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AMPLIACI ´ON DE C ´ALCULO Examen final
1 a^ PARTE (1 h. 30 min.) 6 de julio de 2012
- Calcular el centro de masa de la regi´on interior de x^2 + y^2 =
4 limitada por^ x
(^2) + y (^2) + (z − 1) (^2) = 1 y tal que z ≥ 1 suponiendo que la densidad es constante.
Soluci´on: El centro de masa viene dado por
Myz m
, Mxz m
, Mxy m
donde:
m =
S
d dxdydz
Mxy =
S
z d dxdydz
Mxz =
S
y d dxdydz
Myz =
S
x d dxdydz
La regi´on en coordenadas cartesianas se puede escribir:
R =
(x, y, z) ∈ R^3 : 1 ≤ z ≤ 1 +
1 − x^2 − y^2 , − 1 / 2 ≤ x ≤ 1 / 2 , −
1 / 4 − x^2 ≤ y ≤
1 / 4 − x^2
pero es m´as sencillo trabajar en coordenadas cil´ındricas:
R∗^ =
(r, θ, z) : 1 ≤ z ≤ 1 +
1 − r^2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ r ≤ 1 / 2
Usando estas coordenadas calculamos:
m =
∫ (^2) π
0
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
d r dzdrdθ = 2πd
0
r(1 +
1 − r^2 − 1) dr = 2πd
[
− (1^ −^ r
] 1 / 2
0
= 2πd
3 / 2 3
+^1
= πd 12
Mxy =
∫ (^2) π
0
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
d z r dzdrdθ = 2πd
0
[
z^2 2
]1+√ 1 −r 2
1
r dr
= πd
0
1 − r^2 )^2 − 1
r dr = πd
0
1 − r^2 + 1 − r^2
r dr
= πd
[
− 2 (1^ −^ r
3 +^
r^2 2 −^
r^4 4
] 1 / 2
0
= πd
3 / 2 3 + 2
8 −^
= πd 149 −^48
Mxz =
∫ (^2) π
0
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
dr sen(θ)r dzdrdθ = d
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
∫ (^2) π
0
r^2 sen(θ) dθdzdr
= d
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
r^2 [cos(θ)]^20 π dzdr = 0
Myz =
∫ (^2) π
0
0
∫ (^) 1+√ 1 −r 2
1
dr cos(θ)r dzdrdθ = Mxz = 0
y finalmente el centro de masa es el punto: ^0 ,^0 ,
πd 149 −^48
πd 12 (8^ −^3
- Calcular la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial
(xy + 2xy ln^2 y + y ln y) dx + (2x^2 ln y + x) dy = 0
sujeta a la condici´on inicial y(1) = e. Soluci´on: La ecuaci´on no es en variables separables, ni homog´enea, ni lineal. Veamos si es exacta:
M (x, y) = xy + 2xy ln^2 y + y ln y, ∂M ∂y
= x + 2x ln^2 y + 4x ln y + ln y + 1
N (x, y) = 2x^2 ln y + x, ∂N ∂x
= 4x ln y + 1
⇒ ∂M
∂y
= ∂N
∂x
Por tanto, la ecuaci´on tampoco es exacta. Buscamos un factor integrante. Para ello estudiamos: 1 N
∂M
∂y −^
∂N
∂x
2 x^2 ln y + x
x + 2x ln^2 y + 4x ln y + ln y + 1 − 4 x ln y − 1
2 x^2 ln y + x
x + 2x ln^2 y + ln y
que depende de x y de y. Por tanto, no es posible encontrar un factor integrante que dependa s´olo de x. Probemos a buscar uno que s´olo dependa de y. Calculamos: 1 M
∂N
∂x −^
∂M
∂y
= −x^ −^2 x^ ln
(^2) y − ln y xy + 2xy ln^2 y + y ln y
= − x^ + 2x^ ln
(^2) y + ln y y(x + 2x ln^2 y + ln y)
= − (^) y^1
como s´olo depende de y podemos tomar como factor integrante μ = e
y
dy = e−^ ln^ y^ =^1 y. Multiplicando la ecuaci´on por el factor integrante obtenemos una ecuaci´on exacta:
(x + 2x ln^2 y + ln y) dx +^2 x
(^2) ln y + x y
dy = 0 (1)
Buscamos ahora el potencial ϕ(x, y) tal que ∂ϕ ∂x
= M (x, y) = x + 2x ln^2 y + ln y (2) ∂ϕ ∂x
= N (x, y) =^2 x
(^2) ln y + x y
Integrando (2) respecto a x se obtiene:
ϕ =
x^2 2 +^ x
(^2) ln (^2) y + x ln y + f (y) (4)
Imponiendo (3): ∂ϕ ∂y
=^2 x
(^2) ln y y
(^2) ln y + x y
⇒ f ′(y) = 0 (5)
