguiente división: (^4) 2 3 2 2 2
ABx A B x Bx A B x A Ax Bx A
Da por resto: R(X) = Ax + B. Determinar:
A 1
B
a) – 2 b) 4 c) – 3 d) 3 e) 5
- Calcular “m + n” si la división deja como resto (2x + 3). 4 3 2 2
x mx nx 18x 12
x 4x 3
a) 4 b) 3 c) 5 d) 1 e) 2
- Calcular “a + b” si la división 4 3 2 2
x 3x 5x ax b
x x 1
Deja por residuo: 7x – 8 a) 1 b) - c) 4 d) - e) 3
- división:
5 4 3 2 3
x x (a 3)x (b 3)x (c 2)x 2
x 3x 2
Es exacta; calcular: “a + b + c” a) 5 b) 7 c) 4 d) 6 e) 8
4 3 2 2
x x x x
x x
4 3 2 2
Ax Bx x x
x x
A^1
B
5 4 3 2 2
x x x x x x x
ax^3 bx^2 cx d
5 4 3 2 3 2
x x x mx nx p x x x
4 Alexander Fleming… insuperables en tu preparación…
MÉTODO DE RUFFINI
Este método es un caso particular de la división por “HORNER” se emplea para divisores binomios de primer grado de la forma:
O transformables a primer grado.
PROCEDIMIENTO:
- Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a éste paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico. Así:
- El primer término del cociente es igual al primer término del dividendo.
- Luego éste valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo del dividendo, se reduce y se obtiene el segundo término del cociente.
- Se produce como en paso III, hasta llegar al último término del dividendo, al reducir obtenemos el resto de la división el cual siempre será un valor numérico.
Para un buen entendimiento de éste método lo dividiremos en dos casos.
PRIMER CASO
Cuando el primer coeficiente del divisor es igual a la unidad, divisor de la forma (x B)
Gráficamente.
Ejemplo: Dividir: x^3 – 2x^2 + x – 5 entre x – 2
Solución Como el divisor es de primer grado aplicaremos el método de “Ruffini”.
I) Divisor = 0 x – 2 = 0
II) Llevando a la gráfica de Ruffini:
Q(x) = x^2 + 1 R(x) = – 3
SEGUNDO CASO:
; [a 1]
- Cuando el primer coeficiente del divisor es diferente de la unidad, divisor de la forma ax b.
P(x) ax b P
(x) ^ ax^ ^ b
[ ax b ] ; a 0
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Por lo tanto deducimos que:
Ejemplo #
Dividir:
Solución:
- Llevando a la gráfica de Ruffini:
Q(x) = 4x^5 + 2x^4 – 5x^3 + 3x^2 + 2x + 1 R(x) = – 5
- Hallar el residuo la división: Sabiendo que su cociente toma el valor numérico de 2 para x = 1. a) – 4 b) – 2 c) 0 d) 2 e) 4
- Hallar el resto, al dividir:
a) 1 b) 2 c) 3 d) – 2 e) – 1
- Calcular “m” si la división es exacta:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
- Indicar la suma de coeficiente del cociente del problema anterior. a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 16
- efectuar división: Hallar el resto: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12x^6 2x^5 19x 4 19x^3 x 7 3x 2
x x mx
x
x x m m x m
x m
x x mx x
3 2 5 2 3^3 2 3^3
3 2
x x x x
Q(x) = R(x) = Resto
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TEOREMA DEL RESTO
(Renne Descartes)
Finalidad El teorema de Descartes o del resto se utiliza con la finalidad de hallar el residuo en una división, sin efectuar la operación.
