Müller álgebra lineal, Apuntes de Álgebra Lineal

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Universidad Mayor de San Sim´on

Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa Carrera de Matem´aticas

Algebra Lineal

Hans C. M¨uller Santa Cruz

Cochabamba, .

Prefacio

El Algebra Lineal es una de las ramas fundamentales de las Matem´aticas; por un lado, porque es herramienta de trabajo imprescindible en otras ´areas de las matem´aticas como el An´alisis, la Geom´etr´ıa, el An´alisis Num´erico, las Estad´ısticas y otras; por otro lado, las aplicaciones del Algebra Lineal en la soluci´on de problemas de otras disciplinas y ciencias es moneda corriente. El texto de Algebra Lineal est´a inscrito dentro el desarrollo que pretende dar la Carrera de Matem´aticas en su nueva formulaci´on. Este texto contiene lo m´as importante dentro lo que es el Algebra Lineal, dando el vocabulario y conceptos de base para una buena utilizaci´on, presentando los razonamientos de manera rigurosa y en lo posible elegante, mostrando ejemplos donde el Algebra Lineal es un instrumento de soluci´on a los problemas presentados. Para un buen asimilaci´on de los conocimientos y razonamientos de este texto; las definiciones y conceptos m´as significativos est´an escritos en negrillas, estos deber´an ser memorizados y manipulados fluidamente. Los resultados mas importantes est´an expresados en los teoremas, corolarios y proposiciones, estos deber´an tambi´en ser memorizados para manejarlos de manera fluida. Las demostraciones de este texto deber´an ser trabajadas, con la finalidad de adquirir las diferentes t´ecnicas de demostraci´on que se emplean en el Algebra Lineal. Con fines ped´agogicos, en algunos paragrafos se presentan los resultados fundamentales que ser´an tratados en el paragrafo en cuesti´on, estos est´an escritos en car´acteres it´alicos. La pr´actica del curso, es una fuente para practicar los conocimientos adquiridos y as´ı mismo como un medio de adquirir conocimientos adicionales. Por lo tanto, una resoluci´on en gran n´umero de estos ejercicios, podr´a medir el grado de asimilaci´on del estudiante.

2 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

5. Se tiene α · 0 = 0, ∀α.

Demostraci´on: 1.- Sup´ongase que 0 y 0′^ son ceros, entonces

0 ′^ = 0 + 0′^ = 0′^ + 0 = 0 ⇒ 0 = 0′.

2.- Sea α ∈ K, −α y −α′^ opuestos de α. Se tiene

−α = −α + 0 = −α + (α + (−α′)) = (−α + α) + (−α′) = 0 + α′^ = α′.

3.- Ejercicio. 4.- ⇐ trivial,

⇒ α + α = α, (α + α) + (−α) = α + (−α), α + (α + (−α)) = 0, α + 0 = 0 ⇒ α = 0.

5.- Utilizando el punto 4) de la proposici´on, se tiene

α · 0 = α · (0 + 0), α · 0 = α · 0 + α · 0 ⇒ α · 0 = 0. 

En lo que sigue del cap´ıtulo K denotar´a un cuerpo conmutativo. Se convendr´a α − β = α + (−β) y αβ = α · β.

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial sobre K, K-espacio vectorial, es un conjunto V provisto de dos operaciones:

V × V → V (x, y) 7 → x + y

adici´on

K × V → V

(α, x) 7 → αx

multiplicaci´on por escalar

que verifican los dos sistemas de axiomas: I Adici´on i) la adici´on es conmutativa x + y = y + x, ∀x, y ∈ V. ii) la adici´on es asociativa (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V. iii) existe un cero, 0 ∈ V tal que 0 + x = x, ∀x ∈ V. iv) Todo x ∈ V posee un opuesto −x, tal que x + (−x) = 0. II Multiplicaci´on por escalar i) α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V. ii) (α + β)x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V. iii) α(x + y) = αx + αy, ∀αK, x, y ∈ V.

