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APTITUD MATEMÁTICA CEPUNS - INGRESO DIRECTO
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
I.DEFINICION
El factorial de un número natural “n” como el producto indicado, desde
la unidad en forma consecutiva, hasta el número “n”.
II.NOTACIONES
La simbología a utilizar será:
n! ; n^ ;^ n
Se lee: “El factorial del número n” o “n factorial”
Ejemplo: 1! = 1 = 1 2! = 2 = 1x2 = 2 3! = 3 = 1x2x3 = 6 4! = 4 = 1x2x3x4 = 24 5! = 1 = 1x2x3x4x5 = 120
En general:
n! = n = 1x2x3x4x....x (n -1) x(n)
OBSERVACIONES
Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así:
1
2
3 No exiten
III.PROPIEDADES
- El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor. n! = n (n - 1)! n! = n(n - 1)(n - 2)! .........., etc
Ejemplo:
- Por convención:^0!^ =^1
y por Definición:^1!^ =^1
De lo anterior, si:
x = 1
x = 0
x = 1
ó
- Si:
a = b (^) a = b a, b N
- Las operaciones aritméticas, dentro de los factoriales no están
definidas; es decir:
(m n)! m! n!
(m. n)! m!. n!
n!
! m! n
m (^)
*(m n^ )!(m!)^ n
IV. SEMIFACTORIAL O COFACTORIAL
NOTACION:
n (^) ó n!!
Se define:
n!! = n
1x3x5x...x n 2x4x6x...x n
si "n" es impar si "n" es par V.PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS
1ra. Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen
igual base y la suma de los órdenes coincide con dicha base. Se
verifica que los números combinatorio complementarios son iguales.
Ejm. 449500
2
99
C C
100 2
100 98 = = =
2da. La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyos órdenes
difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base
se aumenta en una unidad a la base de uno de los sumandos y cuyo
orden es el mayor de los órdenes:
C C C
m 1 n
m n
m n 1
− + =
Ejm.
Para calcular C 53 +C^52 ; aumentamos en una unidad a la base y
anotamos el orden mayor, es decir se obtiene C^63 ; entonces:
20
- 1
- 4
C C C
6 3
5 2
5 3 + = = =
3ra. La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base vale 2 elevado a dicha base:
m m m
m 1
m C 0 +C +....^ +C =^2
Ejm. C^40 +C 14 +C^42 +C^43 +C^44 =^24 =^16
En efecto: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
APTITUD MATEMATICA
Semana 1 3 Ciclo 2024 III
TEMA: ANALISIS COMBINATORIO
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2
ANÁLISIS COMBINATORIO
Si tengo 3 esferitas diferentes ¿de cuántas maneras distintas puden alinear?
;; ; ;; ; 6 maneras
Si tenemos a los alumnos "A", "B" y "C", ¿de cuántas maneras distintas se puede formar una pareja? A B C
A C A B B C
, ,
3 maneras
1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
En los ejemplos anteriores, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos.
1. Principio de multiplicación.
(Teorema fundamental del análisis combinatorio)
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas,
otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento “A”
seguido de “B”, ocurre de “m x n” maneras:
Observaciones:
- En este principio la ocurrencia es uno A continuación del otro, es
decir ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”
*Este principio se puede generalizar para más de dos eventos
a) ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?
Solución:
………………………………………………..
b) Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también diferentes. ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana?
Solución:
………………………………………………..
d) Un producir se arma en 3 etapas: para la primera etapa se tienen disponibles 5 líneas de armado, para la segunda 4 y para la tercera 6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras distintas puede moverse el producto en el proceso de armado?
Solución:
……………………………………………….
2. PRINCIPIO DE ADICION
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” ocurre de “n”
maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente,
ocurre de “m” +n” manera.
Observaciones :
En este principio la ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”, pero no ambos a la vez.
Este principio se puede generalizar para mas de 2 eventos.
Ejemplos :
a) Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?
Solución:
………………………………………………..
………………………………………………..
b) ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado o una moneda?
Solución:
………………………………………………..
………………………………………………..
c) Un producto se vende en 3 mercados, en el 1ro. Se tiene disponible en 6 tiendas en el 2do. En tiendas y en el 3er. Mercado en 4 tiendas.
¿De cuántas maneras distintas puede adquirir una persona un artículo de dicho producto?
Solución:
………………………………………………..
3. PERMUTACIÓN
Es un arreglo u ordenamiento que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto.
En una permutación si interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos.
1. PERMUTACIÓN LINEAL
Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se
arreglan u ordenan en línea recta.
Para n objetos diferentes, el número de permutaciones,
representado como Pn, que se puede obtener con los n objetos
está dado por:
Pn = n!
