Análisis de espacios vectoriales: Comutatividad, Asociatividad e inversos aditivos, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga Análisis de espacios vectoriales: Comutatividad, Asociatividad e inversos aditivos y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad De Ingeniería

Álgebra II

Grupo A

ADA 5

Prof. Ricardo Rodríguez Achach

Canché Martín, Juan Alberto

Domingo 8 de mayo de 2022

Álgebra II

Tarea 4

1. Demuestre que el conjunto de los números reales dotado con las operaciones

x ⊕ y =( x

3

• y

3

1

3

y

k ⋅ x = k

1

3

x

es un espacio vectorial sobre

R

Probamos los siguientes puntos:

1. Cerradura de la suma:

Como

x y

y son números reales, entonces su suma también tiene que serlo.

2. Conmutatividad:

x ⊕ y = y ⊕ x

¿ ( y

3

• x

3

1

3

¿ ( x

3

• y

3

1

3

∴ ( x

3

• y

3

1

3

=( x

3

• x

3

1

3

3. Asociatividad:

( x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ ( y ⊕ z )

¿ x ⊕ ( y ⊕ z )

¿ x ⊕ ( y

3

• z

3

1

3

( x

3

(( y

3

• z

3

1

3

)

3

)

1

3

¿ ( x

3

• y

3

• z

3

1

3

((( x

3

• y

3

1

3

)

3

• z

3

)

1

3

¿ (

x ⊕ y

3

• z

3

)

1

3

¿ ( x ⊕ y ) ⊕ z

∴ ( x ⊕ y ) ⊕ z =( x ⊕ y ) ⊕ z

¿ k

1

1

3

x ⊕ k

2

1

3

x

(

k

1

x

3

• k

2

x

3

)

1

3

(

x

3

k

1

• k

2

) )

1

3

¿ ( k

1

• k

2

1

3

x

9. A

k

1

k

2

⋅ x

k

1

k

2

⋅ x

¿ k

1

( k

2

1

3

x

)

¿ k

1

1

3

k

2

1

3

x

¿ ( k

1

k

2

1

3

x

k

1

k

2

⋅ x

10. Neutro

k ⋅ x = x

¿ 1 ⋅ x

1

3

x

¿ x

Dado que se cumplen los diez puntos anteriores se puede afirmar que el conjunto de los

números reales dotado con las operaciones

x ⊕ y =( x

3

• y

3

1

3

y

k ⋅ x = k

1

3

x

es un espacio

vectorial sobre R.

Q.E.D.

2. Determine si son subespacios de los espacios correspondientes los siguientes conjuntos.

a) Los vectores de R

5

que tienen una cantidad impar de componentes iguales a cero, con la

suma y el producto por escalar usuales.

u = {

( a , b , c , d , e ) }

Probamos los siguientes puntos:

1. U ≠ ∅

Se tiene el vector nulo

u ⃗ ∈U

u ⃗ = 0

u ⃗ =( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 )

El cual cuenta con una cantidad impar de componentes iguales a

∴ Si cumple

Se tiene que:

u ⃗ =( a , b , 0 , 0 , 0 ) ; ⃗ v =( x , 0 , 0 , 0 , y )

u ⃗ , ⃗ v , ⃗ u +⃗ v ∈U

u ⃗ + ⃗ v =( a , b , 0 , 0 , 0 ) +( x , 0 , 0 , 0 , y )

u ⃗ + ⃗ v =( a + x , b , 0 , 0 , y )

Resultando en una cantidad par de componentes iguales a cero.

∴ No cumple

∴ No es un subespacio.

¿ k ( z , z )

Sí cumple

Sí es un subespacio.

a) Pruebe que U ={

a , b , c , d

∈ R

4

∨ a + 2 b = 2 c + d }

es un subespacio de R

4

Probamos los siguientes puntos:

1. U ≠ ∅

Se tiene el vector nulo:

( 0 , 0 , 0 , 0 ) ∈ U

Sí cumple.

