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algebra lineal vectorial y eucladiana para bachilleres
Tipo: Apuntes
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p a r c i a l p a r a o b t e n e r l a p r o m o c i ó n a
i
L a s leyes del Algebra V e c t o r i a l asociadas al c o n j u n t o de los s e g m e n t o s dirigidos del plano ( o del e s p a c i o ) , en conexión con u n p r o d u c t o i n t e r i o r , p e r m i t e n d e m o s t r a r una g r a n v a r i e d a d d e proposiciones y t e o r e m a s de [a G e o m e t r í a Clásica E u c l i d i a n a , u t i l i z a n d o p r o c e d i m i e n t o s y t é c n i c a s r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s.
Desde u n p u n t o de v i s t a d i d á c t i c o y p e d a g ó g i c o , surge el p r o b l e m a d e e x a m i n a r h a s t a c¡ué p u n t o es posible r e c u p e r a r g r a n p a r t e d e l a r s e n a l d e ideas - f r u c t í f e r a s que p r o p o r c i o n a b a n a o t r a s g e n e r a c i o n e s t e x t o s de G e o m e t r í a M é t r i c a y q u e hoy por hoy se h a l l a n s e p u l t a d o s b a j o los e s c o m b r o s de la l l a m a d a " M a t e m á t i c a M o d e r n a ' 1.
En las p á g i n a s g u e s i g u e n m o s t r a m o s a t r a v é s de u n e j e m p l o - l a carac- t e r i z a c i ó n V e c t o r i a l d e l O r t o c e n t r o d e un t r i á n g u l o — g u e es p o s i b l e escoger u n s e n d e r o , e n t r e los m ú l t i p l e s e x i s t e n t e s , q u e i l u m i n a d e m a n e r a s i m u l t á n e a v a r i o s a s p e c t o s d e u n a m i s m a s i t u a c i ó n , a l t i e m p o g u e nos c o n e c t a con u n a r a m a f a s c i n a n t e de la M a t e m á t i c a : £1 A n á - l i s i s V e c t o r i a l.
iii
s e g m e n t o A8 de la g e o m e t r í a a n a l / t i c a y se d e s i g n a por | A B Í ó l c |. S i A y B son de c o o r d e n a d a s , y<) , , y * ) , i - e s p e c t i v a m e n t e , r e s u l t a claro que
i Á B ) = ( A T c f + Í A - y f
i n d i c a d a por el á n g u l o de i n c l i n a c i ó n -J2_ d e la r e c t a q u e p a s a p o r los puntos A y B_._
t u d , s e n t i d o y d i r e c c i ó n. E n t a l caso los p u n t o s A , B , C y D s o n los v é r t i c e s d e u n p a r a l e l o c j r a m o ( F i g. 2 ).
Fig.(2)
iv
D a d o u n vector A B en el plano existe u n ónico v e c t o r O C i g u a l a l v e c t o r A B t a l que el punto 0 coincide con el o r i g e n óe c o o r d e n a d a s. E s t a c a r a c - t e r í s t i c a f u n d a m e n t a l p e r m i t e e f e c t u a r l a t r a d u c c i ó n analítica, C f i g. 3 )
ÁB = OC = " c = ( x. y )
A q u í I c I 2 = X^2 - + y z^ , t a n = -y / x , x ^ o.
Suma. D a d o s d o s v e c t o r e s AB y EF , s i e m p r e es p o s i b l e c o l o c a r l o s de t a l f o r m a cjue el o r i g e n d e u n o d e e l l o s c o i n c i d a c o n e l e x t r e m o d e l o t r o ( F i g. 4 )
vi
( n ú m e r o r e a l ) d e f i n i m o s X c como el v e c t o r c u y a l o n g i t u d es l " X l v e c e s la l o n g i t u d d e C y c u y o s e n t i d o es i g u a l u o p u e s t o a l d e C según sea \ > o o' A < 0 ( Fig. 5 ). Los v e c t o r e s C y X c t i e n e n la m i s m a d i r e c c i ó n si X ^ O ( s o n p a r a l e l o s ).
De la f i g. se desprende que X c = ( X x ,.
<m ^^ —^ Dados los v e c t o r e s C - ( x , t f ) , d = ( y ' ) , e =• C X M^ , y ) y los esca- lares 0£. , J3 , son v á l i d a s l a s leyes v e c t o r i a l e s
( S i ) c + el =• cí + c C c o n m u t a t i v i d a d p a r a l a s u m a ) (S2.) ( c + d ) + e = " c + ( d + ~ e ) ( a s o c i a t i v i d a d ) ( 5 3 ) E x i s t e u n v e c t o r t a l q u e c + Í7 =: ^ p a r a t o d o v e c t o r ~c. ( 5 4 ) Para c a d a C hav u n v e c t o r l u t a l q u e c + co - K¡
E s f á c i l c o n s t a t a r c|ue J j = ( 0 , 0 ) y u> = í - X , - i / ) ; es el v e c - t o r nulo y a d o p t a m o s el c o n v e n i o o¡ue q carece d e d i r e c c i ó n y s e n - t i d o ; uü es e l opuesto del v e c t o r ~C.
