Interpolacion polinomial, Diapositivas de Métodos Matemáticos para Análisis Numérico y Optimización

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INTERPOLACION

POLINOMIAL

POLINOMIO DE LAGRANGE 15/06/ 1

15/06/ Introducción Cada 10 años se realiza un censo de población en Estados Unidos. La siguiente tabla muestra los datos en miles de habitantes desde 1940 hasta el 2000. Cuyo gráfico es:

15/06/ La importancia de usar un polinomio radica en lo siguiente:

1. Dada una función continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan cerca de la función como se desee.

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2. La derivada y la integral indefinida de un polinomio son fáciles de determinar. El problema de encontrar un polinomio de primer grado que pasa por los puntos y es el mismo que el de aproximar una función para la cual: y por medio de un polinomio de primer grado que interpole los valores de en los puntos dados o que coincida con ellos. Para ello definimos primero: Y luego definimos el polinomio lineal de Lagrange al polinomio:

15/06/ Generalización Con el mismo criterio anterior vamos a construir un polinomio de Lagrange de grado máximo n que pase por los n+1 puntos: Como se muestra en la figura:

15/06/ Primero definimos las funciones: = Si son n+1 números distintos y si es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un único polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que: Este polinomio está dado por: Donde:

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TEOREMA

Supongamos que son números distintos en el intervalo. Entonces, para cada x en existe un número en Donde P(x) es el polinomio de Lagrange definido anteriormente. Demostración dada en clase. Observación Una dificultad práctica que ocurre con la interpolación de Lagrange consiste en que el término del error es difícil de aplicar y generalmente el grado del polinomio necesario para lograr la exactitud deseada no se conoce antes de determinar los cálculos.

15/06/ Ejercicio: Para las siguientes funciones se dan los nodos Construir un polinomio de Lagrange de grado máximo para aproximar la función en el nodo 1. a) b) c) d)