Definici´on I.1.2.- Un subconjunto U 6 = ∅ de V espacio vectorial, es un subespacio vectorial de V , si

x, y ∈ U ⇒ αx + βy ∈ U, ∀α, β ∈ K.

Ejemplos

I.1 Preliminares 3

1.- K es un espacio vectorial sobre K, para la adici´on y la multiplicaci´on de K. 2.- Sea Kn^ = {(α 1 , α 2 ,... , αn)|αi ∈ K, i = 1,... , n}, con la adici´on y la multiplicaci´on por escalar, definidas: (α 1 , α 2 ,... , αn) + (β 1 , β 2 ,... , βn) = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 ,... , αn + βn), α(α 1 , α 2 ,... , αn) = (αα 1 , αα 2 ,... , ααn), es un espacio vectorial sobre K. 3.- { 0 } ⊂ V y V son subespacios vectoriales de V , si V es un espacio vectorial. Son conocidos como los subespacios triviales de V.

Proposici´on I.1.3.- En un espacio vectorial V , sobre un cuerpo K, se tiene: 1.- El elemento 0 ∈ V es ´unico, as´ı como el opuesto −x. 2.- y ∈ V , y + y = y ⇐⇒ y = 0. 3.- α 0 = 0, ∀α ∈ K. 4.- 0 x = 0, ∀x ∈ V. 5.- Sean α ∈ K, x ∈ V , entonces αx = 0 ⇒ α = 0 o x = 0.

Demostraci´on.- Los incisos 1,2,3,4 ejercicios. El punto 5, si α = 0 est´a demostrado, sino α 6 = 0, por consiguiente

α−^1 (αx) =α−^10 , 1 x = 0, x = 0. 

Convenci´on.- Generalmente el elemento cero 0 de V espacio vectorial se lo denota tambi´en 0. En lo que sigue se utilizar´a esta notaci´on.

Ejemplos 4.- Sea X un conjunto no nulo, se define

KX^ = {f : X → K}

el conjunto de las aplicaciones de X en K. KX^ es un espacio vectorial para

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (αf )(x) = α(f (x))

(I.1.1)

El cero de KX^ es la aplicaci´on 0 : x 7 → 0. En particular RR^ = {f : R → B} es un espacio vectorial con las operaciones (I.1.1). 5.- C^0 (R, R) = {f : R → R, continua} es un espacio vectorial con las leyes (I.1.1). 6.- Se dice que p : R → R es polinomial si

p(t) =

∑^ n

i=

αiti, αi ∈ R, αn 6 = 0;

n es el grado de p. Se denota P el conjunto de las funciones polinomiales y Pn el conjunto de las funciones polinomiales de grado ≤ n. Ejercicio.- Mostrar que P es un subespacio vectorial de C^0 (R, R) y Pn es un subespacio vectorial de P. Remarca.- Un subespacio vectorial es en si mismo es un espacio vectorial. 7.- Consideremos el sistema lineal homogeneo de n ecuaciones y m incognitas, dado por  



a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + · · · + a 1 mξm = 0 .. .

an 1 ξ 1 + an 2 ξ 2 + · · · + anmξm = 0

I.1 Preliminares 5

10.- Ejercicio.- Mostrar que

< {t → ti}i≥ 0 >= P y Pn =< {t → ti}ni=0 >

11.- Sean U 1 , U 2 ,... , Un subespacios vectoriales de V , se denota

U 1 + U 2 + · · · + Un

el subespacio engendrado por

⋃^ n

i=

Ui.

Ejercicio.- Mostrar que los elementos de

∑^ n

i=

son aqu´ellos de V que se escriben bajo la forma

v =

∑^ n

i=

ui, ui ∈ U.

Definici´on I.1.7.- Se dice que la familia {v 1 ,... , vm} de V es linealmente dependiente si y solamente si existen α 1 , α 2 ,... , αn ∈ K no todos nulos, tales que

∑^ n

i=

αivi = 0.

Si {v 1 ,... , vm} no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente; es decir, {v 1 ,... , vm} es linealmente independiente si y solamente si

∑^ n

i=

αivi = 0 ⇒ α 1 = α 2 = · · · = αm = 0.

Se dice que ∅ 6 = A ⊂ V , no necesariamente finito, es linealmente dependiente, si existe {v 1 ,... , vm} ⊂ A linealmente dependiente. Se dice que ∅ 6 = A ⊂ V , no necesariamente finito, es linealmente independiente si toda familia finita {v 1 ,... , vm} ⊂ A es linealmente independiente. Se conviene que ∅ es linealmente independiente.

Ejemplos 12.- A = { 0 }, entonces A es linealmente dependiente. 13.- Los vectores ei, i = 1,... , n de Kn^ definidos en el ejemplo 9, forman una familia linealmente indepen- diente. 14.- Sea V 6 = { 0 } un espacio vectorial, 0 6 = x ∈ V , entonces {x} es linealmente independiente. En efecto, utilizando la proposici´on (I.1.3), punto 5, se tiene αx = 0 ⇒ α = 0. 15.- Sea P el espacio de las funciones polinomiales reales. Ejercicio.-Mostrar que el conjunto A = {t 7 → ti}i≥ 0

es una familia linealmente independiente de P. Definici´on I.1.8.- Se dice que B ⊂ V es una base de V espacio vectorial si y solamente si B es linealmente independiente y B engendra V. Ejemplos 16.- V = K, sea α ∈ K, con α 6 = 0, entonces {α} es una base de K. 17.- V = Kn. El conjunto {e 1 , e 2 ,... , en} es una base de Kn. 18.- {t 7 → ti}ni=0 es una base de Pn.

6 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Proposici´on I.1.9.- El subconjunto xii∈I del espacio vectorial V es una base de V , si y solamente si todo elemento v ∈ V se escribe de manera ´unica bajo la forma

v =

sumaf inita

αivi, αi ∈ K.

Demostraci´on.- En los ejercicios propuestos de la pr´actica. Aplicaci´on a los Sistemas Lineales  



a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + · · · + a 1 mξm = 0 .. .

an 1 ξ 1 + an 2 ξ 2 + · · · + anmξm = 0

(I.1.2)

Planteando a 1 =(a 11 , a 21 ,... , an 1 ) ∈ Kn, .. . am =(a 1 m, a 2 m,... , anm) ∈ Kn, b =(b 1 , b 2 ,... , bn) ∈ Kn.

El sistema (I.1.2) es equivalente a resolver ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + · · · + ξmam = b. Por consiguiente: i) El sistema (I.1.2) tiene una soluci´on, si y solamente si b ∈< {a 1 ,... , am} >. ii) Si {a 1 ,... , am} es linealmente independiente y (I.1.2) tiene soluci´on, entonces ´esta es ´unica.

8 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

por otro lado, se tiene a partir de (I.2.1)

ys =

s∑− 1

i=

−αi βs

xi +

βs

xs +

∑^ r

j=s+

−βj βs

yj ,

introduciendo esta ´ultima expresi´on en (I.2.2) y efectuando los c´alculos necesarios se llega a

v =

∑^ s

i=

α′ ixi +

∑^ r

i=s+

δ′ j yj.



Corolario I.2.2.- Sea V un espacio vectorial de generaci´on finita y Gr un sistema de generadores de V. Entonces todo subconjunto linealmente independiente contiene a lo mas #(Gr).

Consecuencia.- Sea V un espacio vectorial, se supone que V contiene un subconjunto infinito linealmente independiente, entonces V no es de generaci´on finita. Por lo tanto P, no es de generaci´on finita.

Corolario I.2.3.- Sea V espacio vectorial de generaci´on finita y L un subconjunto linealmente independiente de V. Entonces se puede completar L en un sistema finito de generadores de V.

Teorema I.2.4.- Un espacio vectorial de generaci´on finita, posee bases finitas. M´as precisamente, de todo sistema de generaci´on finita, se puede extraer una base; es decir si Gr ⊂ V engendra V , existe una base B de V con B ⊂ Gr. Si el espacio es V = { 0 }, se conviente que ∅ es la base de V.

