Ajuste polinomial a carga distribuida irregular, Ejercicios de Análisis Estructural

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ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

Problemas resueltos

David Ortiz Soto

Segunda Edición

(Revisada)

“Prometimos vencer y vencimos”

ACERCA DEL AUTOR

David Ortiz Soto es ingeniero civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), Facultad de Estudios Superiores Aragón (FES Aragón), con créditos concluidos en la Maestría en Ingeniería Civil, área disciplinaria de Estructuras, por la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI) de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco (ESIA-UZ), del Instituto Politécnico Nacional (IPN).

Actualmente desarrolla su tesis de Maestría denominada “Efectos de la deformación del creep en columnas de concreto” , siendo el Dr. Ernesto Pineda León el director de esta.

El Ing. David Ortiz es autor, con los ingenieros Hugo Martínez, Sergio Omar Berruecos, Daniel Hernández, et al., del libro “Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”, el cual presentó oficialmente por primera vez en el evento Simposio de Investigación en Sistemas Constructivos, Computacionales y Arquitectónicos (SISCCA) 2014 con sede en la Universidad Juárez del Estado de Durango, FICA_._ De igual forma, es autor del libro “Resolución de armaduras en 2D con el método matricial de la rigidez” y es uno de los editores de la WEB de Ingeniería Civil más importante de América Latina llamada “CivilGeeks” , en la que ha escrito diversos artículos. Estuvo como invitado en el quinto aniversario del Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III (TecNM, ITI III), donde ofreció conferencia de “Análisis Estructural”. Asimismo, es uno de los creadores de la Biblioteca que lleva por nombre “Problemario de Análisis de Estructuras en 2D y 3D”.

Hoy en día, es el representante de la comunidad estudiantil de posgrado de ESIA Zacatenco.

Ha sido invitado varias veces al Programa de Radio “Ingenio Civil” de Nuestra Voz Radio: ¡La Voz del Pueblo Organizado!; en alguna emisión de tal programa alternó con el Ph. D. Genner Villarreal Castro de Perú.

Muchos años vivió en Zumpango, pero actualmente radica en Tecámac, ambos municipios del Estado de México, colindantes con el D. F.

México 2015

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

Problemas resueltos

SEGUNDA EDICIÓN

DAVID ORTIZ SOTO

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Estudios Superiores Aragón

Revisión Técnica: Dr. Ernesto Pineda León Docente en Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, y Licenciatura

Universidad de Londres Queen Mary College

Universidad de Sonora Facultad de Ingeniería

DEDICATORIAS

El presente libro está dedicado a todos los estudiantes y profesores que han levantado la voz para exigir sus derechos y un sistema justo en el Instituto Politécnico Nacional (IPN) sin miedo a represalias, haciendo uso del “derecho a pensar”.

Siendo hoy 27 de septiembre del 2014, a 10 días del “PARO INDEFINIDO” que han organizado diversos estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco, bajo el argumento de no haber recibido respuesta a su pliego petitorio por parte de las autoridades, el movimiento está más fuerte que nunca y nadie dará un paso atrás hasta haber conseguido el objetivo. La principal inconformidad es el nuevo plan de estudios (2014) impuesto en ESIA UZ y considerado de menor calidad al precedente (2004), por lo que se ha exigido abrogación del mismo.

Muchos profesores tanto de Licenciatura como de Posgrado se han solidarizado con este movimiento.

V

La presente obra también se ha realizado en apoyo absoluto a los investigadores de la SEPI ESIA Zacatenco, quienes han protestado ante lo que ellos han denominado “la imposición de un jefe ilegítimo de posgrado”.

VI

DEDICATORIAS

VIII

Dedico de manera especial este libro a Dios, a mi madre Clara y mi padre Antonio, así como a mis hermanos José Carlos y Antonio.

A mis abuelas Paulina Ramírez y Juana Marín.

A mis sobrinos Diego y Antonio.

He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los miembros de mi familia a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente, incluyendo aquellos que se han adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y tía Lucía).

Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos(as), compañeros(as), profesores(as), investigadores y colegas que siempre me han respaldado.

Agradezco a las Instituciones en las que me he formado académicamente a nivel de Licenciatura y Posgrado: FES Aragón UNAM y ESIA UZ IPN.

Hago un reconocimiento especial al amigo e investigador Dr. Ernesto Pineda León por todos los conocimientos que me ha transmitido y por haber efectuado la revisión técnica de este libro.

