álgebra lineal, matemáticas, Apuntes de Álgebra Lineal

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Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

Algebra lineal^ ´

Buenos Aires, agosto de 2008

iv

´Indice General

x ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Espacios vectoriales

En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R^2 y R^3 ), o tambi´en el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos y multiplicarlos por n´umeros. Todos estos conjuntos comparten una cierta “estructura”, que est´a dada por esa suma y ese producto por n´umeros, a la que llamaremos espacio vectorial. En este cap´ıtulo presentaremos la noci´on de espacio vectorial y estudiaremos algunas propiedades b´asicas que poseen los conjuntos con dicha estructura.

1.1 Espacios vectoriales y subespacios

1.1.1 Preliminares

La noci´on de espacio vectorial requiere de dos conjuntos: un conjunto K (los escalares) y otro conjunto V (los vectores). Estos dos conjuntos deben satisfacer ciertas propiedades, que esencialmente se refieren a que los elementos de V se puedan sumar entre s´ı y multiplicar por elementos de K. Comenzaremos dando algunas definiciones previas para poder despu´es presentar la defini- ci´on precisa de espacio vectorial.

Definici´on 1.1 Sea A un conjunto no vac´ıo. Una operaci´on (o ley de composici´on interna u operaci´on binaria) de A es una funci´on ∗ : A × A → A.

Notaci´on. ∗(a, b) = c se escribe a ∗ b = c.

Ejemplos.

• • : N × N → N, tal que +(a, b) = a + b, es una operaci´on de N.
• Como la resta, −(a, b) = a − b, no es una funci´on de N × N en N, entonces no es una operaci´on de N.

1.1 Espacios vectoriales y subespacios 3

A partir de la definici´on de grupo pueden probarse propiedades que poseen todos los conjuntos con esa estructura. Por ejemplo:

• Sea (G, ∗) un grupo. Entonces para cada a ∈ G existe un ´unico inverso para a. Sea e el elemento neutro de (G, ∗). Supongamos que b y c son inversos de a. Entonces

b = e ∗ b = (c ∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b) = c ∗ e = c.

Notaci´on. Si G es un grupo abeliano y la operaci´on se nota +, el elemento neutro se notar´a 0 y, para cada a ∈ G, el inverso de a se notar´a −a. (En otros casos, el elemento neutro se nota 1 y el inverso de a se nota a−^1 .)

La siguiente definici´on que daremos se refiere a conjuntos en los cuales hay dos operaciones relacionadas entre s´ı.

Definici´on 1.4 Sea A un conjunto y sean + y · operaciones de A. Se dice que (A, +, ·) es un anillo si

i) (A, +) es un grupo abeliano ii) · es asociativa y tiene elemento neutro iii) Valen las propiedades distributivas: Para a, b, c ∈ A,

• a · (b + c) = a · b + a · c
• (b + c) · a = b · a + c · a

Adem´as, si · es conmutativa, se dice que (A, +, · ) es un anillo conmutativo.

Notaci´on. Cuando quede claro cu´ales son las operaciones + y ·, para referirnos al anillo (A, +, ·), escribiremos simplemente A. Al elemento neutro del producto se lo notar´a 1.

Ejemplos.

• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son anillos conmutativos.
• (Zn, +, ·) es una anillo conmutativo.
• Si (A, +, ·) es un anillo conmutativo, entonces (A[X], +, ·) es un anillo conmutativo con las operaciones usuales de polinomios.
• Si C es un conjunto, (P(C), 4 , ∩) es un anillo conmutativo.
• {f : R → R} con las operaciones usuales de suma y producto de funciones es un anillo conmutativo.

4 Espacios vectoriales

Al igual que en el caso de los grupos, tambi´en pueden probarse propiedades que poseen todos los anillos:

• Sea (A, +, ·) un anillo, y sea 0 el elemento neutro de +. Entonces 0 · a = 0, ∀ a ∈ A. Se tiene que 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Si b es el inverso aditivo de 0 · a, resulta 0 = 0 · a + b = (0 · a + 0 · a) + b = 0 · a + (0 · a + b) = 0 · a.

Luego, 0 · a = 0.

En un anillo cualquiera no es cierto que a · b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0. Por ejemplo, en Z 4 , se tiene que 2 · 2 = 0, pero 2 6 = 0.

Definici´on 1.5 Un anillo conmutativo (A, +, ·) se llama un dominio de integridad o dominio ´ıntegro si a · b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0.

Ejemplos.

• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son dominios de integridad.
• Si A es un dominio de integridad, entonces A[X] es un dominio de integridad.
• Zp es un dominio de integridad ⇐⇒ p es primo.

La siguiente definici´on resume las propiedades que debe satisfacer uno de los conjuntos involucrados en la definici´on de un espacio vectorial.

Definici´on 1.6 Sea K un conjunto, y sean + y · operaciones de K. Se dice que (K, +, ·) es un cuerpo si (K, +, ·) es un anillo conmutativo y todo elemento no nulo de K tiene inverso multiplicativo. Es decir:

i) (K, +) es un grupo abeliano, ii) (K − { 0 }, ·) es un grupo abeliano, y iii) vale la propiedad distributiva de · con respecto a +.

Ejemplos.

• (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son cuerpos
• (Zp, +, ·) es un cuerpo ⇐⇒ p es primo.

6 Espacios vectoriales

(a) a · (v + w) = a · v + a · w ∀ a ∈ K; ∀ v, w ∈ V. (b) (a + b) · v = a · v + b · v ∀ a, b ∈ K; ∀ v ∈ V. (c) 1 · v = v ∀ v ∈ V. (d) (a · b) · v = a · (b · v) ∀ a, b ∈ K; ∀ v ∈ V.

Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de K se llaman escalares. La acci´on · se llama producto por escalares. N´otese que el s´ımbolo · se usa tanto para la acci´on de K en V como para el producto en K, pero esto no deber´ıa generar confusi´on puesto que en el primer caso estar´a aplicado a un elemento de K y otro de V , mientras que en el segundo, a dos elementos de K.

En lo que sigue, K denotar´a un cuerpo. Si (V, +, ·) es un K-espacio vectorial y la operaci´on

• de V y la acci´on · de K en V quedan claras del contexto, diremos simplemente que V es un K-espacio vectorial.

Hay propiedades que se cumplen en cualquier espacio vectorial. A continuaci´on mostramos algunas de ellas.

Sea V un K-espacio vectorial. Entonces:

1. 0 · v = 0 para todo v ∈ V. (Observar que el elemento 0 que aparece en el miembro izquierdo de la igualdad es el elemento neutro de K, mientras que el de la derecha es el vector 0 ∈ V .)
2. (−1) · v = −v para todo v ∈ V. (Recu´erdese que −v denota al inverso aditivo de v).

Demostraci´on.

1. Se tiene que 0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v + 0 · v. Sea w el inverso aditivo de 0 · v. Entonces 0 = 0 · v + w = (0 · v + 0 · v) + w = 0 · v + (0 · v + w) = 0 · v + 0 = 0 · v
2. Vemos que v + (−1) · v = (−1) · v + v = (−1) · v + 1 · v = (−1 + 1) · v = 0 · v = 0. Luego, (−1) · v es el inverso aditivo de v, es decir (−1) · v = −v.

Ejemplos. En lo que sigue K es un cuerpo.

1. K es un K-espacio vectorial.

1.1 Espacios vectoriales y subespacios 7

2. Sea Kn^ = {(x 1 ,... , xn) / xi ∈ K}. Se definen
   • : Kn^ × Kn^ → Kn, (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) · : K × Kn^ → Kn, λ · (x 1 ,... , xn) = (λx 1 ,... , λxn) Entonces Kn^ es un K-espacio vectorial.
3. Una matriz de n filas y m columnas es un arreglo de n × m n´umeros ubicados en n filas y m columnas. Sea Kn×m^ = {A / A es una matriz de n filas y m columnas de elementos en K}. Ob- servamos que un elemento A de Kn×m^ es de la forma

A =

A 11 A 12 · · · A 1 m A 21 A 22 · · · A 2 m · · · · · · · · · · · · An 1 An 2 · · · Anm

Si A ∈ Kn×m, denotaremos por Aij al elemento ubicado en la intersecci´on de la fila i y la columna j de A. Se definen

• : Kn×m^ × Kn×m^ → Kn×m, (A + B)ij = Aij + Bij (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) · : K × Kn×m^ → Kn×m, (λ · A)ij = λ · Aij (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) Entonces Kn×m^ es un K-espacio vectorial.

4. Sea Z un conjunto no vac´ıo. Se considera KZ^ = {f : Z → K / f es funci´on } y se definen + : KZ^ × KZ^ → KZ^ , (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ Z, · : K × KZ^ → KZ^ , (λ · f )(x) = λ · f (x) ∀ x ∈ Z. Entonces KZ^ es un K-espacio vectorial.
5. K[X], el conjunto de polinomios en la variable X a coeficientes en K, es un K-espacio vectorial con la suma usual de polinomios y la multiplicaci´on usual de polinomios por una constante.
6. R es un Q-espacio vectorial; C es un R-espacio vectorial y un Q-espacio vectorial.
7. Q[

2] es un Q-espacio vectorial.

1.1.3 Subespacios

Dentro de un K-espacio vectorial V , hay subconjuntos que heredan la estructura de V , es decir, que son tambi´en espacios vectoriales con la misma operaci´on, el mismo elemento neutro y la misma acci´on que V. En esta secci´on, comenzaremos el estudio de los subconjuntos con esta propiedad.

1.1 Espacios vectoriales y subespacios 9

i′) S 6 = ∅.

Es decir, las condiciones i), ii), iii) son equivalentes a i’), ii), iii). La demostraci´on de este hecho queda como ejercicio.

Ejemplos. Sea V un K-espacio vectorial.