LEMA O ENUNCIADO DE DESCARTES El resto de dividir un polinomio racional y entero P(x) entre un divisor binomio de la forma: (ax b) o
cualquier otra expresión transformable a ésta se obtiene al calcular el valor numérico de:
RECOMENDACIONES PARA HALLAR EL RESTO EN UNA DIVISIÓN UTILIZANDO EL TEOREMA DEL
RESTO
a) Igualar el divisor a cero. b) Calcular un valor para “x” c) El valor de “x” se reemplaza en el dividendo y el valor obtenido es el de la división.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA La Divisibilidad algebraica tiene por objetivo determinar polinomios que no se conocen y calcular restos en divisiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente. Para estudiar la divisibilidad algebraica, necesitaremos conocer los siguientes teoremas o principios fundamentales:
- Si un polinomio D(x) es divisible entre otro polinomio d(x), entonces existe otro polinomio Q(x) tal que:
Cuando dos polinomios son divisibles, entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0
- Sí, P(x) es divisible entre (x – a), entonces: P(A) = 0 si, P(x) es divisible entre (x + b), entonces: P(–b) = 0
- Sí, P(x) es divisible independiente por (x a), (x b) y (x c), entonces P(x)
Es divisible por el producto: (x a)(x b)(x c) Es decir: Sí: P(x) (x a) r = 0 P(x) (x b) r = 0 P(x) (x c) r = 0
Entonces: r^ ^0
P b a
(^)
D(x) = d(x).Q(x)
P(x) (x a)( x b)( x c)
8 Alexander Fleming… insuperables en tu preparación…
Nota:
También se cumple el proceso inverso, o sea si un polinomio P(x) es divisible por el producto (x a) (x b) (x c) entonces, P(x) es divisible por cada uno de sus factores.
- Sí al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arrojará como resto dicho resto común.
Así: Sea P(x) un polinomio cualquiera y:
P(x) (x + a) r = R
P(x) (x + b) r = R
P(x) (x + c) r = R
Entonces: r = R
1. Hallar el resto en^ ^ ^
x x
x
a) 7 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
- Hallar el resto:
x x x x a) 1 b) 2 c) – 2 d) – 1 e) 4
- Hallar el resto de dividir
( 2) ( 3) ( 1)^2 ( 4)
x n^ x n x x
x x
a) x + 1 b) 2x – 1 c) 3 d) 4 e) 5
- Hallar el resto en:
x x
x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
- Hallar el resto en 10 7 6 4 3 3
x x x x x x x
a) 11x+ b) 11x+ c) 11x+ d) 10x+ e) 11x+
- Calcular el valor de “a” en la división si el residuo es 7. 2 1999 2 2000 2
x x x x a
x x
a) 9 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8
- Hallar el resto de:
6 2
x^ n x n x
x x
a) 3 b) 6 c) 9 d) – 3 e) – 9
P(x) (x + a)( x + b)( x + c)
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COCIENTES NOTABLES
DEFINICIÓN
Se denomina C.N., a ciertos cocientes de tal forma que sin efectuar la división se puede escribir su desarrollo. Es el cociente que se obtiene de divisiones exactas entre binomios de la forma:
CONDICIONES:
Resto = 0
n entero y positivo
CASOS DE COCIENTES NOTABLES
1er. caso:
; Donde “n” es par o impar
2do. caso:
; Donde “n” es impar
Los signos se intercalan (+ , – )
3er. caso:
; Donde “n” es par
Los signos se intercalan (+ , – )
4to. Caso:
PROPIEDADES
Si:
Origina un cociente notable entonces se cumple:
Fórmula del término general:
Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. Se representa por: tk que leeremos como término de lugar “k”.
Para el caso:
Tendremos:
Para el caso:
ó
Tendremos:
Regla para el signo:
Cuando el divisor es de la forma (x – a) el signo de cualquier término es positivo.
Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.
xn an x a
xn an x a
xn an (^) n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 x x a x a xa a x a
(^) (^) (^) (^) (^)
xn an x a
xn an (^) n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 x x a x a xa a x a
(^) (^) (^) (^) (^)
xn an x a
xn an (^) n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 x x a x a xa a x a
(^) (^) (^) (^) (^)
x n^ an x a
m n p q
x a x a
m n (^) Número de términos p q
xn an x a
t (^) k x n k ^^ ak^ ^1
xn an x a
x n^ an x a
t (^) k ( 1) k ^1^^ xn k ^^ ak^ ^1
“n” es par o impar No es cociente notable
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- Hallar el valor de “m” si la siguiente expresión es
un C.N.: 3 5
m 16 65 x a
x a
A) 20
B) 13
C) 23
D) 16
E) 19
- Hallar el número de términos del siguiente C.N.:
x y
x a^4 y^2 a^1
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
E) 3
- Si la expresión es un C.N.
m 1 m 3
2 ( 4 m 1 ) 5 m x y
x y
; hallar el valor de “m”.
