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Universidad Católica de Salta CIVU 2. Facultad de Ingeniería
Tema II: Polinomios
Expresiones algebraicas
Definición: Se llamaexpresión algebraica a todo conjunto de términos representados por letras y
números, relacionados entre sí por medio de las siguientes operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:
(𝑥 + 𝑦)^2 ; 4𝑥 − 𝜋√𝑏 + 2𝑦; ℎ^2 = 𝑥^2 + 𝑦^2 ;
En una expresión algebraica, identificaremos:
Variables: son las letras que aparecen en dicha expresión algebraica. Por ejemplo 𝑥, 𝑦, ℎ …
Reciben ese nombre pues pueden tomar “ varios” valores.
Constantes: son los números o expresiones de un número que tienen un valordeterminado. Por
ejemplo. 4. 𝜋, 2, 𝑒…
Definición: Se llama monomio a aquellas expresiones algebraicas en las cuales no aparecen sumas ni restas. Es decir, las variables y las constantes, están multiplicadas entre sí.
Por ejemplo, son monomios las siguientes expresiones: 3𝑥^2 𝑦; 32 𝑥𝑡; 𝜋𝑟^2 ; 2√3𝑎𝑡^3.
Las constantes de los monomios, se denominan coeficientes, por ejemplo, en los monomios anteriores, las constantes son: 3, 32 , 𝜋, 2√3, respectivamente. El grado de un monomio, se calcula sumando los exponentes de las variables. Por ejemplo:
3 𝑥^2 𝑦 Monomio de grado 3
𝑥𝑡^ Monomio de grado 2
𝜋𝑟^2 Monomio de grado 2
2 √ 3 𝑎𝑡^3 Monomio de grado 4
Si el monomio es de una sola variable, su grado está dado por el exponente de dicha variable.
¿Qué grado tiene el monomio igual a 5? ¿Por qué? La respuesta es que son monomios de grado 0 pues 5 = 5𝑥^0 = 5 ⋅ 1
Definición: Dos monomios se llaman semejantes, si tienen el mismo grado, con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. 3𝑥^2 𝑦^3 y −2𝑥^2 𝑦^3 son monomios semejantes. También son semejantes 4𝑥^5 y (^) √2𝑥^5. No son semejantes −2𝑥^5 y 3𝑥^2 𝑦^3 , dado que, si bien tienen el mismo grado, no tienen las mismas variables.
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Polinomios
Definición: Un polinomio es la suma algebraica de monomios, llamados términos del polinomio. Por ejemplo: son polinomios las siguientes expresiones algebraicas:
a. 3𝑥^2 − 5𝑦 + 2𝑥𝑦 b. 𝑥^5 − 3𝑥^2 + √5𝑥 − 2
Un polinomio con dos términos se llama binomio, un polinomio con tres términos se llama trinomio, un polinomio con cuatro términos se llama cuatrinomio, y si tiene cinco términos o más se llamará polinomio.
Definición: Un polinomio esta ordenado con relación a una variable si los exponentes de dicha variable están en orden ascendente o descendente, leído de izquierda a derecha.
Orden ascendente: Un polinomio se ordena de forma ascendente con respecto a una variable, si los exponentes de esta variable aparecen de menor a mayor los términos del polinomio.
Orden descendente: Un polinomio se ordena en forma descendente con respecto a una variable cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor.
Ejemplo
Ordenar el siguiente polinomio 2𝑥^3 𝑦 – 5𝑥𝑦^3 + 2𝑥^2 𝑦^2 – 7 con respecto a la variable 𝑥 en orden ascendente y descendente.