( M i ) 06 ( Z + cí ) ~ OLc + a c í ( d i s t r i b u í i v i o l a d r e s p e c t o a ¡a suma v e c t o n a I ). ( M 2 ) (OC + J3 ) C — OCc + fìc ( d i s t r i b u t ì v i d a d r e s p e c t o a la S u m a e s c a l a r ). ( i v b ) (OLji) c = a í j 3 c ) = J 3 ( a c ) í a s o c i a t i v i d a d r e s p e c t o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r ). ClVU) 1 c = C.
Y '
Y
Fig.(6)
E l ángulo -9- e n t r e dos v e c t o r e s ~c y d ( d e o r i g e n c o m ú n O ) v i e n e d a d o por la expresión (Fig. 6 )
eos -e- = (^) ( x 1 + ^) x xi/z^ (%^1 "i,z -^ y t f + y 1 ) V z
D e d o s v e c t o r e s c y ol n o p a r a l e l o s y p e r t e n e c i e n t e s a l p l a n o c a r -
s u c e s i v o h a r e m o s é n f a s i s e n el
T E O R E M A i. S i Z y "3 f o r m a n u n a b a s e p a r a e l p l a n o y e es c u a l q u i e r v e c t o r n o n u l o e n t o n c e s e x i s t e n e s c a l a r e s , J ^ t. , n o s i m u l t á n e a m e n t e n u l o s t a l e s q u e
e = i C + J X z d
D i c h o d e o t r o m o d o ; e es u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s v e c t o r e s C y "3.
a d e m a s se s a t i s f a c e l a i g u a l d a d v e c t o r i a l
e n t o n c e s
L a b a s e c a n ó n i c a p a r a el p l a n o e s t á f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s t = H , 0 ) ; j — C 0 , 0 y , v a l e l a d e s c o m p o s i c i ó n ( F i g. 7 )
= % ( 1 , 0 ) + y ( o (^) ( 1 )
L o s c o n c e p t o s y p r o p o s i c i o n e s p r e c e d e n t e s s e g e n e r a l i z a n s i n d i f i - c u l t a d a l e s p a c i o e u c l i d i a n o t r i d i m e n s i o n a l. N o o b s t a n t e , e s b u e n o o b s e r v a r que l a d i r e c c i o ' n d e u n v e c t o r e s t á d e t e r m i n a d a p o r d o s á n - g u l o s d i r e c t o r e s c u a l e s q u i e r a d e los t r e s p o s i b l e s. ( F i q. 8 )
xii
(Vi) c x d =^ O si y solo si c y d s o n p a r a l e l o s (V2) C * 3 = - o í x ~c ( a n t i c o n m u t a t i v i d a d ) ( V 3 ) Oí ( c x 3T) = Q¿c x d ^ c x OLd ( h o m o g e n e i d a d ) ( V 4 ) c * x ( d + f ) = c x d + ( d i s t r i J o u t i v i d a d ) ( V 5 ) | a x £ T = I S i N t í 2 - ( a - £ ) 2 ( L a g r a n g e ) (Ve) c x d
l e x 3! _= \t_ IcN S e n - 0 -
F i g. ( 9 )
f = ( tC \ - e n ese o r d e n - es e l n ú m e r o r e a l ( c x d ) ' f ,
X t U
d a d o p o r el d e t e r m i n a n t e
( t * 3 ) - f =
x y Z. X^1 l j ' 21'
E s c o n v e n i e n t e d e s t a c a r el c a r á c t e r cíclico d e l p r o d u c t o m i x t o a s i ,
U n a d e l a s o p e r a c i o n e s m á s i m p o r t a n t e s del a n á l i s i s v e c t o r i a l lo j u e g a el p r o d u c t o
C X ( ^ Í ) = ( c -? ) d - Cc-3)? ,
C l a r a m e n t e c x ( d x f ) ^ ( c x d l ^ f ( en g e n e r a l )
p u e s ,
( c x d ) x f = - £? x ( * x d ) } = - £ C f - d ) c - (? • c } = ( f c ) d - (? d ) t
r - a = > ( b - " r ) r - a = X b - X r 7 - a + x b 1 + x
S e a P el p i e d e l a p e r p e n d i c u l a r b a j a d a d e s d e O a l l a d o A B y n o t e m o s por Á B = b - a = t. Para l a f i g. ( 2. 1 ) y ^ - c < o , pero p u e d e n p r e s e n t a r s e o t r a s p o s i b i l i d a d e s. ( F i g. 2. 2 )
3
AP _ | 3 I C o s a _ l a i l e i Cos oc _ __ a - e PB iìoJ C o s | £ l l? I C o s J * b - c
y por e n d e , t e n i e n d o e n m e n t e ( 1 ) y (2.) '.
c x ( a x H" ) c - ( £ - 5 )
De m a n e r a a n á l o g a , si Q y T son los pies d é l a s o t r a s d o s p e r p e n d i - c u l a r e s ( Figs. 3. 1 y 3. 2 )
oc-i Pp + ocz r ^ = a
Al s u s t i t u i r ( 4 ) y ( 5 ) e n ( 7 ) , o b t e n e m o s
I c l 2
a-i - ocz •&. 1
V.
c - b
a • a a • b
b - b
r ( a , j o ) /. (^) n i s i 2 ' (10)
A a i o
a b lì?
a • b i £ l 2 (11)
A r ( 3 , £ ) (12)
E s t o e s ,
o h = oci T> = h (^) P ,
O B S E R V A C I O N 1 : r ( a / £ ) - l a l M S ì 2 - = ( a x £ ) \