A todas las personas de México y del extranjero que directa o indirectamente me han apoyado y/o han depositado su confianza en mí.

A todo aquel que con los puños en alto sigue luchando por un mundo más justo (estudiantes, profesionistas honestos, obreros, campesinos, jornaleros y demás). Somos el pueblo trabajador, los siempre condicionados y reprimidos.

A la memoria de mis amigos Juan, Miguel, Luis y Gilberto…buen viaje.

A los lectores, esperando que este texto sea de su agrado y utilidad.

“La información no es sólo para el que la paga, es para todos(as).”

“No hay fronteras ni banderas para el conocimiento.”

“Escribir para resistir en un mundo de opresión.”

Gracias por todo su apoyo a todos(as) ustedes y por siempre alentarme a seguir adelante.

IX

LA RESISTENCIA GLOBAL DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL (IPN)

Y LAS UNIVERSIDADES SOLIDARIAS

¡Basta ya! mi futuro no está en venta… hermano no te vayas a la deriva… mejor pon el puño arriba… porque mi gente está apoyando a esta nación… aquí estamos todos resistiendo vamos todos a bordo, que no se quede nadie cuidando al compañero y que aquí nadie nos calle… organización y hay que tener cuidado hay muchos que provocan porque vienen de infiltrados son tan ignorantes, se olvidan de su pueblo, confunden intereses y creen son parte del dueño… nuestro delito es ser conscientes… no caigo en el juego de la desinformación… vivir en libertad, disfrutar del consenso, fomentar el apoyo mutuo solidaridad y diversidad sexual y todo nuestro apoyo a las comunidades étnicas voy a seguir creyendo… que la razón más justa es la verdad nadie va parar la libertad… busquemos el derecho de imaginar

By el artista mexicano Herón Skalo

XI

CONTACTO

Cuenta Personal

David Ortiz M en I https://www.facebook.com/davidortizMenI

Página de la Biblioteca

Se les hace la amable invitación a unirse a la página oficial de Facebook de la Biblioteca; para localizarla, se les sugiere teclear en el buscador las palabras Problemario de Análisis de Estructuras en 2D Y 3D.

Si buscas un sitio donde se haga válido el supuesto derecho que todos tenemos de "La educación es gratuita y no un privilegio", la Biblioteca citada es uno de los lugares indicados, pues toda la información que elaboramos (Libros, Tesis, Vídeos Tutoriales y Manuales) profesionistas de México, Perú, Bolivia y Ecuador es de libre descarga. Si necesitas una dosis de entretenimiento, ahí la encontrarás. Siempre serás bienvenido al lugar donde a través de la expresión artística manifestamos nuestra inconformidad ante un sistema injusto y carente de oportunidades para todos por igual. Es en la literatura de Ingeniería más combativa que jamás hayas visto donde podrás notar que pintamos las banderas de un solo color, pues todos(as) tienen cabida, y los egos y las envidias no existen. Que disfruten de nuestra producción intelectual: es la novel propuesta del siglo XXI.

PREFACIO

XIV

diferencial del movimiento para los sistemas de un grado de libertad con y sin amortiguamiento. En las páginas finales del libro, el autor hace una síntesis de lo que fue el movimiento estudiantil citado.

Enfoque

En cada capítulo del libro, se resuelve de manera minuciosa y clara una gran variedad de ejercicios sobre estructuras isostáticas e hiperestáticas, y sistemas de un grado de libertad con amortiguación y sin amortiguación, según sea el caso. Esto tiene como objetivo ofrecer al lector una idea muy acercada de cómo trabajan los software de estructuras disponibles hoy en día, por ejemplo, SAP2000, ETABS o ANSYS, debido a que estos emplean las teorías que en la presente obra se tratan.

Por otra parte, en automático se le brinda al lector un medio para comprobar los resultados obtenidos en los programas de cálculo mencionados, en vez de limitarse simplemente a confiar en los resultados generados. Desde un punto de vista académico, la resolución detallada de ejercicios muy variados, desde simples hasta muy complejos, permiten al estudiante tener más práctica y por ende desarrollar de forma más amplia sus habilidades, aterrizando los conceptos aprendidos en clase y de ese modo, enfrentar con más facilidad los ejercicios que se le dejan extra-clase o bien, llegar mejor preparado para algún examen.

