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Análisis combinatorio, Ejercicios de Álgebra

Universidad Tecnológica del Peru (UTP) - LimaÁlgebra

Ejercicios análisis combinatorio

Tipo: Ejercicios

2022/2023

Subido el 06/02/2025

rosmery-huertas-vergara
rosmery-huertas-vergara 🇵🇪

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A. Variaciones
Se llama variaciones ordinarias de “m” elementos
tomados de “n” en “n” (m n) a los distintos grupos
formados por “n” elementos de forma que:
YNo entran todos los elementos.
YSi importa el orden.
YNo se repiten los elementos.
Para calcular la cantidad de formas que cumplen
con estas condiciones se emplea la siguiente rela-
ción:
Vm
n = m(m – 1)(m – 2)(m – 3)...(m – n + 1)
También podemos calcular las variaciones me-
diante factoriales:
Vm
n
m!
(m – n)!
=
B. Combinaciones
Se llama combinaciones de “m” elementos toma-
dos de “n” en “n” (m n) a todas las agrupaciones
posibles que pueden hacerse con los “m” elemen-
tos de forma que:
YNo entran todos los elementos.
YNo importa el orden.
YNo se repiten los elementos.
Para calcular la cantidad de formas que cumplen con
estas condiciones se emplea la siguiente relación:
Cm
n = m(m – 1)(m – 2)(m – 3)...
1 × 2 × 3 × ... × n
«n» veces
Podemos calcular las combinaciones mediante
factoriales:
Cn
m
m!
n!(m – n)!
=
Trabajando en clase
Integral
1. Se tiene 5 banderas diferentes. ¿Cuántos mensajes
distintos se pueden enviar de un bando a otro?
2. Se tiene 6 colores distintos. ¿Cuántas banderas de
3 costuras verticales se pueden formar?
3. Con 6 pesas diferentes. ¿Cuántas pesadas diferen-
tes se pueden obtener?
Católica
4. Se tiene un grupo de 12 personas de las cuales 7
son hombres. ¿Cuántos comités de 4 personas se
pueden formar?
Resolución
C12
4 = 12 × 11 × 10 × 9
4 × 3 × 2 × 1
5
= 495
5. Del problema anterior. ¿Cuántos comités mixtos
de 5 personas (2 hombres y 3 mujeres) se pueden
formar?
6. Un total de 120 estrechadas de manos se efectuaron
al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de
los participantes es cortés con cada uno de los de-
más, cuál es el número de personas presentes.
7. Se tiene 6 bolillas marcadas con los dígitos 1, 2, 3,
4, 5 y 6. ¿Cuántos números de 6 cifras diferentes
se pueden obtener?
UNMSM
8. De un grupo de 7 hombres y 5 mujeres se debe
seleccionar 5 hombres y 3 mujeres para formar
un comité. ¿Cuántos comités distintos se puede
formar?
ANÁLISIS COMBINATORIO
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A. Variaciones

Se llama variaciones ordinarias de “m” elementos tomados de “n” en “n” (m n) a los distintos grupos formados por “n” elementos de forma que: Y No entran todos los elementos. Y Si importa el orden. Y No se repiten los elementos.

Para calcular la cantidad de formas que cumplen con estas condiciones se emplea la siguiente rela- ción:

V

m n = m(m – 1)(m – 2)(m – 3)...(m – n + 1)

También podemos calcular las variaciones me- diante factoriales:

V

m n

m! (m – n)!

B. Combinaciones

Se llama combinaciones de “m” elementos toma- dos de “n” en “n” (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los “m” elemen- tos de forma que: Y No entran todos los elementos. Y No importa el orden. Y No se repiten los elementos.

Para calcular la cantidad de formas que cumplen con estas condiciones se emplea la siguiente relación:

C

m n =

m(m – 1)(m – 2)(m – 3)... 1 × 2 × 3 × ... × n

«n» veces

Podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

C

n m

m! n!(m – n)!

Trabajando en clase

Integral

1. Se tiene 5 banderas diferentes. ¿Cuántos mensajes distintos se pueden enviar de un bando a otro? 2. Se tiene 6 colores distintos. ¿Cuántas banderas de 3 costuras verticales se pueden formar? 3. Con 6 pesas diferentes. ¿Cuántas pesadas diferen- tes se pueden obtener?

Católica

4. Se tiene un grupo de 12 personas de las cuales 7 son hombres. ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar? Resolución

C

12 4 =^

12 × 11 × 10 × 9

4 × 3 × 2 × 1

5 = 495

5. Del problema anterior. ¿Cuántos comités mixtos de 5 personas (2 hombres y 3 mujeres) se pueden formar? 6. Un total de 120 estrechadas de manos se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los de- más, cuál es el número de personas presentes. 7. Se tiene 6 bolillas marcadas con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántos números de 6 cifras diferentes se pueden obtener?

UNMSM

8. De un grupo de 7 hombres y 5 mujeres se debe seleccionar 5 hombres y 3 mujeres para formar un comité. ¿Cuántos comités distintos se puede formar?

ANÁLISIS COMBINATORIO

Resolución C

7 5 ×^ C^

5 3 =^ C^

7 2 ×^ C^

5 2 =

2 ×^

9. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuestos de 3 hombres y 2 mujeres de un gru- po de 7 hombres y 5 mujeres? 10. En un plano existen n puntos, en el que no hay nada más de dos que sean colineales y con los cuales se forman segmentos, tal que el número de costos es igual a 5n. Halle el valor de n. 11. Con las frutas: fresa, papaya, mango y plátano. ¿Cuántos jugos de diferente sabor se pueden ha- cer?

UNI

12. Se pretendió entrevistar a cinco personas, pero solo se entrevistó a cuatro, las cuales están senta-

das en línea recta. ¿De cuántas maneras diferen- tes se pudo realizar dicha entrevista? Resolución Si de cinco personas voy a elegir cuatro, toman- do que el orden si es importante, aplicaremos una variación: V 54 = 5! 1!

La entrevista se pudo realizar de 120 formas.

13. Veinte países mantienen relaciones diplomáticas, cada país tienen un embajador en los otros países. Indique la cantidad de embajadores que hay en total. 14. El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición entran solo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición ¿cuántos autos le quedan por vender?