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Fundamentos Matemáticos IIIFundamentos Matemáticos III
Juan Manuel SáezJuan Manuel Sáez
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TemaTema 8PgPg 1 18
Tema 8Tema 8
Análisis CombinatorioAnálisis Combinatorio
Problema introductorio 8.1 Combinatoria 8.2 Variaciones 8.2.1 Variaciones con repetición 8.2.2 Variaciones sin repetición 8.3 Permutaciones 8.3.1 Permutaciones con repetición 8.3.2 Permutaciones sin repetición 8.4 Combinaciones 8.4.1 Combinaciones con repetición 8.4.2 Combinaciones sin repetición Problemas propuestos Bibliografía relacionada
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TemaTema 8PgPg 2 28
Problema introductorioProblemaintroductorio
- El término “sociedad de la información” es cada
vez más palpable.
- La protección de la información es un problema
crítico.
- Ejemplos de la vida cotidiana (claves de acceso):
Código PIN de un teléfono móvil o código de una
tarjeta de crédito:
4 dítigos -> 10000 combinaciones
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TemaTema 8PgPg 3 38
Problema introductorioProblemaintroductorio
Un mando a distancia de una cochera posee 8
conmutadores ternarios (3 posiciones posibles)
para seleccionar la frecuencia de la señal que abre
la puerta. Por tanto, el número de combinaciones
posibles de este código es de 3^8 =6561.
El BIOS de un PC, permite introducir una clave
formada por cualquier código ASCII de una
longitud máxima de 8 caracteres:
8
1
∑^ = i =
i
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TemaTema 8PgPg 4 48
Problema introductorioProblemaintroductorio
Conclusión: resulta más difícil dar con la clave de
una tarjeta de crédito que con el código de una
puerta de garaje, y en contrapartida mucho más
fácil que dar con la clave del BIOS de un vulgar
PC…
En este tema estudiaremos una rama de la
matemática ocupada del cálculo de las posibles
combinaciones que pueden formarse de un
conjunto con determinadas restricciones: el
Análisis Combinatorio.
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TemaTema 8PgPg 5 58
8.1 Combinatoria8.1 Combinatoria
- La idea general consiste en averiguar cuántos conjuntos se pueden formar con unas determinadas características a partir de un conjunto de n elementos A={a 1 , a 2 , … , a (^) n }.
- En particular veremos: Variaciones y permutaciones (el orden importa) Combinaciones (el orden no importa)
- El orden y la posibilidad de repetición son dos factores a tener en cuenta a la hora de modelar cualquier problema de combinatoria.
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TemaTema 8PgPg 6 68
8.2 Variaciones8.2 Variaciones
- Las variaciones de un conjunto de n elementos
tomados de m en m , son el número de conjuntos
de m elementos cada uno que podemos hacer a
partir de éste.
- Dos conjuntos son distintos si no tienen los
mismos elementos o si están en distinto orden.
- Dependiendo de si permitimos o no que los
conjuntos tengan elementos repetidos hablaremos
de:
variaciones con repetición ó
variaciones sin repetición.
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TemaTema 8PgPg 10 108
8.3.1 Permutaciones con repetición8.3.1 Permutaciones con repetición
- Las permutaciones con repetición de n elementos tomados de m en m , donde cada uno de ellos se repite m (^) i veces ( m=m 1 +m 2 +…mn ), se calcula:
- Ejemplo 3 : En un proyecto software es necesario realizar 8 rutinas. Tenemos tres programadores: Caín, Eva y Judas. Si Caín y Judas tienen que hacer tres rutinas y Eva dos: ¿De cuántas formas podríamos repartir el trabajo? Permutaciones con repetición de 8 elementos en los que el 1 se repite 3 veces, el 2 tres veces y el 3 dos veces:
1 2
1 ,^2 ,..., n
mm m m (^) mm m
m PR n^ =
PR 8 = =
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TemaTema 8PgPg 11 118
8.3.2 Permutaciones sin repetición8.3.2 Permutaciones sin repetición
- El número de permutaciones sin repetición que
podemos realizar de un conjunto de n elementos se
calcula:
- Ejemplo 4 : Llegan 9 alumnos de Telecomunicaciones a la fotocopiadora de la EPSA a la vez para recoger unas fotocopias de FMIII. Solamente hay una persona en el mostrador, luego tendrán que hacer cola y ser atendidos uno a uno. ¿De cuántas formas podrían ordenarse en la cola? Permutaciones sin repetición de 9 elementos:
Pn = Vnn = n!