Contenido

El libro se divide en tres capítulos. En el capítulo 1 se analizan estructuras isostáticas únicamente, específicamente, vigas, pórticos, armaduras y arcos. Esta parte vendría siendo una introducción al análisis estructural; se explica la forma de calcular el grado de indeterminación, las reacciones en los soportes, de determinar las funciones de las fuerzas cortante y normal, y de momento flexionante empleando el método de las secciones, de dibujar los diagramas de los elementos mecánicos, de inferir las fuerzas en las barras con el método de los nodos en las armaduras, etc.

En el capítulo 2 se estudian las estructuras estáticamente indeterminadas; los métodos que se emplean para ello son el de flexibilidades (también llamado de las fuerzas) y el matricial de la rigidez (también conocido como de la rigidez directa), y se aplican solo a armaduras, vigas y marcos, en el plano.

Finalmente, el capítulo 3 se enfoca a la resolución de sistemas de un grado de libertad con y sin amortiguamiento, tanto para casos en los que la carga es nula como para los casos en los que hay excitación armónica. DAVID ORTIZ SOTO

XV

CONTENIDO

1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS .................................................................................. 1

Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector de una viga isostática con un soporte inclinado ................................................ 1 Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con carga triangular ..................................................................................................... 8 Ejercicio 1.3 Análisis de una viga con carga compleja ................................... 12 Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un pórtico .................................................................................................................. 25 Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simétrica .................... 36 Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simétrica ............... 42 Ejercicio 1.7 Resolución de un arco triarticulado parabólico .......................... 47

Ejercicio 1.8 Resolución de un arco triarticulado circular ................................ 54

2 ANÁLISIS ESTRUCTURAL ........................................................................................ 63

Ejercicio 2.1 Método de flexibilidades aplicado a una viga ............................. 63 Ejercicio 2.2 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento en un soporte ....................................................................................................... 74 Ejercicio 2.3 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento en un soporte modelado como resorte helicoidal ............................................ 84 Ejercicio 2.4 Resolución de una viga de sección variable empleando el método de las fuerzas ...................................................................................................... 93 Ejercicio 2.5 Método de flexibilidades aplicado a un marco con una redundante .............................................................................................................................. Ejercicio 2.6 Método de flexibilidades aplicado a un pórtico con varias redundantes y un asentamiento en un apoyo .................................................. Ejercicio 2.7 Método de flexibilidades aplicado a un marco con una columna inclinada ............................................................................................................... Ejercicio 2.8 Resolución de una armadura externamente indeterminada con el método de flexibilidades ................................................................................

1

CAPÍTULO 1

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector de una viga isostática con un soporte inclinado.

Instrucciones Determine las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada en la figura 1-1a producidas por las cargas indicadas. Use el método de las secciones para deducir las expresiones algebraicas que describen la variación de los elementos mecánicos.

SOLUCIÓN

Verificación del grado de indeterminación

Se identifican las fuerzas reactivas en los apoyos (soportes); el soporte 1 es un rodillo, por lo que la reacción 𝑅 1 es perpendicular al plano de deslizamiento del apoyo, mientras que el soporte 2 es articulado y en él se generan dos reacciones, una horizontal (𝑅2𝑋)^ y una vertical (𝑅2𝑌). Como hay tres incógnitas de reacción,

1. 5 𝑘/𝑓𝑡

1

2

24´

10´ 12

5

𝜃 Plano de deslizamiento del soporte

Figura 1- 1

(a)

CAPÍTULO 1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

2

𝑟 = 3, tres ecuaciones de equilibrio (∑ 𝐹𝑋 = 0, ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0), 𝑛 = 3, y ninguna ecuación de condición (no existe articulación (rótula) ni conexión cortante intermedia), 𝑐 = 0, se concluye que la viga es isostática o estáticamente determinada debido a que se cumple que 𝑟 = 𝑛 + 𝑐, puesto que 3 = 3 + 0.

Si 𝑟 > (𝑛 + 𝑐), entonces la viga es estáticamente indeterminada, o bien, en caso de que 𝑟 < (𝑛 + 𝑐), se infiere que la viga es inestable.

Cálculo de las reacciones en los apoyos

Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. El sentido de cada reacción ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las fuerzas reactivas no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que determinar: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al área bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del cual pasa la línea de acción de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante (para una carga rectangular, el centroide se localiza a la mitad de la longitud de la base).

Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a los ejes coordenados 𝑋 y 𝑌 más convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en

1. 5 𝑘/𝑓𝑡

1

2

24´

10´ 12

5

𝜃

𝜃 𝑅 2 𝑋

𝑅 2 𝑌

𝐴 = 12 𝑘

𝑥 = 12´

𝑋

𝑌

(b)