En orden ascendente el polinomio queda:
- 7 – 5𝑥𝑦^3 + 2𝑥^2 𝑦^2 + 2𝑥^3 𝑦
En orden descendente el polinomio queda:
2𝑥^3 𝑦 + 2𝑥^2 𝑦^2 – 5𝑥𝑦^3 – 7
Definición: Un polinomio es completo si al ordenarlo con respecto a una variable aparecen sus exponentes en forma consecutiva, desde 0 hasta el mayor exponente de la variable.
a. El polinomio 2𝑥^3 𝑦 + 2𝑥^2 𝑦^2 – 5𝑥𝑦^3 – 7 es completo con respecto a la variable 𝑥.
b. El polinomio 5𝑎^3 𝑏 + 2𝑎^2 𝑏^2 + 4𝑏^3 – 7 no es completo con respecto a la variable 𝑎 porque el término con grado relativo 2 con respecto a esta variable no está en el polinomio. Por otro lado si es completo con respecto a la variable 𝑏, lo cual se puede observar si lo ordenamos con respecto a esta variable – 7 + 5𝑎^3 𝑏 + 2𝑎^2 𝑏^2 + 4𝑏^3.
Definición: Se llama polinomio de variable 𝑥, a toda expresión algebraica de la forma:
𝑃(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥^1 + 𝑎 2 𝑥^2 + 𝑎 3 𝑥^3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1^ + 𝑎𝑛𝑥𝑛, para 𝑛 ∈ ℕ
Donde:
𝑎 0 , 𝑎1, 𝑎 2 , … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 son números reales y se llamarán coeficientes del polinomio. 𝑥 es la variable del polinomio. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, el polinomio se dice de grado 𝑛 y el coeficiente 𝑎𝑛 se llama coeficiente principal. El término 𝑎 0 se llama término independiente porque en él no aparece la variable.
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𝑃(𝑥)^ = 5 𝑥^4 − 4 𝑥^2 + 2 𝑥 − 3
𝑄(𝑥)^ = 3 𝑥^4 − 2 𝑥^3 + 3 𝑥 − 4
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 8𝑥^4 − 2𝑥^3 − 4𝑥^2 + 5𝑥 − 7
Otra forma de realizarlo 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (5𝑥^4 − 4𝑥^2 + 2𝑥 − 3) + (3𝑥^4 − 2𝑥^3 + 3𝑥 − 4) = (5𝑥^4 + 3𝑥^4 ) + (−2𝑥^3 ) + (−4𝑥^2 ) + (2𝑥 + 3𝑥) + (−3 − 4) = 8𝑥^4 − 2𝑥^3 − 4𝑥^2 + 5𝑥 − 7 Observe que llegamos al mismo resultado. Simplemente se ha aplicado primero la propiedad asociativa de monomios semejantes, luego se han sumado o restado los coeficientes.
- Diferencia de Polinomios: Se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo (el opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos sus términos). Veamos un ejemplo:
𝑇(𝑥) − 𝑆(𝑥) = (7𝑥^3 + 4𝑥 − 3 ) − (2𝑥^2 − 3𝑥 + 2) = (7𝑥^3 + 4𝑥 − 3 ) + (−2𝑥^2 + 3𝑥 − 2) = (7𝑥^3 ) + (−2𝑥^2 ) + (4𝑥 + 3𝑥) + (−3 − 2) = 7𝑥^3 − 2𝑥^2 + 7𝑥 − 5
- Producto de polinomios: Se obtiene multiplicando cada término del polinomio por cada término del otro polinomio. O sea que se aplica la propiedad distributiva. El grado del polinomio resultado es igual a la suma de los grados de los polinomios dados. Como lo hicimos en el caso anterior, haremos uso en este caso de la propiedad de la potenciación para el producto de potencias de igual base. Recordamos que si se desean multiplicar dos potencias de igual base, el resultado es una potencia, cuya base es la misma que la de los factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Es decir: 𝑎𝑚^ ⋅ 𝑎𝑛^ = 𝑎𝑚+𝑛
Por ejemplo, si multiplicamos dos monomios: (−3𝑥^2 ) ⋅ (2𝑥) = (−3 ⋅ 2)(𝑥^2 ⋅ 𝑥) = −6𝑥2+1^ = −6𝑥^3
Ahora, si multiplicamos un monomio por un polinomio:
Ejemplo: (−3𝑥)(4𝑥^2 + 2𝑥 − 3) = (−3𝑥) ⋅ 4𝑥^2 + (−3𝑥) ⋅ 2𝑥 + (−3𝑥) ⋅ (−3) = −12𝑥^3 − 6𝑥^2 + 9𝑥