Ejemplo:
¿De cuántas maneras pueden ubicarse 7 alumnos en una fila?
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4
- C n 0 = 1 ;C 1 n;Cnn= 1
- C nK =Cnn^ −K
- C n 0 +C 1 n+Cn 2 +...+Cnn= 2 n
- 2
n(n 1 ) C n 2
−
- En el triángulo de Pascal podemos observar lo siguiente:
C
6
C
5
C 4
C
1
C
2
C 3
C 04 = 1 ; C 42 = 6 ; C 43 = 4
C 16 = 6 ; C 64 = 15 ; C 65 = 6
APLICACIÓN
a) ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas?
Solución:
CONCLUSIÓN:
- La diferencia más importante entre las permutaciones y las combinaciones radica en el orden.
Permutaciones < > ordenamientos
Importa el orden
Combinaciones < > Agrupamientos
No importa el orden
1. De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes ¿De cuántas
maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso
no puede tomar el camino de ida?
A) 12 B) 42 C) 25 D) 36 E) 30
2. Se tienen las islas P, Q y R que están conectadas por puentes
como muestra la figura:
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la isla P a la isla R y
regresar a P, si la ruta de regreso debe ser diferente que el de la ida?
A) 25 B) 132 C) 58 D) 144 E) 70
3. Un grupo de 5 amigos se van de paseo; en un auto que tiene 2
asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar,
si sólo 2 de ellos saben manejar?
A) 10 B) 48 C) 16 D) 24 E) 120
4. En una carrera de maratón, participan 3 ecuatorianos, 4 chilenos,
5 bolivianos y 6 peruanos. Si se asume que todos los corredores
terminan la carrera, ¿cuántos podios distintos se pueden dar al
acabar la carrera en los cuales no hay chilenos? Dar como
respuesta la suma de las cifras.
A) 10 B) 7 C) 12 D) 15 E) 21
5. Rosalía tiene una reunión de trabajo y desea vestirse para la
ocasión. Para ello tiene a su disposición 5 blusas, 6 faldas y 3 pares
de zapatos taco nueve; todas las prendas son de diferente modelo
y color. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse Gisela si la
blusa blanca siempre se la pone con la falda negra?
A) 70 B) 7 2 C) 75 D) 80 E) 85
6. Con cinco varones y nueve damas ¿cuántas parejas diferentes de
baile pueden formarse (cada pareja está conformada por un varón
y una dama)?
A) 35 B) 40 C)45 D) 50 E) 55
7. Carmen desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas Samsung y
LG, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora
de la marca Samsung se presenta en dos tipos de carga (8 u 11
kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos
colores diferentes y puede ser automática o semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
A) 12 B) 28 C) 32 D) 18 E) 25
8. Pedro se olvidó la clave de acceso de su tarjeta de crédito, solo
recuerda que consta de cuatro cifras impares y que la suma de las
cifras que se ubican en los extremos y los que ocupan los dos
lugares centrales es 10. ¿Cuántas tentativas como máximo debe
realizar para dar con su clave?
A) 25 B) 24 C) 16 D) 18 E) 30
9. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con
los dígitos 2 ,4,6,8?
Problemas Propuestos
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5
A) 16 B) 24 C) 36 D) 120 E) 32
10. Seis amigos quieren sentarse en la banca de un parque. ¿De
cuántas maneras diferentes lo podrán hacer si Nachito y Luis
siempre deben de estar juntos?
A) 2 40 B) 2 50 C) 26 0 D) 2 70 D) 29 0
11. Empleando el enunciado inmediato anterior, ¿de cuántas maneras
diferentes podrán sentarse si Nachito y Luis no pueden estar
adyacentes en ningún momento?
A) 240 B) 250 C) 480 D) 470 D) 290
12. Máximo es un marino que dispone de 9 banderas del mismo
tamaño, cada una de un solo color, pero diferentes entre ellas, las
cuales izará en un mástil una a continuación de otra, para hacer
señales a los barcos. Si cada señal está compuesta por 2 o 3
banderas, ¿cuántas señales diferentes puede hacer el Ángel?
A) 720 B) 648 C) 576 D) 504 E)
13. La junta directiva de una empresa consta de 10 miembros ¿De
cuantas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente
y un secretario?
A) 620 B) 360 C) 480 D) 520 E) 720
14. Lady tiene 5 aretes de diferentes modelos y para usarlos todos se
hace 2 perforaciones en forma vertical en la oreja izquierda y 3
perforaciones en forma horizontal en la oreja derecha. ¿De cuántas
maneras distintas puede lucir todos sus aretes, si los coloca
empezando por la oreja derecha?
A) 100 B) 110 C) 120 D) 28 0 D) 29 0
15. De un cuestionario de 12 preguntas, ¿de cuántas maneras se
pueden responder 7 correctas, 3 incorrectas y 2 sin responder?
A) 7920 B) 8820 C) 7620 D) 6840 E) 820
16. Se tienen las siguientes figuras geométricas:
Si las figuras de la misma forma son congruentes, ¿de cuántas
maneras diferentes se las puede ordenar a todas linealmente si
cada ordenamiento debe empezar con el círculo y acabar con el
triángulo?
A) 1240 B) 1250 C) 1260 D) 1270 D) 1290
17. En un congreso de estudiantes de Matemáticas de la UNS se está
realizando un taller en una sala de exposiciones, donde participan
10 estudiantes, los cuales deben agruparse en 3 grupos; 2 de 3
personas y el último de 4 ¿De cuántas formas se pueden agrupar
los 10 estudiantes?
A)
100 B) 8 00 C) 2200 D) 4600 E) 4200
18. Hallar (x^2 + 1), si se cumple que:
A) 25 B) 27 C) 26 D) 28 D) 29
19. De un grupo de siete personas, dos son hermanos y otros dos
están enemistados, se disponen a ubicarse sentándose alrededor
de una mesa circular con siete sillas. Si los hermanos se deben
sentarse juntos, pero los dos enemistados no, ¿de cuántas
maneras diferentes podrán ubicarse todos ellos?
A) 192 B) 216 C) 96 D) 144 E) 820
20. Cierta agrupación parlamentaria debe inscribir a 8 de sus
representantes de un total de 13 sin embargo hay 2 de ellos que
tienen discrepancias políticas y no podrían estar en la misma lista.
¿Cuántas listas podrían ser inscritas?
A) 875 B) 625 C) 825 D) 750 E) 820
21. A una asamblea asisten 5 varones y 6 mujeres, de los cuales se
van a elegir a 4 personas para conformar un comité que los
represente. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir dicho
comité si entre ellos debe de haber por lo menos 2 varones?
A) 175 B) 185 C) 215 D) 230 E) 420
22. Los directivos de cierta empresa están formados por 5 personas
ellos deben someter a votación la aprobación de un proyecto y
ninguno puede abstenerse, pero si pueden votar en blanco
considerando que se aprueba el proyecto con al menos 3 votos
favorables. ¿Cuántos resultados aprueban el proyecto?
A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 D) 9
23. Luego de terminar el primer semestre de estudios, diez amigos
deciden viajar y acampar en Lunahuaná, para ello disponen de tres
tiendas de campaña de diferentes capacidades. En una pueden
dormir dos personas; en otra, tres, y en otra, cinco. ¿De cuantas
formas diferentes se pueden organizar para dormir en las tres
tiendas? Dar como respuesta el producto de las dos cifras de
mayor orden.
A) 10 B) 15 C) 12 D) 8 E) 10
24. Cinco padres de familia, cada uno con su respectivo hijo, se ubican
alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ubicar tal que cada padre esté al lado de su hijo? Dar como
respuesta la suma de las cifras de dicha cantidad.
A) 21 B) 15 C) 18 D) 12 E) 14
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7
A) 225 B) 84 4 C) 215 D) 144 E) 100
40. De un grupo de quince personas se eligen a seis para invitarles a
una reunión. ¿De cuántas maneras se pueden cursar la invitación,
si entre ellas hay tres hermanos y si se invita a uno de ellos se tiene
que invitar a los otros dos
A) 5225 B) 847 C) 2715 D) 1144 E) 100
41. ¿Cuántos números de 4 cifras existen con la condición que el
producto de sus cifras es igual a 8?
A) 50 B) 4 0 C) 3 0 D) 20 E) 10
42. Se tiene 7 libros de distintos autores, 3 de ellos son Geometría y 4
de Aritmética. ¿De cuántas formas diferentes se puede ordenar los
libros en un estante que tiene espacio para esos 7 libros, si estos
deben estar intercalados?
A) 120 B) 256 C) 144 D) 98 E) 120
43. De cinco varones y nueve damas. ¿De cuántas maneras se puede
formar una comisión de seis miembros en la que participen por lo
menos tres varones y por lo menos una dama?
A) 1260 B) 1089 C) 1045 D) 1029 E) 1200
44. La expresión “F” adjunta a continuación, ¿en cuántos ceros
termina?
A. 183 B. 72 C. 30 D. 29 E. 28
45. Determine en cuantos ceros acaba la siguiente expresión:
𝐴 = ( 349! + 265 !)^7
A. 18 5 B. 455 C. 365 D. 29 5 E. 28 5
46. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente
pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas se
pueden distribuir para remar, sabiendo que cinco hombres deben
ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?
A) 43200 B) 43 300 C) 4 4200 D) 1144 E) 100
47. ¿Cuántos números enteros positivos de 6 cifras, existen de manera
que el producto de sus cifras sea igual a 16?
A) 120 B) 140 C) 450 D) 260 E) 360
48. Un equipo de seguridad que consta de 10 miembros debe
distribuirse para el cuidado de tres bancos X, Y, Z a razón de 4, 4
y 2 miembros de seguridad respectivamente. ¿De cuántas formas
diferentes se puede realizar la distribución?
A) 3150 B) 2450 C) 4260 D) 1860 E) 2880
49. Seis parejas de esposos se encuentran danzando en una pista de
baile, de acuerdo a la coreografía deben formar una ronda de tal
manera que varones y damas queden intercalados, ¿de cuántas
maneras diferentes pueden formar la ronda?
A) 518 400 B) 14 400 C) 17 280 D) 720 E) 86 400
50. Se tiene una colección de libros que cuenta con cierto número de
tomos, todos diferentes, y se sabe que, tomando cada vez 7 tomos
distintos se pueden obtener tantas combinaciones como tomando
5 a la vez. ¿Cuántos tomos tiene la colección?
A) 10 B) 25 C) 18 D) 15 E) 12
51. En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si
decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuantas maneras
diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?
A) 100 B) 120 C) 200 D) 240 E) 48 0
52. ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica puede
formarse de cinco chicos y ocho chicas, si cierto chico rehúsa
trabajar con dos chicas en particular?
A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 46
53. ¿De cuantas maneras pueden sentarse correctamente 2n
personas alrededor de una mesa circular de modo que n de ellas
siempre queden juntas?
A) n^2 B) 2n! C) (n^2 )! D) 2(n!) E) (n!)^2
54. Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres
y 3 hombres. ¿De cuantas formas podrán ubicarse, si el asiento
vacío debe quedar entre las dos mujeres?
A) 6 B) 12 C) 32 D) 24 E) 4
55. Calcule el número total de ordenaciones diferentes que se puede
formar con todas las letras, a la vez, de la palabra JAPPII, de
manera que las vocales iguales están juntas
A) 20 B) 30 C) 40 D) 120 E) 6 0
56. Calcule el número total de segmentos que se puede formar en el
siguiente grafico al unir los puntos de una región con los de otra.
57. Una carpeta tiene espacio para 8 personas ¿De cuántas maneras
se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres, de modo que queden
alternados (un hombre – una mujer o una mujer un hombre)?
A) 2 4! B) 2 42! C) 2 (4!)^2 D) (4!)^2 E) (2 4!)^2
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8
58. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A
hasta D sin retroceder?
A
B C^
D
A) 20 B) 18 C) 24 D) 21 E) 23
59. ¿Cuántos números de la forma
( 5 −
𝑎 2 )
𝑎+ 4 2 )^ existen: A) 400 D) 900 B) 700 C) 9000 E) 970
60. Simplificar:
a! (a 2 )!a(a 2 )(a 1 )!
a! (a 1 )! (a 1 )! A
a) 1 b) a c) a! d) a
1 e) a- 1
61. Calcular “x” en:
2880 ( 1 )( 3 )( 5 )( 7 )...( 2 x 1 )
( 2 x)! 2 2 x =
−
−
A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 6
62. Simplificar: ( 5! 2 )! ( 5! 1 ) ( 5 !)!
( 5! 2 ) ( 5 !)! R
3
=
A) 5! B) 5! - 2 C) 4! – 1 D) 5! + 2 E) N.A.
63. Calcular “m” en:
C
C C
m 2 4
m 1 3
m
A) - 27 B)
7
22 − C) 3 D) 2 E) N.A.
64. ¿Cuántas maneras diferentes hay para ir desde A hasta C,
pasando por B? (no se puede retroceder)
A B^ C
A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12
65. Si se tuviera que contar las posibles formas para llegar desde A
hasta Z sin retroceder según la figura.
A Z
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
66. ¿Cuántos números de 4 cifras significativas existen de modo que
el producto de sus cifras sea un número par?
A) 5378 D) 8753 B) 8357 C) 7583 E) 5936
67. ¿Cuántos números enteros y diferentes, mayores que 10 y
menores que 100, se pueden formar con las cifras 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7 y 8?
A) 72 D) 50 B) 58 C) 64 E) 35
68. ¿De cuántas maneras se puede ir de la ciudad A a la ciudad B,
siempre avanzando?
A) 47; 10 B) 21; 10 C) 40; 9 D) 52; 31 E) 91;