Usamos la condición:

a + 2 b = 2 c + d

a = 2 c + d − 2 b

u =( 2 c + d − 2 b , b , c , d ) ∈U

u = {

( 2 c , 0 , c , 0 ) , ( d , 0 , 0 , d ) , (− 2 b , b , 0 , 0 ) }

u = {

c ( 2 , 0 , 1 , 0 ) , d ( 1 , 0 , 0 , 1 ) ,b (− 2 , 1 , 0 , 0 ) }

U ={( 2 , 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , (− 2 , 1 , 0 , 0 ) }

j =( 2 , 0 , 1 , 0 ) ;

i =( 1 , 0 , 0 , 1 )

j ,

i ,

j +

i ∈U

j +

i =( 3 , 0 , 1 , 1 )

Ahora, evaluamos en la condición:

Sí cumple.

Se tiene que:

k

j,

j =( 2 , 0 , 1 , 0 ) ∈ U

k ( 2 , 0 , 1 , 0 ) =( 2 k , 0 , k , 0 )

Evaluamos en la condición:

2 k + 2 ( 0 )= 2 ( k )+ 0

2 k = 2 k

Sí cumple.

Sí es un subespacio.

b) Pruebe que W ={

a , b , c , d

∈ R

4

∨ a = b , c = d }

es un subespacio de R

4

y encuentre dos

vectores que lo generen.

Probamos los siguientes puntos:

Se tiene que:

⃗ v

0

=( 0 , 0 , 0 , 0 ) ∈ W

a = b ;c = d

Sí cumple.

Se tiene que:

u ⃗ =( a , a , c ,c )

u ⃗ = {

( a , a , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ,c , c ) }

u ⃗ = {

a ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , c ( 0 , 0 , 1 , 1 ) }

W ={( 1 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 1 ) }

j =( 1 , 1 , 0 , 0 ) ;

i =( 0 , 0 , 1 , 1 )

j ,

i ,

j +

i ∈W

j +

i =( 2 , 2 , 0 , 0 )

a = b ;c = d

4. Si

V = M

n × n

( R )

, pruebe que los siguientes conjuntos son subespacios.

a) Las matrices antisimétricas.

Para las matrices antisimétricas se cumple que:

A

T

=− A

Probamos los siguientes puntos:

A = 0 ∈V

A

T

T

Sí cumple.

A , B ∈ V

A

T

=− A

B

T

=− B

A + B = A

T

+ B

T

( A + B )

T

=− A − B

( A + B )

T

=−( A + B )

∴ Sí cumple.

A ∈ S ;k ∈ R

k ( A )

T

=(− kA )

k ( A )

T

=−( kA )

k ( A )

T

= k ( A )

T

∴ Sí cumple.

∴ Sí es un subespacio.

b) Las matrices que conmutan con una matriz

X

fija.

Se tiene que:

W =

{

A

|

V ∈ M

n × n

( R )

|

AX = XA

}

Probamos los siguientes puntos:

Se tiene que:

A = 0 ∈W

0 ( X )= X ( 0 )

Sí cumple.

Se tiene que:

AX = XA , BX = XB ∈W

( A + B ) X = X ( A + B )

AX + BX = XA + XB

AX + BX = AX + BX

( A + B ) X =( A + B ) X

Sí cumple.

k ( a + ax + a x

2

Sí cumple.

∴ Sí es un subespacio.

a) Calcule W =

⟨ 1 − x

2

, x − x

2

⟩ en

R

2

[ x ]

y determine si x

2

∈ W

Se tiene que:

c

1

( 1 − x

2

) + c

2

( x − x

2

) = a x

2

• bx + c

c

1

− c

1

x

2

• c

2

x − c

2

x

2

= a x

2

• bx + c

c

1

• c

2

x +

− c

1

− c

2

x

2

= a x

2

• bx + c

c

1

• c

2

+ (− c

1

− c

2

) x

2

= 0 + 0 x + x

2

Formando las siguientes igualdades:

{

c

1

c

2

− c

1

− c

2

Por lo que ⟨ 1 − x

2

, x − x

2

⟩

si genera en R

2

[ x ] :

c

1

• c

2

x +

− c

1

− c

2

x

2

= x

2

{

c

1

c

2

− c

1

− c

2

c

1

= 0 , c

2

y

− c

1

− c

2

el elemento x

2

no pertenece a

W

b) ¿Es

S =

{

(

)