1. { 0 } es un subespacio de V.
2. V es un subespacio de V.
3. Si v ∈ V , S = {λ · v / λ ∈ K} es un subespacio de V : i) 0 = 0 · v ∈ S. ii) Si λ · v, μ · v ∈ S, entonces λ · v + μ · v = (λ + μ) · v ∈ S. iii) Si λ · v ∈ S y α ∈ K, entonces α · (λ · v) = (α · λ) · v ∈ S. Este subespacio se denomina el subespacio generado por v y se nota S = < v >.
4. Sean v 1 ,... , vn ∈ V. Entonces S = {α 1 .v 1 + · · · + αn.vn : αi ∈ K, 1 ≤ i ≤ n} es un subespacio de V : i) 0 = 0.v 1 + · · · + 0.vn ∈ S. ii) Si v, w ∈ S, v = α 1 .v 1 + · · · + αn.vn, w = β 1 .v 1 + · · · + βn.vn, entonces v + w = (α 1 + β 1 ).v 1 + · · · + (αn + βn).vn ∈ S. iii) Si λ ∈ K y v = α 1 .v 1 + · · · + αn.vn ∈ S, entonces λ.v = (λ.α 1 ).v 1 + · · · + (λ.αn).vn ∈ S. El subespacio S que hemos definido se llama el subespacio generado por v 1 ,... , vn y se nota S = < v 1 ,... , vn >.

Si V es un K-espacio vectorial, tiene sentido considerar las operaciones de uni´on e inter- secci´on entre subespacios de V (que son subconjuntos de V ). Una pregunta que surge es si estas operaciones preservan la estructura de subespacio. Como veremos a continuaci´on, esto vale en el caso de la intersecci´on de subespacios, pero no para la uni´on.

Proposici´on 1.11 Sea V un K-espacio vectorial, y sean S y T subespacios de V. Entonces S ∩ T es un subespacio de V.

Demostraci´on.

i) 0 ∈ S ∩ T puesto que 0 ∈ S y 0 ∈ T. ii) Sean v, w ∈ S ∩ T. Entonces v ∈ S, v ∈ T, w ∈ S y w ∈ T. Como v, w ∈ S y S es un subespacio, entonces v + w ∈ S. An´alogamente, v + w ∈ T. Luego, v + w ∈ S ∩ T.

10 Espacios vectoriales

iii) Sean λ ∈ K y v ∈ S ∩ T. Entonces v ∈ S y v ∈ T. Como λ ∈ K, v ∈ S y S es un subespacio, entonces λ · v ∈ S. An´alogamente, λ · v ∈ T. Luego, λ · v ∈ S ∩ T. § En forma an´aloga a lo hecho en la demostraci´on de la proposici´on anterior, se prueba que la intersecci´on de cualquier familia de subespacios de un K-espacio vectorial V es un subespacio de V.

Observaci´on 1.12 Si V es un K-espacio vectorial, S y T subespacios de V , entonces S ∪ T no es necesariamente un subespacio de V.

En efecto, consideremos en R^2 los subespacios S = < (1, 0) > y T = < (0, 1) >. Observamos que (1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ T ; luego, ambos pertenecen a S ∪ T. Pero (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈/ S ∪ T , puesto que (1, 1) ∈/ S y (1, 1) ∈/ T.

Concluimos esta secci´on exhibiendo algunos ejemplos de subespacios de distintos K- espacios vectoriales.

Ejemplos.

1. Sean a 1 ,... , an ∈ K fijos. Sea S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Kn^ : a 1 x 1 + · · · anxn = 0}. Es f´acil verificar que S es un subespacio de Kn.

2. S =

(x 1 ,... , xn) ∈ Kn^ :

a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = 0 .. . am 1 x 1 + · · · + amnxn = 0

es un subespacio de Kn, pues

S =

⋂m i=

Si, donde Si = {(x 1 ,... , xn) ∈ Kn^ : ai 1 x 1 + · · · + ainxn = 0} (1 ≤ i ≤ m) y cada Si es un subespacio de Kn.

3. Sean V = K[X] y n ∈ N fijo. Se tiene que Kn[X] = {f ∈ K[X] / f = 0 o gr(f ) ≤ n} es un subespacio de V : i) 0 ∈ Kn[X]. ii) Sean f, g ∈ Kn[X]. Si f = 0 o g = 0 es claro que f + g ∈ S. Si f + g = 0, entonces f + g ∈ S. Si no, gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)) ≤ n, y por lo tanto f + g ∈ S. iii) Sean λ ∈ K y f ∈ Kn[X]. Si λ = 0 o f = 0, entonces λ.f = 0 ∈ Kn[X]. Si no, gr(λ.f ) = gr(f ), de donde λ.f ∈ Kn[X]. Observar que el conjunto {f ∈ K[X] / f = 0 o gr(f ) ≥ n}, para n ∈ N fijo, no es un subespacio de K[X]. Por ejemplo: f = Xn^ y g = −Xn^ + 1 pertenecen a dicho conjunto, pero f + g = 1 no.

1.1.4 Sistemas de generadores

El objetivo de esta secci´on es mostrar c´omo pueden describirse todos los elementos de un K-espacio vectorial V a partir de ciertos subconjuntos de elementos de V.