Demostraci´on.- Supongamos que V 6 = { 0 }, sino el teorema est´a mostrado. Sea Gr = {y 1 , y 2 ,... , yr} un sistema de generadores de V. Se elige B ⊂ Gr tal que B es linealmente independiente y B es maximal para esta propiedad; es decir, si B & B′^ ⊂ Gr, entonces B’ es linealmente dependiente. La existencia del conjunto B est´a asegurada por que todo subconjunto linealmente en V cuenta con un n´umero finito de elementos y adem´as este numero est´a acotado por r, el n´umero de generadores de Gr. Afirmamos que B es una base, con lo que el teorema estar´ıa demostrado. En efecto, B es linealmente independiente por construcci´on. Solo queda mostrar que B engendra V. Si es necesario renumerar, se puede suponer que B = {y 1 , y 2 ,... , ys}.

Si s = r, se tiene B = Gr y por consiguiente B es un sistema de generadores. Si s < r, por maximilidad de B, el subconjunto {y 1 , y 2 ,... , ys, yi}, para i = s + 1,... , r es linealmente dependiente. Por lo tanto para cada i = s + 1,... , r, existen α 1 , α 2 ,... , αn y β ∈ K no todos nulos, tales que

∑^ s

k=

αkyk + βyi = 0.

Se observa que β 6 = 0, por que sino B no ser´ıa linealmente independiente. Por consiguiente

yi =

∑^ s

k=

−αk β

yk , s < i ≤ r. (I.2.3)

Por otro lado, sea v ∈ V , como Gr es un sistema de generadores, se tiene tambi´en

v =

∑^ s

k=

γkyk +

∑^ r

i=s+

γiyi, γj ∈ K.

Introduciendo (I.2.3), en cada uno de los yi con s < i ≤ r, se tiene finalmente

v =

∑^ s

k=

δkyk. 

I.2 Espacios de Generaci´on Finita 9

Proposici´on I.2.5.- Sea V un espacio vectorial de generaci´on finita. Entonces, todas las bases de B son finitas y comportan el mismo n´umero de elementos. Este n´umero se llama dimensi´on de V y se escribe

dimK V, dim(V ), dim V.

Se tiene que dim V es el n´umero m´aximo, respectivamente m´ınimo, de elementos de un subconjunto lineal- mente independiente en V , respectivamente que engendra V.

Demostraci´on.- a) Por el corolario I.2.2 del teorema de Grassman, todas las bases de V son finitas. b) Sean {v 1 , v 2 ,... , vn} y {v′ 1 , v 2 ′,... , v′ m} dos bases de V. Utilizando el teorema de Grassmann con:

Gr = {v 1 , v 2 ,... , vn}, L = {v′ 1 , v′ 2 ,... , v m′} ⇒ m ≤ n, Gr = {v′ 1 , v′ 2 ,... , v′ m}, L = {v 1 , v 2 ,... , vn} ⇒ m ≤ m.

c) Se denota d la dimensi´on de V. Sea L un subconjunto linealmente independiente de V. Por el teorema de Grassmann, con Gr una base y L, se tiene

d = #(Gr) ≥ #(L).

d) Sea Gr un subconjunto finito de V que engendra V y B una base de V , por el teorema de Grassmann, se tiene #(GR) ≥ #(B) = d. 

Ejemplos 4.- dim(Kn) = n. 5.- dim(Pn) = n + 1. 6.- Ejercicio.- Mostrar que si V y W son de generaci´on finita, entonces V × W es de generaci´on finita y adem´as dim(V × W ) = dim(V ) + dim(W ).

Remarca En general un espacio vectoria posee bases y todas sus bases tienen el mismo ”numero“ de elementos, o si V no es de generaci´on finita, se dice que V es de generaci´on infinita.