(

)

(

)

(

) }

un conjunto li? Determine si

(

)

∈ ⟨ S ⟩

Se tiene que:

c

1

(

)

• c

2

(

)

• c

3

(

)

• c

4

(

)

(

)

Desarrollando se obtiene que:

(

|

)

¿ F

2

→ F

2

− F

1

(

|

)

F

3

→ F

3

+ F

2

(

|

)

¿ F

4

→ F

4

− F

3

(

|

)

¿ F

2

→ F

2

− F

3

(

|

)

F

1

→ F

1

+ F

2

(

|

)

c

1

= c

4

; c

2

=− c

4

;c

3

− c

4

c

1

• c

2

c

1

• c

3

c

2

c

3

Obteniendo al final que:

Con lo que:

c

1

=− 2 ;c

2

= 3 ;c

3

∴ Dado que existen tales escalares, entonces la matriz

sí pertenece a S.

7. Sea V un espacio vectorial. Demuestre que {

v

1

, v

2

, v

3

} es base de V si y sólo si

{

v

1

, v

1

• v

2

, v

1

• v

2

• v

3

} lo es.

Para que sea base, primero hay que demostrar que el vector es li :

a

v

1

• b

v

1

• v

2

• c

v

1

• v

2

• v

3

De modo que:

v

1

v

1

• v

2

v

1

• v

2

• v

3

Usando Gauss:

(

|

)

¿ F

2

→ F

2

− F

1

(

|

)

¿ F

3

→ F

3

− F

1

(

|

)

F

3

→ F

3

− F

2

(

|

)

Con lo que observamos que el vector es linealmente independiente, y{

v

1

, v

2

, v

3

} es base de

V

Ahora, se procede a demostrar que genera a V :

a

v

1

• b

v

1

• v

2

• c

v

1

• v

2

• v

3

=( x , y , z )

Generando el siguiente sistema:

{

v

1

= x

v

1

• v

2

= y

v

1

• v

2

• v

3

= z

Usando Gauss nuevamente:

(

|

x

y

z

)

¿ F

2

→ F

2

− F

1

(

|

x

y − x

z

)

¿ F

3

→ F

3

− F

1

(

|

x

y − x

z − x

)

F

3

→ F

3

− F

2

x + 2 y + 3 z = 0

x = 2 y − 3 z

(

x

y

z

)

(

− 2 y − 3 z

y

z

)

(

− 2 y

y

)

(

− 3 z

z

)

= y

(

)

• z

(

)

Con lo que vemos que los vectores

y

generan a

W

. Se observa

fácilmente que ambos vectores son li , por lo que ambos forman una base para W. Como

W

está generado por dos vectores, entonces:

∴ dimW = 2

b)

W =

{

p ( x ) ∈ R

3

[ x ] ∨ p ( 5 )= 0

}.

Se tiene que:

p

x

= a x

3

• b x

2

• cx + d

p ( x ) , p ( 5 ) ∈ W

Por lo que:

p ( 5 )= a ( 5 )

3

• b ( 5 )

2

• c ( 5 )+ d = 0

125 a + 25 b + 5 c + d = 0

d =− 125 a − 25 b − 5 c

Sustituyendo:

p

x

= a x

3

• b x

2

• cx − 125 a − 25 b − 5 c

p ( x )= a ( x

3

− 125 ) + b ( x

2

− 25 ) + c ( x − 5 )

De modo que W se encuentra generado por los polinomios (

x

3

x

2

)y x − 5.

Ahora, procedemos a mostrar que son li.

a ( x

3

− 125 )+ b ( x

2

− 25 ) + c ( x − 5 ) = 0

a x

3

− 125 a + b x

2

− 25 b + cx − 5 c = 0

x

3

( a ) + x

2

( b )+ x ( c ) +(− 125 a − 25 b − 5 c ) = 0

Formando el siguiente sistema:

{

a = 0

b = 0

c = 0

− 125 a − 25 b − 5 c = 0

Por lo que la única solución existente es la solución trivial, con ello llegamos a que:

∴ dimW = 3

9. ¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices simétricas reales de tamaño

5 × 5

Una matriz simétrica de

5 × 5

tiene la siguiente forma: