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Trabajo de ejercicios de práctica con ilustraciones, paso a paso.
Tipo: Ejercicios
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INTRODUCCIÓN
De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese
intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una
región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una
función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolúmen, sin
embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en
el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una
función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
OBJETIVOS
ii) Integramos cambiando el orden de integración.
1
√𝑦
1
0
𝑥^2
0
1
0
ln(√2 + 1) 8
b) ∫ ∫ 01 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦) 𝜋/2 √(1 + cos^2 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
SOLUCIÓN
i) Gráfica de los límites de la integral doble.
ii) Integramos cambiando el orden de integración.
𝐼𝐼𝐷 = ∫^ ∫^ √(1 + cos^2 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜋 2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦)
1
0
𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫^ √(1 + cos^2 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
0
𝜋
0
√𝑦
0
1
0
12 (1 − cos(1)) d)^ ∫ ∫ 03 𝑦^92 𝑦𝑐𝑜𝑠^2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 SOLUCIÓN
i) Gráfica de los límites de la integral doble.
ii) Integramos cambiando el orden de integración.
9
𝑦^2
3
0
√𝑥
0
9
0
e) ∫ ∫ 01 3𝑦 3 𝑒𝑥^2 𝑑𝑦𝑑𝑥
SOLUCIÓN
i) Gráfica de los límites de la integral doble.
ii) Integramos cambiando el orden de integración.
ii) Integramos cambiando el orden de integración.
2
(^3) √𝑦
8
0
𝑥^3
0
2
0
2. Evaluar:
∬𝑅 (𝑥^2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑦^3 + 4)𝑑𝐴Siendo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 2}
SOLUCION:
∬𝑅 𝑥𝑑𝐴 Siendo R la región del primer cuadrante, acotada por las circunferencias: 𝑥^2 + 𝑦^2 = 4 ∧ 𝑥^2 + 𝑦^2 = 2𝑥 Grafique la región de integración usando el programa derive.
Región de integración: 𝑅 = {(𝑥. 𝑦)/√𝑥(2 − 𝑥) ≤ 𝑦 ≤ √4 − 𝑥^2 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2}
despejando x en función de y:
𝑅
𝑦 2 𝑦 1
√4−𝑥^2 √𝑥(2−𝑥)
2
0
𝑥 2
𝑥 1
𝑅
𝑣 = ∬ 𝑧𝑑𝐴 = ∫ ∫^ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥 2 𝑥 1
𝑦 𝑦^2 −𝑦
2
0
𝑦 2
𝑦 1
i) Gráfico del sólido.
𝑆1: 𝑥^2 + 𝑧^2 = 9 (Cilindro regular)
𝑆4: 𝑧 = 0 (Plano xy) 𝑆5: 𝑥 + 2𝑦 = 2 (Plano)
6. Halle el volumen del solido ubicado sobre la superficie 𝒛 = √𝒙𝟐^ + 𝒚𝟐^ y debajo de la superficie 𝒙𝟐^ + 𝒚𝟐^ + 𝒛𝟐^ = 𝟏. SOLUCION
I. GRAFICO DE LA REGION DE INTEGRACION:
𝑆1: 𝑧 = √𝑥^2 + 𝑦^2 …Cono de revolución 𝑆2: 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 = 1 …Esfera
𝑆1 ∩ 𝑆2: √𝑥^2 + 𝑦^2 = √1 − 𝑥^2 − 𝑦^2
𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 − 𝑥^2 − 𝑦^2
𝑥^2 + 𝑦^2 = 12 ≈ 𝑟 = 12 …Circunferencia
𝑅
1 √ 0
2𝜋 0
1 √ 0
