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CAP´ıTULO 7
Espacios cociente
En esta secci´on estudiamos el cociente de un espacio vectorial V por un subespacio W. Este cociente se define como el conjunto cociente de V por una relaci´on de equivalencia conveniente.
Definici´on 7.1. Si V es un espacio vectorial y W es un subespacio cualquiera, definimos en V la siguiente relaci´on de equivalencia: v ∼W v′^ si v − v′^ ∈ W.
Observaci´on 7.2. (1) El subespacio W en general se considera fijo y por ese motivo el s´ımbolo ∼W se escribe omitiendo el sub´ındice como ∼.
(2) Es claro que v ∼ v′^ si y s´olo si existe w ∈ W de modo que v = v′^ + w.
(3) Es claro que la relaci´on ∼ es una relaci´on de equivalencia y esto queda como ejercicio.
(4) Si W = { 0 }, v ∼ v′^ si y s´olo si v = v′^ y si W = V para todo par v, v′^ ∈ V , v ∼ v′.
(5) Recordar que si v ∈ V su clase de equivalencia es un subconjunto de V y consiste de {v′^ ∈ V : v′^ ∼ v} =
v′^ ∈ V : v′^ = v + w para alg´un w ∈ W
. En otras palabras la clase de equivalencia de v es el subconjunto v + W ⊂ V.
Definici´on 7.3. En la situaci´on anterior, la clase de equivalencia de v ∈ V se denota como [v] o como v +W. El conjunto cociente V / ∼, se denota como V /W =
[v] : v ∈ V
y se denomina espacio cociente de V por W.
La proyecci´on can´onica π : V → V /W – que existe para cualquier relaci´on de equivalencia, en particular la considerada m´as arriba – expl´ıcitamente se define como π(v) = [v] = v + W.
A priori V /W es tan s´olo un conjunto. Probaremos que de hecho es un espacio vectorial con operaciones que hacen que π : V → V /W sea una transformaci´on lineal.
Lema 7.4. En la situaci´on anterior tenemos que:
(1) Si v 1 ∼ v′ 1 y v 2 ∼ v′ 2 entonces v 1 + v 2 ∼ v′ 1 + v′ 2 para todo v 1 , v 2 , v′ 1 , v′ 2 ∈ V.
(2) Si v ∼ v′^ entonces av ∼ av′^ para todo v, v′^ ∈ V y a ∈ k.
Demostraci´on. (1) Si v 1 ∼ v′ 1 y v 2 ∼ v′ 2 entonces existe w 1 , w 2 ∈ W tales que v 1 = v′ 1 + w 1 y v 2 = v′ 2 + w 2. Entonces v 1 + v 2 = v′ 1 + v′ 2 + w 1 + w 2 y como w 1 + w 2 ∈ W concluimos que v 1 + v 1 ′ ∼ v 2 + v 2 ′.
(2) La demostraci´on de esta propiedad es muy semejante a la anterior y queda como ejercicio. §
Teorema 7.5. Se definen en V /W las siguientes operaciones: [v] + [v′] = [v + v′] y a[v] = [av] si a ∈ k y v, v′^ ∈ V. Con respecto a estas operaciones V /W es un espacio vectorial.
M´as a´un, la proyecci´on can´onica π : V → V /W es una transformaci´on lineal sobre- yectiva, cuyo n´ucleo es W.
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Demostraci´on. El lema anterior nos garantiza que las definiciones de suma y pro- ducto por un escalar entre clases de equivalencia tienen sentido, o sea el resultado de sumar [v] y [v′] no dependen del par v, v′^ ∈ V sino tan s´olo de su clase de equivalencia modulo W. Lo mismo para producto por un escalar.
Necesitamos probar que se verifican para las operaciones definidas en V /W todos los axiomas de un espacio vectorial. Por ejemplo para probar la propiedad asociativa queremos probar que
[v]+[v′]
+[v′′] = [v]+
[v′]+[v′′]
. El lado derecho de esta igualdad es
[v] + [v′]
- [v′′] = [v + v′] + [v′′] =
[
(v + v′) + v′′
][
v + (v′^ + v′′)
]
= [v] + [v′^ + v′′] =
[v] +
[v′] + [v′′]
. Se ha usado en esta cadena de igualdades la propiedad asociativa de la suma en el espacio V. El vector cero en V /W es el vector OV /W = [0V ] = [w] para cualquier w ∈ W. Es claro que [v] + 0V /W = [v + 0] = [v] y luego ese vector es el neutro del espacio cociente.