Para multiplicar polinomios se trabaja de la misma forma que en el caso anterior: Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥^3 + 5𝑥 − 1 y 𝑄(𝑥) = 4𝑥^2 + 2𝑥 + 3. Calcular 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥^3 + 5𝑥 − 1) ⋅ (4𝑥^2 + 2𝑥 + 3)
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= (2𝑥^3 ) ⋅ (4𝑥^2 + 2𝑥 + 3) + (5𝑥) ⋅ (4𝑥^2 + 2𝑥 + 3) + (−1) ⋅ (4𝑥^2 + 2𝑥 + 3)
= (8𝑥^5 + 4𝑥^4 + 6𝑥^3 ) + (20𝑥^3 + 10𝑥^2 + 15𝑥) + (−4𝑥^2 − 2𝑥 − 3)
= 8𝑥^5 + 4𝑥^4 + (6𝑥^3 + 20𝑥^3 ) + (10𝑥^2 − 4𝑥^2 ) + (15𝑥 − 2𝑥) + (−3)
= 8𝑥^5 + 4𝑥^4 + 26𝑥^3 + 6𝑥^2 + 13𝑥 − 3
Otra Forma de Multiplicar: Se colocan los polinomios como si fuera producto de dos números y se realiza los productos entre los términos de uno con término del otro, esos resultados se colocan de manera que queden en columnas los términos semejantes para poder sumarlos
- División de Polinomios: Para efectuar la división de polinomios el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Deben ordenarse en forma decreciente, y el polinomio dividendo debe estar completo. Regla: Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se lo resta del dividendo, obteniéndose un resto de grado menor que el dividendo. Se repite el procedimiento entre el resto y el divisor hasta llegar a obtener un resto de menor grado que el divisor. Expresado simbólicamente:
𝑃(𝑥) es el polinomio dividendo
𝑄(𝑥) polinomio divisor
𝐶(𝑥) es el polinomio cociente
𝑅(𝑥) es el resto
Para verificar que realizamos correctamente la división, lo comprobamos a través del Algoritmo de la División: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) Veamos un ejemplo:
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En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado decrecientemente. En la segunda fila se escribe hacia la izquierda el opuesto del número 𝑎. En la tercera fila se escriben los coeficientes del resultado que se van obteniendo así:
- El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo
- El segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por a (cambiado de signo) y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo, luego se repite este procedimiento para obtener los siguientes coeficientes; el último corresponde al resto de la división y todos los anteriores son los coeficientes del polinomio resultado quien tiene un grado menor que el dividendo. Ejemplo: Calcular el cociente y el resto de la división de 𝑃(𝑥) = 2𝑥^2 − 5𝑥 + 4 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 3.
2 -5 4 Coeficientes del dividendo
Valor de 𝑎 3 6 3
2 1 7
Se baja el primer coeficiente de 𝑃(𝑥) (en este caso 2), se multiplica al mismo por 3. El resultado se ubica debajo del segundo coeficiente de 𝑃(𝑥) y se suma en vertical. Se repiten estos pasos reiteradamente hasta agotar los coeficientes.
Así el cociente será 𝐶(𝑥) = 2𝑥 + 1 y el resto será 𝑅(𝑥) = 7.
Así escribiremos que 2𝑥^2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) + 7 , según el Algoritmo del Cociente.
Veamos otro ejemplo:
Calcular el cociente y el resto de la siguiente división
(3𝑥^3 − 2𝑥^4 + 𝑥): (𝑥 + 1)
Lo primero que hacemos es ordenar y completar el polinomio dividendo
𝑃(𝑥) = −2𝑥^4 + 3𝑥^3 + 0𝑥^2 + 𝑥 + 0
Al divisor, lo podemos escribir de la siguiente manera, para identificar el valor 𝑎
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1)
Por lo tanto 𝑎 = −1.
