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geométrica y más Resúmenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Segunda edición
ECOE EDICIONES^ Róbinson Castro PucheRóbinson Castro Puche
Álgebra moderna
e introducción al álgebra geométrica
Róbinson Castro Puche. Licenciado en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, Indiana, USA. Profesor titular de la Universidad de Córdoba, Montería, donde además ejerció las funciones de Secretario Académico de la Facultad de Ciencias, Director del departamento de Matemáticas y Director de la oficina de Registro y Admisiones. Es además, docente adscrito a la Universidad Nacional de Colombia, 1993 a
´Indice general
EL AUTOR V
PRESENTACI ´ON VII
PREFACIO
Si nos ubicamos en la posici´on del maestro, de ense˜nar la teor´ıa o en la del epistem´ologo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matem´aticos; el problema consiste en saber si las conexiones matem´aticas son engendradas por la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior. Jean Piaget en su disertaci´on, con motivo del Coloquio de la Rochette de Melun en 1952, refiri´endose a las estructuras matem´aticas; expres´o: Un grupo es un sistema operatorio; la cuesti´on estriba en saber si los elementos de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente a esta, o si, por el contrario, es la acci´on de la estructura la que confiere a los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicol´ogico consiste en establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son el resultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellas operaciones que se aplican a ellos. Para dar respuesta al dilema, continu´o diciendo: En vez de definir los elementos aisladamente por convenio, la definici´on estructural consiste en carcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre s´ı, en fun- ci´on del sistema. Y la definici´on estructural de un elemento har´a las veces de demostraci´on de la necesidad de este elemento, en cuanto est´a concebido como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes. Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de este trabajo es poner a la consideraci´on de la comunidad matem´atica un texto que proporcione a los estudiantes las bases te´oricas del ´algebra moderna que les permita abordar con ´exito una disciplina con un alto grado de abstracci´on. Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental para el estudio de teor´ıas m´as avanzadas relacionadas con el desarrollo axiom´atico de las matem´aticas. En concordancia con lo anterior, el texto est´a dise˜nado para usarlo co- mo guia para un primer curso de ´algebra moderna. Se encuentra dividido
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x PREFACIO
en seis cap´ıtulos. En el primero se estudian los aspectos m´as relevantes de la aritm´etica elemental, comenzando con la caracterizaci´on de los n´umeros naturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir del concepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con una presentaci´on suscinta de los sistemas de numerci´on de base diferente a la decimal. Los cap´ıtulos segundo y tercero est´an dedicados al desarrollo de los gru- pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero he considerado que desde el punto de vista did´actico los subgrupos normales se introduzcan a trav´es de los automorfismos internos. Los cap´ıtulos cuarto y quinto est´an dedicados a los anillos. El cuarto se inicia con una descripci´on detallado de los enteros m´odulo n, se extiende el estudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teor´ıa correspondiente a las estructuras algebraicas hasta la noci´on de campo. El quinto correponde al anillo de los polinomios. El ´algebra geom´etrica es un t´opico que en la actualidad no cuenta con una amplia difusi´on como herramienta matem´atica aplicada a la soluci´on de algunos problemas de la ingenier´ıa; donde el an´alisis vectorial est´andar, en dos y tres dimensiones, y el ´algebra matricial son las ayudas ampliamente usadas. Pero lo cierto es que cada d´ıa aumenta el n´umero de investigadores convencidos de la utilidad de esta rama descubierta por G¨unther Grassmann. Presentar las bases m´ınimas de esta teor´ıa, tiene como prop´osito invitar a los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im- portancia de esta herrmienta en la reformulaci´on de algunos conceptos de la f´ısica.
El autor. Monter´ıa, enero de 2013.
Cap´ıtulo 1
TEOR´IA DE LA
ARITM´ETICA
Introducci´on
El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritm´eticas han sido objeto de an´alisis. El inter´es primario ser´a estudiar los fundamentos de la aritm´etica elemental. Se supone conocido el desarrollo axiom´atico de los naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos como la colecci´on { 0 , 1 , 2 ,... , n,... } y una operaci´on unaria, la funci´on siguiente o sucesor que verifica los postulados de Peano:
- Cero es un n´umero.
- El sucesor de un n´umero es ´unico.
- Cero no es el sucesor de ning´un n´umero.
- Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.
- El principio de inducci´on completa: Dado un conjunto M de n´umeros naturales con las dos propiedades siguientes:
a) Cero pertenece a M. b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) tambi´en pertenece a M;
entonces M contiene a todos los n´umeros naturales.
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Otros títulos de interés:
Didáctica de las matemáticas Robinson Castro Puche
Fundamentos de matemática Francisco Soler Fajardo
Matemáticas para informática Ismael Gutíerrez García
Geometría desarrollo axiomático Ana Berenice Guerrero
Matemáticas conceptos previos al cálculo Francisco Soler F. Lucio Rojar Cortés Luis Enrique Rojas C.
Introducción al álgebra lineal Fernando Mesa Oscar Fernández Sánchez Edgar A. Valencia Angulo
