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ejercicio de algebra linial ejercio muy eficaz
Tipo: Apuntes
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Consider the ellipse x^2 + 3y^2 = 1
We want to know at which points the distance d = √x^2 + y^2 is min- imal Mathematically: We want to minimize √x^2 + y^2 ; at the same time the con- dition x^2 + 3y^2 = 1 should hold: the point M is on the ellipse. More generally, consider the functions: f : Rn^ → R and g : Rn^ → R. The problem of constrained extrema is that of minimizing or maximizing
f (x) subject to the condition g(x) = 0. In our case f (x , y) = √x^2 + y^2 and g(x , y) = x^2 + 3y^2 − 1
“Lagrange multipliers”
Let f : Rn^ → R and g : Rn^ → R be C^1 functions. Define the set
S = {x ∈ Rn/g(x) = 0}.
the constraint g if f (x 0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ S. We say that x 0 ∈ S is a global minimum for f subject to the constraint g if f (x 0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ S.
real constants x1 min, x1 max, · · · , xn min, xn max such that the following holds: for all x = (x 1 , · · · , xn) ∈ S we have x1 min ≤ x 1 ≤ x1 max, · · · , xn min ≤ xn ≤ xn max.
(i) S is bounded. (ii) ∀x ∈ S we have g′(x) 6 = ~0.
Then we have
(a) S contains at least a global maximum and a global minimum for f subject to the constraint g.
(2x 2 y) = λ (2x 6 y)
⇒
2 x = λ 2 x 2 y = λ 6 y
x(1 − λ) = 0 (1) y(1 − 3 λ) = 0 (2) If x = 0, then condition x^2 + 3y^2 = 1 gives ⇒ y = ± √^13 Substituting in (2) gives λ =^13 We have the critical points: A =^ ( 0 , √^13 ) and B =^ ( 0 , − √^13 ).
For A and B the value of λ =^13 If x 6 = 0, then λ = 1 because of (1). Substituting in (2) gives y = 0 The condition x^2 + 3y^2 − 1 = 0 gives x = ± 1 We have the critical points: C = (1 , 0) and D = (− 1 , 0). For C and D the value of λ = 1
To find the global minimum of the function f subject to the condition g we compute f (x) for all critical points x and we take the smallest value. In our case there are two global minima that correspond to the points A and B. To find the global maximum of the function f subject to the condition g we compute f (x) for all critical points x and we take the largest value. In our case there are two global maxima that correspond to the points C and D.