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Aplicamos la Regla:
-2 3 0 1 0
Así tendremos que el cociente es 𝑪(𝒙) = −𝟐𝒙𝟑^ + 𝟓𝒙𝟐^ − 𝟓𝒙 + 𝟔 y el resto es 𝑹(𝒙) = −𝟔. Queda para el alumno verificar el resultado obtenido según el Algoritmo del Cociente
Teorema del resto
Este teorema, nos permite verificar el resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥) por otro de la forma (𝑥 − 𝑎).
Para trabajar este teorema, debemos dar una definición previa:
Definición: El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎, es el valor que se obtiene al reemplazar en el polinomio 𝑥, por el valor 𝑎. Se identifica como 𝑃(𝑎).
Veamos algunos ejemplos:
a. Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑥) = 2𝑥^2 − 5𝑥 + 4, para 𝑥 = 3. Obtenemos: 𝑃(3) = 2(3)^2 − 5(3) + 4 = 7.
b. Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑥) = 3𝑥^3 − 2𝑥^4 + 𝑥, para 𝑥 = −1. Obtenemos: 𝑃(−1) = 3(−1)^3 − 2(−1)^4 + (−1) = −
Observación: los valores obtenidos anteriormente, coinciden con los restos de las divisiones de los respectivos polinomios, por 𝑥 − 3 y por 𝑥 + 1, respectivamente. Este resultado no es casual, según veremos a continuación.
El resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎, es igual al valor numérico del polinomio cuando 𝑥 = 𝑎. Es decir 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑎).
Teorema del resto : Si dividimos un polinomio 𝑃(𝑥) por otro de la forma 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑎), resto de dicho cociente es el valor numérico de 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎. Esto es:
𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑎).
Por ejemplo:
a. Calcular el resto de la división de 𝑃(𝑥) = 𝑥^3 − 8𝑥 + 3 por (𝑥 − 2)
Por el Teorema del Resto, obtenemos que
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Al polinomio 𝐶(𝑥) lo podemos escribir de la siguiente manera 2𝑥 + 8 = 2(𝑥 + 4). De esta manera, el polinomio original queda escrito de la siguiente manera:
𝑃(𝑥) = 2𝑥^2 + 2𝑥 − 24 = 2(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
Esta última expresión, se denomina factorización completa de 𝑃(𝑥).
Definición: Sea 𝑃(𝑥) un polinomio con coeficientes reales de grado 𝑛, entonces 𝑃(𝑥) tiene a lo sumo 𝑛 raíces. Supongamos que 𝑟 1 , 𝑟 2 , 𝑟 3 , … , 𝑟𝑛 son las 𝑛 raíces del polinomio 𝑃(𝑥) y 𝑎𝑛 su coeficiente principal, el polinomio 𝑃(𝑥) se puede factorizar de la siguiente manera:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑟 1 )(𝑥 − 𝑟 2 )(𝑥 − 𝑟 3 ) … (𝑥 − 𝑟𝑛)
Observaciones.
De acuerdo a estas últimas consideraciones, podemos decir que, en el polinomio analizado en el ejemplo anterior, −𝟒 y 𝟑 son raíces de 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐^ + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 (polinomio de grado 2)
Factorización de polinomios
Definición: Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios más simples, en lo posible de grado 1.
En general, la factorización la realizamos encontrando todas las raíces reales r del polinomio y
expresamos como factores a los polinomios de la forma (𝑥 − 𝑟).
Por ejemplo, el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥^2 + 2𝑥 − 24 = 2(𝑥 + 4)(𝑥 − 3), está factorizado, pues está escrito como producto de polinomios más sencillos.