Proposici´on I.2.6.- Sea V de dimensi´on d y v 1 , v 2 ,... , vn n elementos de V , entonces: i Si n > d, {v 1 , v 2 ,... , vn} es linealmente dependiente. ii Si n < d, {v 1 , v 2 ,... , vn} no engendra V. iii Si n = d, los enunciados siguientes son equivalentes: a) {v 1 , v 2 ,... , vn} es linealmente independiente, b) {v 1 , v 2 ,... , vn} engendra V , c) {v 1 , v 2 ,... , vn} es una base de V.

Demostraci´on.- Los incisos i,ii como Ejercicio. Mostremos el inciso iii). a)⇒b) Sea B = {x 1 ,... , xd} una base de B, utilizando Grassman con Gr = B y L = {v 1 , v 2 ,... , vn}, se tiene que {v 1 , v 2 ,... , vn} engendra V. b)⇒c) De todo sistema de generadores se puede extraer una base. c)⇒a) trivial. 

Proposici´on I.2.7.- Sea V un espacio vectorial de generaci´on finita. Entonces, todo conjunto linealmente independiente puede ser completado en una base de V.

Demostraci´on.- Sea L = {x 1 ,... , xs} un subconjunto linealmente independiente. B = {y 1 ,... , yd} una base de V. Por el teorema de Grassmann, si es necesario renumerar los yi, el subconjunto

{x 1 ,... , xs, ys+1,... , yd}

engendra V. De la proposici´on I.2.6, se deduce que {x 1 ,... , xs, ys+1,... , yd} es una base de V. 

I.3 Aplicaciones Lineales 11

I.3 Aplicaciones Lineales

Definici´on I.3.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que la aplicaci´on

f : V → W

es lineal, o homomorfismo de espacios vectoriales, si

f (v 1 + v 2 ) = f (v 1 ) + f (v 2 ), ∀v 1 , v 2 ∈ V ; f (αv) = αf (v), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V.

Remarca.- f (0) = 0, en efecto f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0). Se denota por Hom(V, W ) el conjunto de las aplicaciones lineales de V en W.

Proposici´on I.3.2.- Hom(V, W ) es un espacio vectorial para las operaciones definidas por:

(f + g)(v) = f (v) + g(v), (αf )(v) = αf (v).

Demostraci´on.- Ejercicio.

Definici´on I.3.3.- Una aplicaci´on lineal biyectiva se llama isomorfismo, una aplicaci´on lineal f : V → V se llama endomorfismo, End(V ) = Hom(V, V ). Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo, Gl(V ) = {automorfismos de V }.

Ejemplos y/o Ejercicios 1.- Sea U un subespacio de V espacio vectorial, entonces la inclusi´on

U → V u 7 → u

es lineal. 2.- La aplicaci´on definida por

Kn^ → Kn (α 1 ,... , αn) 7 → (α 1 ,... , αp, 0 ,... , 0) p ≤ n

es lineal. 3.- V = R^2. Las siguientes aplicaciones, estudiadas en el curso de Geometr´ıa, son lineales: rotaci´on de centro O, simetr´ıa de eje que pasa por 0, homotecia de centro 0. 4.- Si V = P espacio de las funciones polinomiales. Las siguientes aplicaciones son lineales:

D : P → P p 7 → p′

Dn^ : P → P p 7 → p(n)

5.- Consideremos V = C^0 ([0, 1], R) = {f : [0, 1] → R continua}. Las siguientes aplicaciones son lineales:

C^0 ([0, 1], R) → R f 7 → f (a), a ∈ [0, 1]

f 7 →

0

f (t)dt.

12 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

La aplicaci´on f → max x∈[0,1]

|f (x)| no es lineal. 6.- Consideremos el sistema  



a 11 ξ 1 + a 12 ξ 2 + · · · + a 1 mξm = b 1 .. .

an 1 ξ 1 + an 2 ξ 2 + · · · + anmξm = bn

(I.3.1)

Planteando a 1 =(a 11 , a 21 ,... , an 1 ) ∈ Kn, .. . am =(a 1 m, a 2 m,... , anm) ∈ Kn, b =(b 1 , b 2 ,... , bn) ∈ Kn.