Si tomamos v, v′^ ∈ V y calculamos π(v + v′) tenemos que π(v + v′) = [v + v′] = [v] + [v′] = π(v) + π(v′). De forma parecida se prueba que π(av) = aπ(v) y as´ı π es una transformaci´on lineal. Que la proyecci´on can´onica es sobreyectiva es una propiedad general que se observ´o cuando se vieron los elementos iniciales de teor´ıa de conjuntos. Por otro lado, N(π) = {v ∈ V : π(v) = 0. Pero π(v) = 0 si y s´olo si [v] = [0] o sea si y s´olo si v ∈ W. Luego N(π) = W. §
La siguiente es una adaptaci´on de la propiedad universal del cociente que vimos cuando estudiamos teor´ıa de conjuntos, al caso del cociente de un espacio vectorial por un subespacio.
Teorema 7.6. Sea V, U espacios vectoriales y W ⊂ V un subespacio de V. Si T : V → U es una transformaci´on lineal tal que W ⊂ N(T ), entonces existe una ´unica
transformaci´on lineal T̂ : V /W → U que hace el diagrama de abajo conmutativo.
V
T (^) //
π ≤ ≤
U
V /W
T^ b
< <
Demostraci´on. Es claro que si v ∼ v′^ y escribimos v′^ = v + w, con w ∈ W entonces T (v′) = T (v + w) = T (v) + T (w) = T (v), ya que w ∈ W ⊂ N(T ). Aplicando la propiedad universal del cociente probada en el Cap´ıtulo 1 (ver p´agina ??), podemos asegurar la existencia y unicidad de una funci´on T̂ : V /W → U que hace el diagrama conmutativo.
Para concluir la prueba, falta probar la linealidad de T̂. Como T̂ ◦ π = T tenemos que para todo v ∈ V , entonces T (v) = T̂
π(v)
= T̂
[v]
. Luego si v, v′^ ∈ V tenemos que
T̂
[v] + [v′]
= T̂
[v + v′]
= T (v + v′) = T (v) + T (v′) = T̂
[v]
+ T̂
[v′]
lo que prueba que
T̂ es aditiva. En forma semejante se prueba que T̂
a[v]
= aT̂
[v]
para todo a ∈ k. §
Observaci´on 7.7. (1) En la situaci´on anterior tenemos que N( T̂ ) = π
N(T )
y que
Im( T̂ ) = T (V ) = T̂ (V /W ). La segunda afirmaci´on se deduce inmediatamente del hecho
de que la proyecci´on can´onica π es sobreyectiva. Por otro lado T̂
[v]
= 0 si y s´olo si
0 = T̂
π(v)
= T (v) y eso sucede si y s´olo si v ∈ N(T ), es decir [v] ∈ N(T )/W.
Observaci´on 7.11. El teorema anterior puede generalizarse de la siguiente forma: Sea T : V → V ′^ una transformaci´on lineal, y W ⊂ V , W ′^ ⊂ V ′^ subespacios tales que T (W ) ⊂ W ′. Entonces, existe una ´unica transformaci´on lineal T˜ : V /W → V ′/W ′^ tal
que T˜ ◦ π = π′^ ◦ T.
La prueba de este hecho es una f´acil adaptaci´on de la prueba del teorema 7.10 y queda como ejercicio.
Corolario 7.12. Sea T : V → U una transformaci´on lineal, entonces la transfor- maci´on lineal T̂ : V / N(T ) → T (V ) es un isomorfismo.
Demostraci´on. De acuerdo a los resultados anteriores, N( T̂ ) = N(T )/ N(T ) =
{ 0 } ⊂ V / N(T ), de donde T̂ es inyectiva. Adem´as, T̂
V / N(T )
= T (V ), por lo que la
transformaci´on lineal T̂ : V / N(T ) → T (V ) es sobreyectiva. §
A continuaci´on veremos algunos resultados sobre dimensi´on que se deducen de la construcci´on anterior del cociente.
Teorema 7.13. Sea V un espacio de dimensi´on finita y W un subespacio; entonces dim(V /W ) = dim(V ) − dim(W ).
Demostraci´on. Consideremos una base C = {w 1 ,... , wt} de W y complet´emosla a una base B = {w 1 ,... , wt, vt+1,... , vn} de V. Consideremos los vectores, [vt+1],... , [vn] ∈ V /W. Ese conjunto de vectores es la imagen de la base B por la proyecci´on can´onica π, que es sobreyectiva. Como B genera V conclu´ımos que B =
[vt+1],... , [vn]
⊂ V /W
es un generador de V /W. Probaremos ahora que los vectores [vt+1],... , [vn] ∈ V /W son linealmente inedependientes. Si existen escalares at+1,... , an, tales que at+1[vt+1] + · · · + an[vn] = 0, entonces at+1vt+1 + · · · + anvn ∈ W y como los vectores de C son una base de W tenemos que at+1vt+1 + · · · + anvn = a 1 w 1 + · · · + atwt. Como los vectores w 1 ,... , wt, vt+1,... , vn ∈ V son una base de V , conclu´ımos que todos los coeficientes a 1 = a 2 = · · · = at = at+1 = · · · = an = 0. Hemos probado que en la situaci´on anterior overlineB es una base de V /W. §
Observaci´on 7.14. Es de destacar que en el teorema anterior no s´olo probamos el resultado sobre la dimensi´on sino que adem´as describimos un procedimiento para encontrar una base del cociente V /W a partir de una base de W , que completamos a una base de V.