Si hay raíces reales repetidas, el factor (𝑥 − 𝑟) aparecerá repetido el mismo número de veces, por lo que en la factorización estará elevado a una potencia que se corresponde con el número de veces que se repite la raíz. Por ejemplo:
𝑃(𝑥) = 𝑥^3 + 2𝑥^2 − 4𝑥 − 8 tiene por raíces 𝑟 1 = −2, 𝑟 2 = −2 y 𝑟 3 = 2. Vemos que 𝑟 1 = 𝑟 2.
La factorización quedaría como:
𝑃(𝑥) = 𝑥^3 + 2𝑥^2 − 4𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)^2 (𝑥 + 2)
Decimos que esta es la Factorización Completa en los reales. Sin embargo, no siempre se puede obtener la factorización completa en los reales cuando tenemos raíces complejas. Sin meternos en los Números Complejos, en este caso se realiza la factorización mientras se pueda.
Existen casos especiales para los cuales la factorización se puede realizar aplicando ciertas técnicas. Estos casos se conocen como Casos de Factoreo y los vamos a ver a continuación:
- Factor Común: Un número o una expresión algebraica es factor común de todos los términos de
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un polinomio cuando figura en todos ellos como factor. Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor común por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. Ejemplo:
a. 2𝑥^2 − 4𝑥 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 − 2 ⋅ 2𝑥, el factor común es 2𝑥, por lo tanto, la factorización queda: 2𝑥^2 − 4𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 2)
Verifíquelo aplicando la propiedad distributiva.
b. −12𝑥^6 + 6𝑥^5 − 15𝑥^3 = 3𝑥^3 (−4𝑥^3 + 2𝑥^2 − 5). Observe que se extrae la variable con el menor exponente.
c.
3 −^6
2 =^2
2 (^2
- Factor Común por Grupos: Se aplica generalmente a polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. Regla: Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se lo saca a su vez como factor común, quedando el polinomio como un producto de factores comunes. Ejemplo:
a. 𝑥⏟^5 − 2𝑥^4 + 3𝑥 − 6⏟ = 𝑥^4 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)(𝑥^4 + 3) b. 3𝑥⏟ 3 + 3𝑥^2 + 2𝑥 + 2⏟ = 3𝑥^2 (𝑥 + 1) + 2(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(3𝑥^2 + 2)
- Trinomio Cuadrado Perfecto: Definición: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. Al trinomio cuadrado perfecto se lo puede escribir como el cuadrado de un binomio formado por la suma o diferencia de sus bases.
( ⏟𝑎 ± 𝑏)^2 𝐸𝑥𝑝.𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚.𝐶𝑢𝑎𝑑.𝑃𝑒𝑟𝑓.
= 𝑎 ⏟^2 ± 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏^2
𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚. 𝐶𝑢𝑎𝑑.𝑃𝑒𝑟𝑓.
En este caso, la técnica es reconocer los tres términos (trinomio), que se encuentran en el lado derecho de la igualdad y llevarlos a la expresión que se encuentra en el lado izquierdo.
Ejemplo.
a. 𝑥^2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥^2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 𝑥 + 3^2 = (𝑥 + 3)^2 b. 𝑥^2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥^2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 𝑥 + 2^2 = (𝑥 − 2)^2
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La factorización resulta de la siguiente manera: 𝑥^3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥^2 − 2𝑥 + 4)
b. 𝑥^6 + 64 = 𝑥^6 + 2^6 no puede factorizarse.
Ejemplos de caso de factoreo combinados.
Para factorizar algunos polinomios, a veces debemos aplicar los diferentes casos de factoreo, hasta lograr una factorización completa.
