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Analisis de
Sensibilidad
Programación Lineal
I
OBJETIVOS
- Plantear problemas de programación lineal.
- Realizar análisis de sensibilidad
- Utilizar el LINDO y WINQSB para el análisis de sensibilidad.
II
TEMAS A TRATAR
- Formulación de problemas de programación lineal y Análisis de Sensibilidad.
III
MARCO TEORICO
El análisis de sensibilidad permite determinar el impacto que ocasiona en la solución óptima del problema, la variación de los parámetros de un modelo matemático (coeficientes de la función objetivo, lados derechos de las restricciones, etc.).
1.- Un Problema Ejemplo:
Mediante un ejemplo demostraremos como se utiliza la información de los reportes para la toma de decisiones.
ENUNCIADO
Una Empresa industrial produce 4 modelos de Teclados cada uno de los cuales es tratado en los departamentos de ensamblado y acabado. El número de horas hombre de mano de obra necesaria, por teclado en cada departamento es:
Modelo1 Modelo2 Modelo3 Modelo Ensamblado 4 10 7 10 Acabado 1 1 3 4
Se dispone de 6000 horas hombre en el departamento de ensamblado y de 4000 en el de acabado en los próximos 6 meses. Las utilidades en dólares para cada modelo de teclado son: 2.2, 5, 3 y 4 respectivamente para los teclados 1, 2, 3 y 4.
Existe restricciones de producir al menos 100 unidades del modelo 2, a lo más 200 unidades del modelo 3 y a lo más 250 unidades del modelo 4. La producción del modelo 1 es irrestricta.
Sea X1, X2, X3 y X4 las variables del problema que representan el número de teclados modelo 1, 2, 3 y 4 respectivamente a producir los próximos 6 meses.
Determine la cantidad debe producir el fabricante de cada modelo, de manera que las utilidades sean las máximas.
Una vez analizado el enunciado el lector procederá a crear el modelo matemático.
MODELO MATEMÁTICO
Función Objetivo: Max Z = $2.2X1+$5X2+$3X3+$4X Restricciones (St) 4X1+10X2+7X3+10X4<=6000 Hrs. Hombre de Ensamblado X1+X2+3X3+4X4<=4000 Hrs. Hombre de Acabado X2>=100 Demanda mínima del producto 2 X3<=200 Demanda Máxima del producto 3 X4<=250 Demanda Máxima del producto 4 X1,X2,X3,X4>=
Podemos ver claramente que estamos ante un problema de Maximización, con cinco restricciones y cuatro variables (las cuales trabajaremos como variables continuas de tipo No Negativas).
2. Solución mediante el Software WinQsb
3. Solución mediante el Software LINDO 6.
4.- Solución utilizando POM
Resultados de POM (Linear Programming Results)
Rango de Soluciones (Ranging)
Lista de Soluciones (Solution List)
5. Utilizando el reporte del Software Lindo, WinQsb o POM
podemos dar respuesta a las siguientes inquietudes:
a) ¿Cuál es la utilidad máxima de la empresa? Z= 3250 dólares b). ¿Qué cantidad se debe producir de cada modelo? X1= 1250 unidades del modelo 1
En la tabla 1 siguiente se observa la solución y los comentarios para el problema.
Tabla 1: Solución en computador con el paquete LINDO
MAX 6X1+7X2 Formulación: X1 y X2 son variables de decisión SUBJECT TO
- 2X1+3X2<=24 2) Restricción de la máquina 1
- 2X1+X2<=16 3) Restricción de la máquina 2
- X2<=6 4) Restricción de la demanda de mercado END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 LP optima encontrada después de examinar 2 vértices
OBJETIVE FUNCTION VALUE
- 64.000 La utilidad optima es de $ 64. VARIABLE VALOR REDUCED COST X1 6.00 0.000 La solución óptima es de 6 unidades del producto A y 4 X2 4.00 0.000 unidades del producto B; los costos reducidos son de cero por que en ambos casos se produce alguna cantidad de cada producto. ROW SLACK OR SRPLUS DUAL PRICES
- 0.00 2.00 No existe inactividad en las restricciones 2 y 3
- 0.00 1.00 La no utilización en la restricción 4, implica demanda no
- 2.00 0.00 usada para el producto B. Se muestran los precios duales (precios sombra) NRO INTERACTIONS = 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE Rangos donde la solución optima es la misma COEF INCREASE DECREASE X1 6.00 8.00 1. X2 7.00 2.00 4.