M´as a´un, es f´cil ver que este procedimiento (la construcci´on de una base de V /W ) es v´alido a´un en dimensi´on infinita.
Corolario 7.15 (Teorema de la dimensi´on). Sea V un espacio vectorial de di- mensi´on finita y supongamos que T : V → U es una transformaci´on lineal. Entonces, N(T ) ⊂ V y T (V ) ⊂ U tienen dimensi´on finita y adem´as
dim
N(T )
T (V )
= dim(V ).
Demostraci´on. Claramente N(T ) tiene dimensi´on finita. Por otro lado, usando el Corolario 7.12, sabemos que los espacios vectoriales V / N(T ) y T (V ) son isomorfos, y eso implica que T (V ) tiene dimensi´on finita y adem´as que dim(V ) − dim
N(T )yr) =
dim
V / N(T )
= dim
T (V )
Observaci´on 7.16. Comparar esta prueba con la realizada anteriormente en el ejer- cicio ??.
Corolario 7.17. Sea V un espacio vectorial sobre k y W ⊂ V un subespacio. Entonces V ∼= W ⊕ V /W.
Demostraci´on. Como en la prueba del teorema 7.13, completamos una base B 1 de W a una base B de V. Si B 2 = B \B 1 , entonces π(B 2 ) es una base de V /W. Consideremos la inclusi´on ι : W ↪→ V y la transformaci´on lineal T : V /W → V inducida por T
π(v)
v, v ∈ B 2. Entonces T es inyectiva e (ι, T inducen una transformaci´on lineal biyectiva W ⊕ V /W → V. §
Queremos ahora comparar la matriz asociada a T : V → V con la matriz asociada al mapa inducido por T en el cociente V /W en el caso en que W es un subespacio invariante.
Teorema 7.18. Sea T : V → V una transformaci´on lineal del espacio de dimensi´on finita V. Sea W un subespacio invariante de T. Llamemos T |W : W → W la transfor-
maci´on lineal obtenida mediante la restricci´on de T a W. Consideremos T˜ : V /W → V /W la transformaci´on lineal asociada a T en el cociente. Sean C = {w 1 ,... , wt}, B = {w 1 ,... , wt, vt+1,... , vn} y B =
[vt+1],... , [vn]
bases de W , V y V /W respec-
tivamente. Entonces (^) B [T ]B =
C [T^ ]C?
0 B
[
T
]
B
Demostraci´on. Calculemos en primer lugar las coordenadas en la base B de los vectores T (wi), i = 1,... , t. Como ´estos est´an en W , que es invariante por T , conclu´ımos que T (wi) se escribe como combinaci´on lineal de {w 1 ,... , wt}. Los coeficientes corres- pondientes a esa combinaci´on lineal son exactamente las entradas de la matriz asociada
C [T^ |W^ ]C. Eso prueba que las primeras^ t^ columnas de la matriz^ B [T^ ]B son como se enuncia en el teorema. Consideremos la columna t + j, j = 1,... , n − t, de la matriz asociada. Si escribimos T (vj ) = α 1 w 1 + · · · + αtwt + αt+1vt+1 + · · · + αnvn, de la igualdad anterior concluimos que T
[vj ]
[
T (vj )
]
= αt+1[vt+1]+· · ·+αn[vn]. Eso implica que la “cola” (o sea la parte que va del elemento t + 1 hasta el elemento n) del t + j-´esimo vector columna de la matriz (^) B [T ]B es exactamente el j-´esimo vector columna de la matriz (^) B
[
T
]
B. Eso termina la demostraci´on. §
Corolario 7.19. Sea T : V → V una transformaci´on lineal de V , espacio vectorial de dimensi´on finita, y V = W 1 ⊕ W 2 un descomposici´on en suma directa de subespacios T –invariantes. Sea B 1 una base de W 1 , B 2 una base de W 2 y B = B 1 ∪ B 2. Entonces,
B [T^ ]B =
B 1 [T^ ]B 1 0
0 B 2 [T ]B 2
Demostraci´on. Aplicar el teorema anterior a W 1 para obtener las primeras t colum- nas de (^) B [T ]B, y a W 2 para obtener las ´ultimas r columnas. §