Veamos algunos ejemplos.
a. 𝑃(𝑥) = 𝑥⏟^4 − 2𝑥^3 + 𝑥^2 𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁 𝑥^2
= 𝑥^2 (⏟𝑥^2 − 2 𝑥 + 1 )
𝑇𝑅𝐼𝑁𝑂𝑀𝐼𝑂 𝐶𝑈𝐴𝐷. 𝑃𝐸𝑅𝐹𝐸𝐶𝑇𝑂
= 𝑥^2 (𝑥 − 1 )^2
b. 𝑄(𝑥) = 𝑥⏟⏟^3 − 3𝑥^2 − 4𝑥 + 12⏟
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁 𝑃𝑂𝑅 𝐺𝑅𝑈𝑃𝑂𝑆
= 𝑥^2 (𝑥 − 3) − 4(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)^ (𝑥⏟^2 − 4)
𝐷𝐼𝐹.𝐷𝐸 𝐶𝑈𝐴𝐷. = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) En algunos casos es necesario aplicar la Regla de Ruffini y el Teorema de Resto para factorizar un polinomio.
c. Verificar que el binomio (𝑥 − 1) es un factor de 𝑇(𝑥) = −3𝑥^3 + 15𝑥^2 − 24𝑥 + 12. Factorizar en forma completa el polinomio planteado. Aplicamos el Teorema del Resto para ver si el resto de la división es igual a cero. Para ello calculamos el valor del polinomio 𝑇(𝑥) para 𝑥 = 1.
𝑇(1) = −3. 1^3 + 15. 1^2 − 24.1 + 12 = −3 + 15 − 24 + 12 = 0
Podemos aplicar la Regla de Ruffini para encontrar el cociente:
Así tenemos que el polinomio 𝑇(𝑥) puede escribirse como:
𝑇(𝑥) = −3𝑥^3 + 15𝑥^2 − 24𝑥 + 12 = (−3𝑥⏟^2 + 12𝑥 − 12) 𝐶𝑂𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸
Podemos intentar factorizar el polinomio cociente:
−3𝑥⏟^2 + 12𝑥 − 12 𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁
= −3 (𝑥⏟^2 − 4𝑥 + 4)
𝑇𝑅𝐼𝑁.𝐶𝑈𝐴𝐷.𝑃𝐸𝑅𝐹.
= −3(𝑥 − 2)^2
Entonces el polinomio 𝑇(𝑥) puede escribirse como:
𝑇(𝑥) = −3𝑥^3 + 15𝑥^2 − 24𝑥 + 12 = (−3𝑥^2 + 12𝑥 − 12)(𝑥 − 1) = −3(𝑥 − 2)^2 (𝑥 − 1)
Así hemos logrado una factorización completa del polinomio.
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d. 𝑆(𝑥) = 𝑥⏟^6 − 16𝑥^2 𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀Ú𝑁
= 𝑥^2 (𝑥⏟^4 − 16)
𝐷𝐼𝐹.𝐷𝐸 𝑃𝑂𝑇. 𝐷𝐸 𝐼𝐺𝑈𝐴𝐿 𝐸𝑋𝑃. (1)
= 𝑥^2 (𝑥 − 2) (𝑥⏟^3 + 2𝑥^2 + 4𝑥 + 8)
𝐹𝐴𝐶𝑇𝑂𝑅 𝐶𝑂𝑀𝑈𝑁 𝑃𝑂𝑅 𝐺𝑅𝑈𝑃𝑂𝑆 (2)
𝑆(𝑥) = 𝑥^2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥^2 + 2)
(1) 𝑥^4 − 16 se factoriza dividiendo el polinomio dado por el binomio (𝑥 − 2), aplicando la Regla de Ruffini, de la siguiente manera: El polinomio se puede factorizar como: 𝑥^4 − 16 = (𝑥 − 2)(𝑥^3 + 2𝑥^2 + 4𝑥 + 8)
(2) 𝑥⏟^3 + 2𝑥^2 + 4𝑥 + 8⏟ = 𝑥^2 (𝑥 + 2) + 2(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥^2 + 2)
Máximo Común Divisor de polinomios (MCD)
El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente numérico que es factor o divisor de los polinomios dados. Para hallar el MCD:
- Se factorizan los polinomios
- El MCD es el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia con que figuran. Ejemplo: Hallar el MCD de 8𝑥^2 − 16𝑥𝑦 + 8𝑦^2 y 4𝑥^2 − 4𝑦^2
- 8𝑥^2 − 16𝑥𝑦 + 8𝑦^2 = 8(𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 ) = 8 (𝑥 – 𝑦)^2 4𝑥^2 − 4𝑦^2 = 4(𝑥^2 − 𝑦^2 ) = 4 (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
- MCD = 4 (𝑥 – 𝑦)
Mínimo común múltiplo de polinomios (mcm) El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y coeficiente numérico que es múltiplo de todos los polinomios dados. Para hallar el mcm:
- Se factorizan los polinomios
