Álgebra I-6/6 PDF, Apuntes de Álgebra Lineal

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7.6. 1. CONSTRUCCIÓN DE APLICACIONES LINEALES A PARTIR DE MATRICES. Sea A£Mmxn(K), consideremos E y F EVK tales que dim«F=m y dimxE=n, y sea A=(x1,x2,...,xn) base ordenada de E, y C=(y1,y2.... ym) base ordenada de F, si A=(aij), definir T.E=F aplicación lineal tal que T0d)=01y1+02y2+...+amym€F , Tsjsn, y claramente Tac=A. 7.6.2. RANGO DE UNA MATRIZ. Dada una matriz AS-=>Mmxm(K), si se considera K” y K”, EVK y B las bases canónicas de K” y K”, respectivamente y definir la única aplicación lineal T:K'=K" tal que Tes=A. Se llama rango de A al rango de la aplicación lineal T, y escribiremos p(A)=dimxIm.(T) como Im.(M=L(T(B)); dim.Im.(T)=n* columnas de Tpp LI. 7. 7. TEOREMA DE LA FORMA NORMAL DE UNA MATRIZ. Sea T:E=F una aplicación lineal con dimxE=n y dimxF=m, entonces, 3 una base ordenada A de E, una base ordenada C de F y un n* natural r, con r=n y rsm/Tac está en forma normal. Tac = Erxr 0 0.0 DEMOSTRACIÓN: Si N(T)=(0)=> consideremos (x1,...xn) una base de N(T) y la completamos hasta obtener una base de E. H=)x1,...,xk,xk+1,...,xn) base de E. T(H) es sistema generador de Im(T). t(H)=(T0d),... TEd9;T(+1),...,TEn)>(T(xk+1),..., T(xn)) es base. ¿ y o o Por ser x1,...,xkEN(T) de Im(T). Prolongamos la base de Im(T) hasta obtener una base de F. C=(T(xk+1),..., T(xn).y1,...,yt) con t+(n-k)=m. Recordando H, se obtiene A=(xk+1,x,...,xn,x1,...,xk) base ordenada de E. Para calcular Tac: TX) eR— CT Gac (1,0,...,0 Y porque Tla«) es el ler. vedor de €. Varna F [TG ka Dl. 2 (o, l, S,. O) porque Tlxgar) . esal 2? yador del. T6.DeF ode (0 iO oj 1000..0 o 1. hzn-K - Ñ T,) To MENA! oJg o 0.0 TOx)= DP» [TG)1, > 'N Erxr O 00) -43- Si r=n-k=rF aplicación lineal/(a-T)(x)=0-T(9, VxEE. a-T es una aplicación lineal. Si A es base ordenada de E y C es base ordenada de F(a-T)ac=a-Tac. 3) PRODUCTO O COMPOSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES: Sean T:E=F y S:E=G aplicaciones lineales, se define ST:E=>G/(ST)09=S(T(9), VXEE: T Ss ISE G x (x (TOd) Sí A una base ordenada de Es rd 1] ”" q y E, y H “e " 2 .“ 6, T Ss (E, A) ——> (O) 2 (6,4) Tae Sen Ta —b Tac Cola = 7 60. — [scTGo Y un Se lol, = 1 _= Son Tac: Exla Ñ 2ntences (S-Tan 3 Ses . Tac Se de fin 2 a TE -A44- TEOREMA DE LA CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE ISOMORFISMO. Sea T:E=>F una aplicación lineal, entonces T es isomorfismo => dada A una base cualquiera de E y C una base cualquiera de F, Tac es una matriz no singular. DEMOSTRACIÓN: (=>) Por ser t isomorfismo=3S:F=E isomorfismo S-T=ld(E) T-S=ld(F) Si A es una base de E y C es una base de F, calculamos Tac y Sca y veamos que (Tac) *=ScA (S-Tas=Sca Tac Tac 'Sca=(T:S)oc=ld(F)co=Enxn siendo n=dimxF. Sca Tac=(STaa=ld(E)aa=Enxn. Luego Tac es no singular y >3B matriz/B-Tac=Tac:B=Enxn. Construimos la única aplicación lineal S:F=E/Sc1=B. ld(E)aa=Enxn=B-Tac=Sca Tac=(ST)an por unicidad de la matriz asociada si fijamos las bases S-T=ld(E). ld(F)ec=Enxn=TacB=Tac Sca=(T-S)cc=T-S=Id(F). Luego por el Tma. anterior, T es isomorfismo. NOTA: 1) Hemos probado además que (Tac) '=Sca siento S=T”. (Tao) =(T Uca 2) Id(E) es un isomorfismo y Id(E)*=ld(E). Si A y C son bases de E=ld(E)ac es no singular y (Id(E)ac)*= =ld(E)ca. Id(E)ac es no singular y verifica que: la(Ejac(x)a=(1d(x)0=000. ld(E)ac es una matriz de cambio de base, porque permite obtener las coordenadas de x en la base de C a partir de las coordenadas de x es la base A Id(E)ac, que cambia A-coordenadas en C,-coordenadas. 7. 9. TEOREMA DEL CAMBIO DE BASE. Sea E y F EVK, dimE=n y dim,¿F=m. Dos matrices A y Y mxn representan la misma aplicación lineal T:E->F respecto de parejas de bases distintas (es decir, A=Tac y B=Tac) si, y sólo si, existen una matriz mxm P y una matriz nxn Q no singulares tales que A=PBQ”. Si A y AO son bases de E y C y C? son bases de F y A=Tac y B=T wc ld(E) T ld(F) (EA) — (EA (0) (F.C) Id(E)ra=0* B=Tac: ld(Plec=P Tac=A P es una matriz mxm porque dim(F)=m. P A=PBQ! es no singular porque Q=ld(EJA'A es una ld(F) es biyectiva. matriz nxn no singular. -4B- NOTA: Sean T:E-=>E endomorfismo, y A y C bases de E, si A=Taa y B=T cc: ld(E) T ld(E) (EA) — EC) (EC) — (EA) Id(Elac=P" Tec=B Id(A)ca=P 4 ld(E)T-d(E)-T | Tas=A entonces A=PBP" EJEMPLO: Seo TR MR Ttr,y)= lazy ¡y 392) (5, y ER Sean E XU o) Lo, WA base cangnica kE R'- (2, y, E! DTu de Ro C=4(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)7 base canónica de 3, Calas, Dd (0,2,0,L0, UL) base de [R3 Caleylar Toc ; Tote, Teo Y y Tas e 1,0)= (2,-1,3( 2-3 TUO0)=( y => Tec E Tr01 12 (-3,1,2 3-2 _TACIRA y 7 TARO) (m7, 9) RE B) —— (Re) —— | Ta, ? Tosh ( ) Tala í | Td (3). Ta Td CRA) =T Tae -47- Espacios EUCLÍDEOS PRODUCTO ESCALAR. Definición. Sea. E un espacio vectorial sobre X. Tlamaremos producto escalar o producto interior a toda aplicación (-/-) : Ex E — K que verifica las propiedades: s (x+y/z2)=(x/z2) + (y/z), Vxy,ze E a (Ax/y) =AMx/y), Vx y € E,VAEK a (x/y)=(y/x), Vx ye LE n (x/x)20, VxeE . (x/x)=0=x=0 Diremos que F es un espacio enclídeo sobre K si Fl es un espacio vectorial sobre K y tenemos definido un producto escalar. Otras propiedades. (xy +2) (3 /y) +(x/z), Vx.y ze E = (x/Ay)= Mx/y), Voy e FA CK s (x/0) =(0/x33=0, WxcrFE sn (x/x)eR, VxeE MÓDULO DE UN VECTOR. Sea E un espacio veclorial enclídeo sobre K y sea x € £. Se llama módulo de x (o porma o longitud de x) al número real no negativo llal= + (5/25 Propiedades. Para cualesquiera x, y € E y para cualquier 1 € R se vori e|[x[> 0 e lIx||= 0>x->=0 elx=+yl < [xl + ly ll e lloxl]= a |- [xl e |x| —llyl 1 -,X)) Vke(1,...,n) a (x1,X3,..., Xp] cs un conjunto ortogonal. En consecuencia, (X1.Xz,-- (1 (xa) 1 (Yu/Xn-1) TK A A (5-1) Xi-1) -, Xp] es una base ortogonal de 5. Si además, pretendemos hallar una base ortonormal de E deberemos considerar: ortonormal. X3 (sriar otr Teorema. Todo espacio euclídeo de dimensión finita no mulo tiene, al menos, una base Ejemplo. Calcular una base ortonormal de IR? con el producto escalar estándar a partir de la base Á= [(1, —1,0), Aplicando el método de ortogonalización de Gram-Schmidt obtenemos: Xi X2 Yi (2, Y3 2,0,—1),(0,1, =(1, 1,0) /x1) , 2,0, —1)/(1,-1,0) 90,19 0/10) (1/20) “(E =1L.0/4,-1,0)* y 2 o Ñ 0-90 10=(1L 1 (Ya/x1) (Ya/X2) — FAA O A a E (/x1) (2 /X2) 10), ((0,1,3/(1,1,-1)) 2 (1,-1,0) — + ARA 10) 0 (1,1-D)/0,1,-1) (1,-1,0) (LD) Podemos considerar. por simplicidad, x3 = (1, 1,2) y así, 4(1,—1, 0), (1,1,—1), (1,1,2)) for- man una base ortogonal de R% con el producto escalar estándar. Para obtener na. base ortonormal dividiremos cada vector por su módulo: -(1, 13) (1,—1,0) 1,1,-1) 1,1,2) 1 1, Ñ E IA Y3 es una base ortonormal de %? con el producto oscalar ostándar. mi 10,0 P1(,1-DP1G,1,2 Y ORTOGONAL DIE UN SUBESPACIO. Definición. Sea E un EVK de dimensión n y sea (- / +) un producto escalar. Si F' es un subespacio de £, se llama ortogonal de F al conjunto PO=1xeE|(x/y)=0, vy e F) Si [v1,V2,.... vr) es una base de F, entonces PF !=fxE£]|(x/v)=0, 1< ”) Teorema. Sea E un EVK de dimensión n y sea (- / -) un producto escalar. Si /" es un subespacio de E, entonces se verifica que: = F- es un subespacio de E "For =k,esdecir, E-F+F!yFOF=(0). Proposición. Si E es un espacio cuclídco de dimensión a y E" y G son dos subespacios de E, entonces MFPCaO =G+cCr! (PA =F NG Teorema. Sea E un espacio cuclídco de dimensión n. Si 4 = (X1,.-.,xy) un conjunto ortonormal de E, entonces existe 8 = [Xg-1,-..,XnP C £, Lal que AUB os baso ortonormal de E, Ejemplo. Considera el espacio euclídeo ¡* con el producto escalar estándar y el subespacio F=((0,y4, 20) Ri: a+y=2 14). 1. Calcula una base ortonormal de 1”. 2. Calcula el subespacio += 3. Completa la base de FP a una base ortonormal de IR”. £. Calcula la proyección ortogonal del vector v = (1, —1,0, 1) sobre F. 5. Calcula la distancia de v a f. 2. Para calcular F+, podemos ntilizar cualquiera de las bases de PP: (2,4, 2,0/61,1,0,0)) =0 FE= 3 (eyanerR: (1yat) (CAE = [((142)eR o: 2 1y=0, +20 + 1=0)= [om 2) : ER LAO LL DJ) Por tanto, ((1,1,—1,—1)) es una base ortogonal de P+ y dimg F+ = 1. Además, Ga 1,—1,-—1) 7 es una base ortonormal de F-. 3. Como FO F+ =RÍ, para obtener una base orlonormal de 2% solo hay que unir una base ortonormal de /” y una base ortonormal de F-. Así, 1 1 1 1 -1,1,0,0), +(,1,2,0), 3=(1,1,-1,3), 201,1, 1,1 == ALL M1, ,) es una base ortonormal de R* que se obtiene completando la base ortonormal de JP”. 