P 9 = 9 != 362880
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TemaTema 8PgPg 12 128
- Ejemplo 5: En el planeta Clonix han abierto un servicio de autolavado de naves espaciales. Los usuarios pueden ser: - Directivos de la empresa (máxima prioridad) - Clientes (prioridad media) - Trabajadores de la empresa (prioridad mínima)
- Una tormenta de meteoritos pegajosos produce una enorme cola en el autolavado: 7 directivos, 5 clientes y 10 trabajadores. ¿de cuántas formas se puede ordenar la cola? Directivos: P 7 = 7! = 540 Clientes: P 5 = 5! = 120 Trabajadores: P 10 = 10! = 3628800 Total: P 7 P 5 P 10 = 235,146,240,
8.3.2 Permutaciones sin repetición8.3.2 Permutaciones sin repetición
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TemaTema 8PgPg 13 138
- En el caso de las combinaciones no importa el
orden. Por tanto, dos conjuntos con los mismos
elementos se consideran iguales y no entran en el
conteo, sea cual sea su orden.
- Dependiendo de si permitimos que dichos
conjuntos tengan elementos repetidos o no
hablaremos de:
combinaciones con repetición ó
combinaciones sin repetición.
8.4 Combinaciones8.4 Combinaciones
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TemaTema 8PgPg 14 148
- El número de combinaciones con repetición que podemos hacer de un conjunto de n elementos tomados de m en m se calcula:
- Ejemplo 6 : La “ Peña de amigos del bit ” decide editar una camiseta con el escudo de la organización para los socios. Se imprimen doce camisetas, pero solamente hay siete socios. Las combinaciones para repartir las 12 camisetas serían: Combinaciones con repetición de 7 elementos tomados de 12 en 12:
8.4.1 Combinaciones con repetición8.4.1 Combinaciones con repetición
m n mn
n m CR (^) nm < ≤ −
( 1 )!
18 , 564 12! 6!
12 18! CR 7 = =
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TemaTema 8PgPg 15 158
- El número de combinaciones sin repetición que
podemos hacer de un conjunto de n elementos
tomados de m en m se calcula:
- Esta definición abre la teoría de los números
combinatorios :
8.4.1 Combinaciones sin repetición8.4.1 Combinaciones sin repetición
n m mn m
n m
V C
m mn n < ≤ −
= = , 0 !( )!
! !
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛
⎟⎟= ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛
⎟⎟+ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ − ⎟⎟= ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛
⎟⎟= ⎠
⎞ ⎜⎜⎝ = ⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝ =⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝ = ⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
1
1 1
) )
1
1 ) 0
) )
m
n m
n m
n e n m
n m
n d
n
n c n
n n C b m
n a (^) nm
!( )!
! mn m
n m
n − ⎟⎟= ⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
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TemaTema 8PgPg 19 198
ProblemaProblema 88..22:: Aprendiz deAprendiz de hackerhacker
c) A lo largo del tiempo se da cuenta de que, además, Antonia teclea las letras 'C', 'A', 'R', 'M' y 'B', pero no sabe ni en qué orden ni cuántas veces. Calcular el número de claves posibles con estas características.
d) Finalmente, ya muy cerca de la clave, se da cuenta de que Antonia pulsa 1 sola vez las teclas 'C', 'R', 'M' y 'B' y tres veces la tecla 'A'. Calcular ahora el número de claves posible con estas características.
Explicar en cada caso qué fórmulas se han usado y por qué.
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TemaTema 8PgPg 20 208
Bibliografía relacionadaBibliografía relacionada
- Ralph P.Grimaldi “Matemáticas discreta y combinatoria” Addison-Wesley Iberoamericana. Tema 1