- El mcm es el producto de todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente con que figuran. Ejemplo: Hallar el mcm de:
5𝑚𝑎 + 5𝑚𝑏 − 5𝑛𝑎 − 5𝑛𝑏 y 𝑚^2 𝑎^2 − 𝑚^2 𝑏^2 − 2𝑛𝑚𝑎^2 + 2𝑛𝑚𝑏^2 + 𝑛^2 𝑎^2 − 𝑛^2 𝑏^2
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de los denominadores, y los numeradores se obtienen dividiendo el mcm por el denominador correspondiente y el resultado se lo multiplica por el respectivo numerador.
Ejemplo: Reducir las siguientes expresiones racionales a mínimo común denominador
2𝑥𝑦 𝑎^2 − 𝑏^2 ;^
𝑎^2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 ;^
Factorear los denominadores: 𝑎^2 − 𝑏^2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏); 𝑎^2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 = (𝑎 − 𝑏)^2 ; 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
El mcm de los denominadores es el producto de todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con que figuran, por lo tanto: El mcm es: (^) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)^2
Obtener los respectivos numeradores:
2𝑥𝑦 𝑎^2 − 𝑏^2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) →^
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)^2
𝑎^2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 =
(𝑎 − 𝑏)^2 →^
3(𝑎 + 𝑏)^2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)^2
𝑎 + 𝑏 →^
5(𝑎 − 𝑏)^2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)^2
Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales
- Suma: a) Primer Caso: Cuando las fracciones tienen igual denominador, la suma es otra fracción de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores dados. 𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) +
Ejemplo: Segundo Caso: Cuando los denominadores son distintos, las fracciones deben reducirse previamente a un mínimo común denominador y luego se procede como en el caso anterior:
Ejemplo:
3𝑥^2
𝑥^2 − 1
Primero hallamos el mcm de los denominadores: 𝑚𝑐𝑚(𝑥 − 1; 2(𝑥 + 1); (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
Hallamos los nuevos numeradores
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𝑥 − 1 →^
2(𝑥 + 1) →^
3𝑥^2
𝑥^2 − 1
6𝑥^2
Realizamos la suma:
4(𝑥 + 1) 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) +^
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) +^
6𝑥^2
𝑥^2 − 1 =
4𝑥 + 4 + 4𝑥^2 − 4 + 6𝑥^2
10𝑥^2 + 4
2(5𝑥^2 + 2)
5𝑥^2 + 2
Diferencia: Se procede igual que la suma.
Producto: El producto de dos o más expresiones racionales es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.
𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) ⋅
Ejemplo:
4 + 2𝑥 9 − 𝑥^2 ⋅
𝑥^2 ⋅
6𝑥 − 2𝑥^2
2 + 𝑥 =^
𝑥^2 ⋅
- División: El cociente de dos expresiones racionales es el producto del dividendo por el reciproco del divisor, es decir,
𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥) :
Ejemplo:
2𝑎^3 𝑥^2 𝑥^3 − 1 :
4𝑎^2 − 2𝑎
𝑥 − 1 =^
2𝑎^3 𝑥^2
(𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1) ⋅^
2𝑎(2𝑎 − 1) =^
𝑎^2 𝑥^2
(𝑥^2 + 𝑥 + 1)(2𝑎 − 1)
