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Ejercicios de Vectores en el espacio.
- Sean tres vectores A, B y C, tales que A = (3,-2,5) B = (2,-1,3) y C = (1,0,4). Encuentre: || 2A – 3B || Cosenos Directores de 3C – 2A + B Vector unitario en la dirección de 3A – B Proyección escalar y vectorial de B sobre 2C – A. Un vector unitario perpendicular a B y a 2C – B. El área del triangulo cuyos vértices son A, B y C (Suponiendo que son puntos)
Los escalares , y, tal que: A + B + C = (2,-1,9)
(A x B) x C El volumen del paralelepípedo formado por los vectores A, B y C. El ángulo formado por los vectores A – 2 B y 2C – 3B.
- Dados los vectores A = (2,-1,2) y B = (1,2,-2). Halle dos vectores C y D, que satisfagan las
siguientes condiciones: A CD; B D; CllB
3. Sean A y B vectores L.I. de R^3. Sea C BA B
Demuestre que A B C
Demuestre que el ángulo formado por B y C, es obtuso
Si B 1 ; B A 2 , Halle el módulo del vector C.
- Sean tres vectores unitarios A, B y C, tales que B y C forman un ángulo entre ellos de
, y
los vectores A y B tiene la misma dirección. Demuestre que el vector A BC, es un vector
unitario.
- Sean A y B vectores pertenecientes a Rn, tal que la magnitud de la suma de A y B es 2, y la longitud de la diferencia entre A y B es 4.Halle el producto escalar entre A y B. Encuentre el producto escalar entre A y B
- Sean A, B y C vectores pertenecientes a Rn, que cumplen con las siguientes condiciones:
||C|| = 1 ; B C ; A = i ; B = k ; || A + B + C || = || A – B – C ||
Halle el vector C Halle la medida del ángulo entre a A y C 7. Sean A y B vectores unitarios pertenecientes a Rn, tal que A | | B.
Halle el valor del vector [( A x B ) x A ] x B
- Sean tres vectores unitarios no nulos A, B y C, pertenecientes a Rn, tal que A es perpendicular a B, y este tiene sentido opuesto a C. Demuestre que la suma de los tres vectores también es un vector unitario.
- Sean A, B y C vectores no nulos, tal que A es perpendicular a B y C; || A || = 1; || B || = 1; || C || = 3; || A + B + C || = 4. Encuentre || A – B – C ||
- Sean dos vectores unitarios no nulos A y B, tal que el ángulo que forman entre ellos es de
. Halle || A x B + B ||
- Sean A y B vectores unitarios tal que || A || = || B || =|| A – B ||. Encuentre el ángulo entre A y B.
12. Halle las componentes del vector A = ( A 1 , A 2 , A 3 ), tal que 2A 1 = 4A 2 = 7 A 3 ; || A || =
- Obtenga un Vector de longitud 10 y de dirección opuesta al vector P 1 P 2 , donde P 1 (-2,5,3) y P 2 (-4,7,5).
- Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces || B || A - || A || B y || B || A + || A || B , son ortogonales.
15. Sean A y B vectores pertenecientes a Rn, tal que A B = 2; || B || = 4; || A || = 1. Sea C = 2(
A x B ) – 3B. Calcular:
A ( B + C)
|| C ||
Angulo entre B y C
- Sean A y B vectores ortogonales y unitarios de R^3. Sea P un vector que satisface la ecuación P x B = A – P. Demuestre lo siguiente: P es ortogonal a B
|| P|| = 2
( P x B ) x B = – P
Pasa por el origen y es perpendicular a la recta R 1 = x 2 y 4 ; zy 4 y a
la recta R 2 = x y 7 ; 2 z 2 y
Pasa por el origen, es perpendicular a la recta R 1 = 5 x y; z 2 y 3 y corta
a la recta R 2 = 2 x 1 y; zx 2
Pasa por el punto (2,-4,5), es paralela al plano 3x + y – 2z = 5 y es perpendicular a la recta
x y z
Es perpendicular al plano XZ y contiene al punto P (1,-1,-5) Pasa por el punto P (0,-5,6) y es paralela al eje Z Se encuentra en el plano XY, es perpendicular a la reta
x y z
y pasa por el punto P (1,3,-4). Es paralela a los planos x + 2y – 3z + 8 = 0 y 2x – y + z = 0; y además pasa por el punto P (6,4,-2)
- Halle las ecuaciones canónica y general del plano, tal que:
Contiene el punto P (6,2,4) y contiene a la recta
z
x y
Contenga a la recta R 1 = 3 x 2 yz 4 2 ; xy 2 z 1 0 y a la recta R 2 =
z
y
x
Contenga los puntos P 1 (2,0,1); P 2 (3,1,-1) y P 3 ( -2,2,-2)
Que es paralela a la recta 3 x 2 y; 2 zy 1 ; y perpendicular al plano 3z +
5x – 2y = 2 Contenga por el punto P (2,1,3) y contiene a la recta formada por la intersección de los planos 2x + 3y – z = 8 y 3x – y + 2z = 2 Contiene por el punto P (-4,-1,2) y es paralela al plano XY Contenga al punto P (-5,1,2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P 1 (2,2,-4) y P 2 (7,-1,3).
Contiene a los puntos P 1 (2,0,4) y P 2 (1,2,-5) y es perpendicular al plano XZ Es paralelo al plano x – 2y + 2z +12 = 0, y su distancia al origen es 2 Contiene los puntos P 1 (1,0,-1) y P 2 (2,0,2), y forma un ángulo de 60º con el plano 2x – 2y + z + 6 = 0. Contiene a la recta formada por la intersección de los planos 3x + y – 2z 10 = 8 y x – 3y
- z + 3 = 0 y es perpendicular al plano XY Contiene a la recta formada por la intersección de los planos x + y + z + 10 = -1 y x – 4y
- 5z = 10; y con distancia al origen igual a 3. El plano es perpendicular al segmento AB en su punto medio, donde A (3,2,-7) y B (5,- 4,9) Contiene el punto P (2,-5,-4) y al eje Z Las intersecciones con los ejes coordenados X, Y, Z, son 4, -3, -2 respectivamente.
- Demuestre que las rectas R1 =
x 1 y z
y R 2 =
z t
y t
x t
se cortan, y encuentre la ecuación del plano que las contiene.
4. