EXAMEN ÁLGEBRA:
1. Sean vectores de una base de .
La matriz asociada a un operador lineal , en la base , viene
dada por
. Se pide:
a) Autovalores de
b) Autovectores de en la base canónica
c) Matriz del operador en la base canónica
2.
a) Base ortonormal de
b) La matriz en la base canónica de de los proyectores ortogonales sobre
c) La proyección ortogonal del vector sobre
d) Calcula la matriz, en la base canónica , de un operador autoadjunto cuya traza
es 2, para que tenga a W como subespacio propio con autovalor 1.
3. Se define la matriz
:
Explicar, sin efectuar ningún cálculo, si la matriz A es diagonalizable. Obtener su
espectro y hallar, si existe, una matriz ortogonal tal que sea diagonal.
4. Calcula los transformados de los vectores de la base canónica de bajo una rotación
R de ángulo π/3 alrededor del eje
.
Calcular el producto escalar del vector con su transformado bajo R.
5. Sean las formas lineales en ,
y la forma bilineal
:
a) Demostrar que las formas son linealmente independientes
b) Hallar el rango y la signatura de la forma cuadrática asociada a la forma
bilineal