A) 3
B) 5
C) 6
D) 4
E) 7
- Si el siguiente cociente: 2
n 8 2
n 6 x a
x 6 n^3 a^6 n^22
es notable, calcular el valor de “n”. A) 24 B) 12 C) 16 D) 18 E) N.A.
- Del ejercicio anterior hallar el número de términos. A) 15 B) 25 C) 24 D) 16 E) N.A.
- Determinar el número de términos del siguiente
C.N. n 5 n 4
n 1 n 4 x y
x y
A) 8
B) 5
C) 4
D) 6
E) 3
- Del siguiente cociente: 3 p
p 432 x y
x y
; es notable.
Hallar el número de términos. A) 36 B) 20 C) 16 D) 12 E) 8
- El número de términos del siguiente C.N.:
3 5
m n x y
x y
; es 8, hallar el 5to término.
A) x^20 y^9 B) x^9 y^20 C) x^12 y^20 D) x^18 y^8 E) x^8 y^18
- Calcular el tercer término del siguiente C.N.:
x 2
x^664
A) 2x^4 B) 4x^3 C) 8x^2 D) 8x^3 E) 16x
- Hallar el 7mo término del desarrollo del
siguiente C.N.: 3 2
36 24
x a
x a
A) x^18 a^15 B) x^15 a^12 C) x^12 a^15 D) x^18 a^12 E) N.A.
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- Calcular “m + n” sabiendo que t 12 del siguiente
C.N.: 2 3
m n x y
x y
, es x^2 y^33
A) 56 B) 65 C) 76 D) 84 E) N.A.
- Hallar el término de lugar 4 del desarrollo del siguiente C.N.
x 2 a 2 ax
(x a) a 2 2
14 14
A) – a^7 (x+a)^6
B) a^6 (x+a)^6
C) – a^6 (x+a)^6
D) – a^7 (x+a)^7
E) a^7 (x+a)^6
- Hallar el valor numérico del término de lugar 29; para x = – 1 del desarrollo del siguiente C.N.:
2 x 3
(x 3 )^36 x^36
A) 28 B) 128 C) 64 D) 32 E) 256
- Hallar el número de términos que tiene el siguiente C.N.
2 n 9 2 n 5
5 m 10 5 m 50
x y
x y
A) 12
B) 15
C) 13
D) 10
E) 20
CLAVES:
1. C 2. D 3. C 4. B 5. B
6. B 7. D 8. B 9. B 10. B
11. A 12. D 13 C 14. B 15. B
16. B 17. D 18. A 19. C 20. B
21. C 22. B 23. B
FACTORIZACIÓN
Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.
FACTOR ALGEBRAICO
Un polinomio “F” no constante será factor algebraico de “P” si y sólo si “P” es divisible por “F.
FACTOR PRIMO
Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.
Ejemplos:
P(x) = (x + 2)^3 (x + 1)^2 (x + 5)^6 Son factores primos de P(x):
P(x) = (x) (x + 2)^6 (x – 1)^2 Son factores primos de P(x):
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
FACTOR COMUN y AGRUPAMIENTO
Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.