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE Rangos donde el conjunto de variables de la solución RHS INCREASE DECREASE básica es la misma, además también son rangos donde 2 24.00 4.00 8.00 los precios duales son los mismos. 3 16.00 8.00 4. 4 6.00 Infinito 2.
IV
(La práctica tiene una duración de 02 horas) ACTIVIDADES
Plantee los siguientes problemas, luego ingréselos al LINDO o WINQSB y responda las inquietudes en base a los resultados de los reportes.
1. Una fábrica produce 4 productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere de dos
horas de maquinado, una hora de montaje y vale $10 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y vale $5 en el inventario en proceso. Cada unidad de C necesita de 2 ½ horas de maquinado, 2 ½ horas de montaje y vale $2 en el inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y vale $12 en el inventario en proceso.
La fábrica dispone de 1200 horas de maquinado y 1600 horas de montaje. Además, no puede disponer de más de $10000 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto A tiene una
utilidad de $40; cada unidad de B, de $24; cada unidad de C, de $36, y cada unidad de D, de $23. No pueden venderse más de 200 unidades de A; no más de 160 de C, y pueden venderse cualquier cantidad de los productos B y D. Sin embargo, para cumplir con un contrato, deben producirse y venderse por lo menos 100 unidades del producto D. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.
a) ¿Cuántas unidades se deben producir de cada producto para alcanzar la máxima utilidad?, b) ¿Cuál es la utilidad máxima de la empresa? c) ¿Existe tiempo ocioso en maquinado y montaje? ¿Cuánto? d) ¿Cuánto de capital para inventario en proceso no se utiliza? e) ¿Cuánto debería pagar como máximo por una hora adicional de maquinado? f) ¿En cuánto disminuye la utilidad de la empresa por una hora de montaje incumplida? g) ¿Cuánto genera $1 adicional en el capital de trabajo para el inventario en proceso?. h) Dentro de qué rangos puede variar los coeficientes de la función objetivo, sin que afecte el plan de producción?. i) Qué pasaría con la utilidad total de la fábrica si el contrato para el producto D exige producir al menos 101 unidades?. j) En cuánto debería de mejorar la utilidad unitaria del producto C para justificar su producción. k) Un nuevo producto, el producto E, está en consideración. Requiere de 2 horas de maquinado, 5 horas de montaje y $20 en capital de trabajo. La utilidad por unidad es de $50 ¿Debe producirse alguna unidad del producto E?.
2. HAL produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. Las computadoras se fabrican en dos sitios: Nueva York y Los Ángeles. Nueva York puede producir hasta 800 computadoras, y Los Ángeles hasta 1000. HAL puede vender hasta 900 PC y 900 VAX. Las utilidades asociadas a cada sitio de producción y venta, son los siguientes: Nueva York, PC, 1000 dólares; VAX, 800 dólares; Los Ángeles, PC, 1000 dólares; VAX, 1300 dólares. El tiempo de mano de obra especializada requerida para construir una computadora en cada sitio se da a continuación: Nueva York, PC, 2 horas; VAX, 2 horas; Los Ángeles, PC, 3 horas; VAX, 4 horas. Se dispone de un total de 4000 horas de trabajo. Sea:
XNP = PC producidas en Nueva York XLP = PC producidas en Los Ángeles XNV= VAX producidas en Nueva York XLV= VAX producidas en Los Ángeles
a) ¿Cuál es la utilidad máxima alcanzada por HAL? b) ¿Cuál es número de computadoras de cada tipo que se debe producir en cada lugar? c) Suponga que un contratista externo ofrece elevar la capacidad de Nueva York a 850 computadoras, a un costo de 5000 dólares. ¿Tendría que aceptar HAL la oferta del contratista?. d) ¿En qué cantidad tendría que aumentar la utilidad por una VAX producida en Nueva York, para que HAL considerara producir computadoras VAX en dicha ciudad?. e) ¿Cuál es la máxima cantidad que HAL tendría que estar dispuesto a pagar por una hora extra de trabajo?.
3. Una compañía de transporte dispone de $ 400,000 para comprar un nuevo equipo y está
considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas por hora. Su costo es de $ 8,000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas por hora. Su costo es de $13,000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma el chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $15,000.
