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PROCESO DE ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ OBJETIVO: Transformar A € Minyn (3) no nula en una matriz de la forma Erre | O E A O 20 APLICACIONES: e cálculo del rango de una. matriz; e cálculo de la inversa. de una matriz cuadrada no singular; + cálculo del valor del determinante de una matriz cuadrada; e resolución de sistemas de ecuaciones lineales. PROCESO: Para obtener la forma escalonada de una matriz se deberá producir entradas nulas por debajo de la primera entrada no nula de cada fila no nula de la matriz 4. mediante operaciones elementales. Para llegar a la forma escalonada reducida de la matriz se partirá de la forma escalonada y se tendrá que producir ceros por encima de la primera entrada no nula de cada fila no nula. Además, la primera entrada no nula de cada fila no nula deberá ser convertida en 1. Utilizaremos las siguientes operaciones elementales: e Operaciones elementales de tipo Il, para llevar una entrada de la matriz al emplazamiento requerido e Operaciones elementales de tipo 11. para convertir en 1 la entrada aj; 40. + Operaciones elementales de tipo TT, para producir ceros. Finalmente, si se pretende hallar una matriz cuyas entradas sean 1 y 0, donde los unos aparecen en posiciones diagonales, entonces sobre la forma escalonada reducida se deberá producir ceros a la derecha de Ja primera entrada no mula de cada fila no nula y llevar a posiciones diagonales las entradas no nulas. (1) Procedimiento b Supongamos que tenemos una matriz columna XA = - con 71 40, Para Em producir ceros por debajo de +, realizamos el siguiente proces Ti E] 21 X1 Pa 0 0 0 La = ol: E (e - 24) L3 - o |. : z ES] : : Ca Tm Lor Em ook O equivalentemente, E (on - 0) E (on == 22) E (6 Y : E Denotaremos con M a la matriz E (tna - 0) E (tu == pa EN Multiplicando estas matrices elementales de tipo TIT comprobamos que Af cs una matriz de la forma: 1 0.00 0 mo 0... 1 ti Consideremos ahora una matriz A € Muxn (E) no nula. Supongamos que Á es una matriz tal que 411 % 0. Para conseguir ceros debajo de la entrada no nula (1.1) deberemos utilizar operaciones elementales de tipo III sobre filas como en el caso de la matriz X o, equivalentemente. premuttiplicar la matriz Á por A£, siendo Af. una matriz producto de a lo sumo 7 — | mabr II. Denotamos con Ay a la matriz resultado, esto es, es elementales de tipo 1 0.0.0 dal A A -2.)1.00200 an al Gao Maz coto Uan Ay = AA — . . : : : A a “Mo 0... 1 dm Oz ma 00 ns (11 1 QA y : aa 0.0 al a (3; (3) 00 as 31 donde a denota la entrada (+, j) de la matriz Aj, con +. 23. Observemos que 43, posec las siguientes propiedades: x La primera fila coincide con la primera fila de A. + La segunda fila coincide con la segunda fila de Ago. + La primera columna tiene todas sus entradas nulas salvo la primera, + La segunda columna tiene todas sus entradas nulas por debajo de a 22 Podemos repetir este proceso, utilizando operaciones elementales de tipo TI sobre filas, hasta encontrar aU) =0. llegando a esta situación: an * *o* * o a? * ox * (11) 0.0 al La * * 10) 0 10) 0 * 0 0 0 * * 0 0 0 *o* x Tenemos que destacar que sólo hemos utilizado operaciones elementales de tipo TIT sobre filas. rol) . 2 e Llamaremos pes a las entradas (011, ad, 00. Otro]: (2 Ay = Mir Mar A0vieE ¿1 1), entonces AE Man y a MM, A. En este caso el proceso se denomina proceso de triangulación de la matriz A. (LA) Procedimiento básico admitiendo permutación de filas Supogamos que hemos seguido el proceso de escalonamiento y nos encontramos con Mo ¡Mia Ma MA y, además, al = (0. Nótese que no podemos seguir utilizando operaciones elemen- tales de tipo TIL por filas. Puede ocurrir: (a) Existe alguna entrada no nula por debajo de al. En este caso, podemos permutar filas (operación elemental de tipo D) y Hevar la entrada no nula a la posición [r,1). Así podemos seguir el proceso de escalonamiento. (b) No siguiente situación: isten entradas no nulas debajo de al), entonces estaríamos cn la EN 0 0) xo ok * o 0.0 Ox 0.0 0 0 0 «+. 0 Dor occ o Distinguimos los siguientes casos: (BA) Si alo, , 4 0. hacemos ceros por debajo con operaciones elementales de tipo mí por filas. (0,2) Si a , = 0, buscamos alguna entrada no nula por debajo de ella. si la hubiese la colocamos en la posición (7,7 +1) mediante operaciones elementales de tipo | por filas y producimos ceros por debajo de ella con operaciones elementales de tipo III por filas. Si no hubiese entradas no mulas por debajo de a, TOS fijamos en a... y y repetimos esta dicusión. Mediante este proceso llegamos a la forma escalonada por filas utilizando sólo vperaciones clementales por filas de tipo 1 y IL (LB) Procedimiento básico admitiendo perrmtación de filas y columnas Si en la situación (1,2) hubiera alguna entrada ae 140coni6e [r,...,m) y jetfr—=1,....n), mediante permutación de filas y columnas, la colocamos en la posición (r.1) y seguimos haciendo ceros. Nuestro objetivo es llegar a la siguente configuración: A 0 a E omo (13) 0 0 ao Ro ko o. 0 0.00 0 o. 0 0.00 0 o. 0 0.00 0 en 1 00.0 0 N= 00 -- 1000. 0 00-000 --- 0 00 000 0 1.2.0 EJEMPLO. Reduce a la forma normal la matriz A = 4 6 9 0.29 1.2.0 2/1. 20 1.20 2 1- e 9] ro 9) [0-29] Vd] 9 0-2 9 0 0.0 120 1.0.0 cas (100 O E E a A 0.0 0 0.0 0 00.0 Esto es, ENE) (YES) -AIYAE(O) — 22) EUA) +38) =N wo 