La escritura vectorial de (I.3.1) est´a dada por ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + · · · + ξmam = b. Se asocia a (I.3.1) la aplicaci´on lineal

a : Km^ → Km (ξ 1 ,... , ξm) 7 → ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + · · · + ξmam

Resolver el sistema (I.3.1) es equivalente a encontrar ξ = (ξ 1 ,... , ξm) ∈ Km^ tal que

a(ξ) = b.

7.- Sea f : V → W un isomorfismo, entonces f −^1 : W → V es lineal. En efecto

f −^1 (w 1 + w 2 ) = f −^1 (f (v 1 ) + f (v 2 )) = f −^1 (f (v 1 + v 2 )) = v 1 + v 2 = f −^1 (w 1 ) + f −^1 (w 2 ), f −^1 (αw) = f −^1 (αf (v)) = f −^1 (f (αv)) = αv = αf −^1 (w).

El resultado principal de este par´agrafo, est´a dado por: ”Si V y W son espacios vectoriales, {v 1 ,... , vn} una base de V , entonces para toda sucesi´on (w 1 , w 2 ,... , wn) de elementos de W , existe exactamente una aplicaci´on lineal f : V → W tal que f (vi) = wi, para i = 1, 2 ,... , n.

Definici´on I.3.4.- Sean P y Q dos subespacios de V. Si P ∩ Q = { 0 }, en lugar de P + Q, se escribe P ⊕ Q suma directa de P y Q.

Proposici´on I.3.5.- Si P ∩ Q = { 0 }, la aplicaci´on

P × Q → P ⊕ Q ⊂ V (x, y) 7 → x + y

es un isomorfismo.

Demostraci´on.- Ejercicio.

Definici´on I.3.6.- Sean P y Q dos subespacios de V. Se dice que P y Q son suplementarios, o bien P es suplementario de Q, si V = P ⊕ Q.

Ejemplo 8.- Consideremos el espacio de las funciones f : R → R. Sean

P = {f |f (t) = f (−t)} Q = {f |f (−t) = −f (t)}

14 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Demostraci´on.- a) Sea {v 1... , vm} una base de V , entonces {f (v 1 ),... , f (vm)} engendra Im(f ), por lo que Im(f ) es de generaci´on finita. En efecto, sea w ∈ Im(f ), por definici´on existe v ∈ V tal que f (v) = w. Se tiene

v =

∑^ m

i=

αivi ⇒ f (v) =

∑^ m

i=

αif (vi).

b)Sea {v 1 ,... , vn} una base de ker(f ) que se completa a {v 1 ,... , vn, vn+1,... , vm} base de V. Afirmamos que B = {f (vn+),... , f (vm)} es una base de Im(f ), con lo que quedar´ıa demostrada la f´ormula de dimensi´on. En efecto, B engendra Im(f ), por a) se tiene que {f (v 1 ),... , f (vm)} engendra Im(f ), ahora bien f (v 1 ) = · · · = f (vn) = 0. B es linealmente independiente, sean αn+1,... , αm ∈ K tales que

∑^ m

i=n+

αif (vi) = 0,

por consiguiente

0 = f

( (^) m ∑

i=n+

αivi

∑^ m

i=n+

αivi ∈ ker(f ).

Por lo tanto v ∈ ker(f ), tambi´en se escribe como

∑^ n

i=

βivi. De donde

∑^ n

i=

βivi =

∑^ m

i=n+

αivi,

por independencia lineal, se tiene necesariamente que los αi = 0. 

Corolario I.3.12.- Sea f : V → W lineal con V y W de dimensi´on finita, entonces: a) Si dim V > dim W , entonces f no es inyectiva. b) Si dim V < dim W , entonces f no es sobrectiva. c) Si dim V = dim W , las tres condiciones siguientes son equivalentes: i) f es inyectiva, ii) f es sobreyectiva, iii) f es biyectiva.