- a^4 b^4 c^3 + a^3 b^5 c^3 + a^2 b^5 c^4 + a^3 b^4 c^4
- ax + by +cz + bx +cy +az +cx + ay +bz
- mn+p^ + mnnp^ + nmmp^ + nm+p
- a^3 + 2a^2 b + 4ab^2 + 8b^3
- ac – bc + ad – bd – acd + bcd
14 Alexander Fleming… insuperables en tu preparación…
- x^3 +y^3 + z^3 +x^2 y +x^2 z +y^2 x +y^2 z +z^2 x +z^2 y
- 1 + ab + bc + ac + abc(a+b+c+abc)
IDENTIDADES
Consiste en utilizar los productos notables
- (x+1)^2 – (y – 2)^2
- (a – b) (a^2 – c^2 ) – (a – c)(a^2 – b^2 )
- (ax – 3b)^2 – (bx – 3a)^2
- 4x^2 y^2 – (x^2 +y^2 – z^2 )^2
- m^3 + m^2 + m – 3
- x^6 – x^2 – 8x – 16
- m^2 – 4p^2 + 4mn + 4n^2
ASPA SIMPLE
Forma general de polinomio a factorizar:
P(x,y) = Ax2n^ + Bxn^ ym^ + Cy2m m, n N P(x) = Ax2n^ + Bxn^ + C
- x^2 + 14x + 40
- 8x^2 – 22x + 15
- 20x^4 + 31x^2 – 9
- 8x^6 – 215x^3 y^3 – 27y^6
- abx^2 + (a^2 +b^2 )x + ab
- 12(x – y)^2 + 7(x – y) – 12
- (x+1)^4 – 5(x+1)^2 + 4
- Factorizar: 8x^2 y^3 – 12x^3 y^4 + 20x^2 y^8 ; e indicar el número de factores en total. A) 24 B) 23 C) 21 D) 19 E) N.A.
- Factorizar: Z = ac + bc + ay + by + a + b A) (a + b) (c + y) B) (a + b) (c + y + 1) C) (a + b) (c + y – 1) D) (a – b) (c + y + 1) E) (a – b) (c + y – 1)
- Factorizar: 4a^2 x^4 – z^2 A) (2x^2 + z) (2ax^2 – z) B) (2ax^2 + z) (2x^2 – z) C) (2ax + z) (2ax – z) D) (2ax^2 + z) (2ax^2 – z) E) (2ax^2 + z) (2ax^2 – z^2 )
- Factorizar: (2x – 3)^2 – (x – 5)^2 A) (4x – 5) (2x + 1) B) (3x – 8) (x + 2) C) (x + 7) (x + 2) D) (3x + 5) (x – 2) E) N.A.
- Factorizar: 4x^2 – (x + y)^2 ; e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes A) 3x – y B) 3x + y C) 4x – y D) 5x + y E) x + y
16 Alexander Fleming… insuperables en tu preparación…
- Factorizar: x2m+n^ – 9xm+n^ + 14xn^ ; indicar el factor de mayor suma de coeficientes.
A) xn
B) xm^ – 2
C) xm^ – 7
D) xm^ + 2
E) N.A.
- Factorizar: mn + pq + n + mq + pn + q A) (n + q) (p + n) ) B) (n + q) (q + n) (m + n) C) (q + n) (m + p + 1) D) (q + n) (m – p – 1 E) N.A.
- Indicar el número de factores trinomios luego de factorizar:
(x + 2)^2 (x + 1) (x + 3) – 5x(x + 4) – 27 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3
- Factorizar e indicar el número de factores binomios
(x + 3) (x – 1) (x + 4) (x – 2) – x^2 – 2x + 8 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
- Factorizar: 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3)
A) (x^2 – 3x + 1)^2
B) (x^2 + 3x – 1)^2
C) (x^2 + 3x – 1)^2
D) (x^2 + 3x + 1)^2
E) N.A.
- Factorizar: x4a^ + 8x2a^ + 15 A) (x2a^ + 9) (x2a^ + 6) B) (x2a^ – 8) (x2a^ – 7) C) (x2a^ + 5) (x2a^ + 3) D) (x2a^ – 5) (x2a^ – 3) E) N.A.
- Factorizar: xp+2q^ + 7xp+q^ + 10xp A) xp^ (xp^ + 2) (xq^ + 5) B) xp^ (xq^ + 2) (xq^ + 5) C) xp^ (xq^ + 2) (xp^ + 5) D) (xq^ + 2) (xq^ + 5) E) (xp+q^ + 2) (xp+q^ + 5)
- Factorizar: (m + n)^2 – 2(m + n) (p + q) + (p + q)^2 A) (m + n + p + q)^2 B) (m – n + p – q)^2 C) (m + n – p – q)^2 D) (m + n – p + q)^2 E) (m + n + p – q)^2
CLAVES:
1. B 2. B 3. D 4. B 5. B
6. A 7. C 8. E 9. D 10. C
11. C 12. A 13. A 14. C 15. D
16. B 17. B 18. A 19. C 20. C
21. C 22. D 23. C 24. B 25. C