4. Para calcular la proyección ortogonal de v = (1, 1,0,1) sobre F necesitamos una base ortogonal de £. Podemos utilizar la base ortogonal de /” formada por (—1, 1,0.0),(1,1,2,0),(1,1, 1,3)). Si llamamos p a la proyección ortogonal de v sobre /”, entonces (v/x1) (v/x2) (v/xs) ara 1 A O (x1/X1) (x2/X2) (Xs/X3) ((1,-1,0,1)/(-1,1,0,0), = har, -1,1,0,0 (EL 0.01 10,0) + ((1,—1,0,19/(1,1,—1 (1,1-1,3)/0, 11,3) la —101/4, a+ 2,0/(1,1,2,0)) (1,1,-1,3) = 1 0 om, 3 llo. ya = -¿0L10,0) 10,120) 10,L 13=,6 3 1,3) 5. Finalmente, la distancia de v a F coincide con la distancia de v a la proyección orto- gonal de v a F. Así, , 110111 , 1 - ate [(h734) Fla o] = 7. 10. ESPACIOS EUCLÍDEOS. 7. 10, 2. CRITERIO DE DEPENDENCIA LINEAL. DEMOSTRACIÓN: (=>) Supongamos (x,y) es L.D.=3ACK tal que x=2.y. | 04y) 104-GY)=0Y) (y 29=04Y) y 0yY)=(yY) 2 Y IN=MY) yA) =00) (yy) (<) Supongamos que | (x/y) | (9) -(y/y) Six=0 0 y=0=>(x, y) es L.D. Six=0, y=o=>(x/x)=0 , (y/y)=0=>(x1y),0 Si consideramos el vector x-Ay con A=(x/y) / (y/y)x0. (eAyIAY)=(41x)-] (xy) | %=0 porque | (x/y) | "=(x/x)-(y1y) (iy) (yhcdy)=0=>x-Ay=0=>x=Ay=(x,y) es L.D. PROPIEDAD: S ortogonal y vES=*S es L.!. DEMOSTRACIÓN: Supongamos que Ix1,x2,...,xkES distintos tales que u1x1+02x2+...+akxk=0 ¿qis0, 1sisk? 0=(01x1+02x2+... +0 kxk/xi)=0:1 (01 /xi)+02(x2/x1)+... +ork(xk/xi)=ai(uiéxi) 1 por ser ortogonales (xj/xi)=0 jei VES=xi=0=(Xxi/x1)=0 alxi/xi=0=ai=0 ] iS es L.l, 1=i(xi/xi)0 7. 10. 4. PROYECCIONES ORTOGONALES: Xx e=Ilell: y lyll 1 A cost=(xIy) / |x]:lly]| cosé=]pI/px] >p=091y] > yily]= A 00011 -lvl=llplMbdll=1p=04DMlyI) 04 y yy) -49- 3) ¿ENFL=(0)? Sea xEFNFL=xEF SF 1=IxIy)=0, VyEF. En particular, (x/x)=0=x=0=>FNF 1=(0) NOTA: COMO FOFL=E, enrtonces dado x€E, x se escribe de forma única como suma x=y+z, yCF y z_LFL, y es la proyección ortogonal de x sobre F, z es la proyección ortogonal de x sobre FL. PROPIEDADES: 1) FCG si xEGL=(w/y)=0, VyEG ] (x/y)=0, VyeF=xEF L, FEG J luego GJEF1L 3) ¿(F+G)L=F1NG1? FCF+G=(F+G)LEC1L 1 P>(F+G)LEFINGL GCF+G=>(F+G)LEGL ]) Sea xEFLNG_L=xEFL xEG_L Dado y+zEF+G=yEF, zEG. (/y+2)=(x/y)+(4/Z)=0+0=0>x€(F+G)L yeF. zEG xXEFL xeGlL luego FINGLC(F+G)L 4) ¿(FNG)L=F1+G1? Por 3) aplicada aF1yaGl: (F1+G1)1=(F1)LN(G1)1=FNG. FL+G1=((F1+G1)1)1=(FNG)L. TEOREMA. DEMOSTRACIÓN: Si A=(x1,...,xk) es un conjunto ortogonal de E, sea F=L(A) y consideremos el subespacio FL y B=(xc+1....,xn) una base ortonormal sw FL; Entonces AUB es un conjunto ortonormal ya que: -Todos los vectores de Á son ortonormales. -Todos los vectores de B son ortonormales. -Cada vector de A es ortogonal a todos los de B y viceversa porque ACF y BCF1. AUB ortonormal =AUB ortogonal y oÉ$AUB =AUB es L.l. Como F+F1=E L(AUB)=L(A)+L(B)=F+F1=E Luego AUB es sistema generador de E. Por tanto, AUB es base ortonormal de E. -51-