Demostraci´on.- Se utiliza la f´ormula de dimensi´on. a) dim ker(f ) = dim V − dim Im(f ) ≥ dim V − dim W > 0, de donde ker(f ) 6 = { 0 }, por consiguiente f no es inyectiva. b)dim Im(f ) = dim V −dim ker(f ) ≤ dim V < dim W , de donde Im(f ) 6 = W , por lo tanto f no es sobreyectiva. c) i) ⇐⇒ ii) dim ker(f ) = 0 ⇐⇒ dim W = dim Im(f ) ⇐⇒ f es sobreyectiva.

Por lo tanto una funci´on inyectiva es sobreyectiva y por consiguiente biyectiva, con lo que esta mostrada i)⇒iii). 

Remarca.- El corolario I.3.12 es falso si la dimensi´on de los espacios no es finita. Consideremos P el espacio de las funciones polinomiales reales. La aplicaci´on

D : P → P p 7 → p′

I.3 Aplicaciones Lineales 15

es sobreyectiva, pero no inyectiva.

Teorema I.3.13.- Fundamental.- Sea {v 1 ,... , vn} una base de V espacio vectorial. Entonces, para toda sucesi´on w 1 ,... , wn de elementos de W , existe exactamente una aplicaci´on lineal f : V → W , tal que

f (vi) = wi, i = 1,... , n.

“Una aplicaci´on lineal es enteramente determinada por el comportamiento de la imagen de su base”.

Demostraci´on.- a) Existencia.

Para todo v ∈ V , se tiene una escritura ´unica v =

∑^ n

i=

αivi, αi ∈ K. Se plantea

f (v) =

∑^ n

i=

αiwi,

funci´on bien determinada por que los αi son ´unicos. Por construcci´on se tiene f (vi) = wi para i = 1,... , n. Falta ver que f es lineal, sean v y v′^ dos elementos de V , entonces

v =

∑^ n

i=

αivi, v′^ =

∑^ n

i=

α′ ivi ⇒ v + v′^ =

∑^ n

i=

(αi + α′ i)vi.

Por consiguiente:

f (v) =

∑^ n

i=

αiwi f (v′) =

∑^ n

i=

α i′wi f (v + v′) =

∑^ n

i=

(αi + α′ i)vi.

Se constata que f (v + v′) = f (v) + f (v′), lo mismo para f (αv) = αf (v). b) Unicidad. Sean f y g aplicaciones lineales de V en W , tales que f (vi) = g(vi) para i = 1,... , n. Se tiene

f (v) = f (

∑^ n

i=

αivi) =

∑^ n

i=

αif (vi) =

∑^ n

i=

αig(vi) = g(

∑^ n

i=

αivi) = g(v). 

Proposici´on I.3.14.- Si V y W dos espacios de dimensi´on finita. Entonces, V y W son isomorfos, es decir existe un isomorfismo V → W , si y solamente si dim V = dim W.

Demostraci´on.- Si V y W son isomorfos, entonces dim V = dim W , caracter´ıstica de la f´ormula de di- mensi´on. Si dim V = dim W , sean {v 1 ,... , vn} y {w 1 ,... , wn} bases de V y W respectivamente. Por el teorema fundamental existe f : V → W lineal tal que f (vi) = wi. Utilizando la demostraci´on de la proposici´on f´ormula de dimensi´on para aplicaciones lineales, se constata que Im f = W , por consiguiente la aplicaci´on es biyectiva, consecuencia del corolario I.3.12.

Proposici´on I.3.15.- Sea {v 1 ,... , vn} una base de V , entonces la aplicaci´on

Hom(V, W ) ϕ −→ W × W × · · · × W = W n f 7 → (f (v 1 ), f (v 2 ),... , f (vn))

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demostraci´on.- ϕ es lineal:

ϕ(αf ) = ((αf )(v 1 ),... , (αf )(vn)) = α(f (v 1 ),... , f (vn)) = αϕ(f ), ϕ(f + g) = ((f + g)(v 1 ),... , (f + g)(vn)) = (f (v 1 ) + g(v 1 ),... , f (vn) + g(vn)) = (f (v 1 ),... , f (vn)) + (g(v 1 ),... , g(vn)) = ϕ(f ) + ϕ(g).