Ejercicios de ´
Algebra
2014-2015
1Dados los subespacios vectoriales de R3,
V1={(x1, x2, x3) : −5x1+x2+ 3x3= 0}V2= lin{(2,0,1),(10,1,3),(2,3,−5)},
calcular: a) la dimensi´on y una base de V1, b) la dimensi´on y una base de V2junto a sus ecuaciones impl´ıcitas, c) la
dimensi´on y una base de V1∩V2, d) la dimensi´on y una base de V1+V2.
2Hallar el n´ucleo y la imagen del operador lineal representado, en la base can´onica de C3, por la matriz:
2 0 2
3i3 0
1 + i1 1
.
3Demostrar que para cualquier forma bilineal antisim´etrica ωen R3, existe un ´unico vector uen R3tal que,
ω(x,y) = det(u,x,y),
para todos los vectores x,yde R3.
4Calcular los valores y vectores propios de la matriz,
100
i0 1
i−1 0
.
5Sea fun operador diagonalizable con autovalores {λ1, λ2, . . . , λn}en un espacio lineal Vde dimensi´on n. Si
{x1, x2, . . . , xn}es una base de Vformada por vectores propios de f,f(xi) = λixipara i= 1,2, . . . , n, se pide
a) El espectro, los vectores propios y el determinante del operador f3.
b) Si fes invertible, el espectro y los vectores propios del operador inverso f−1.
6Dado el subespacio lineal de C3,W={(x1, x2, x3) : x1+x2+ix3= 0}, se pide: a) una base ortonormal de cada
uno de los subespacios WyW⊥, b) la matriz, en la base can´onica de C3, de los proyectores ortogonales sobre Wy
W⊥, c) la proyecci´on ortogonal del vector (1,1,1) sobre WyW⊥y d) hallar la matriz, en la base can´onica de C3, de
un operador autoadjunto cuya traza valga 5 y tenga a W⊥como subespacio propio con autovalor 1.
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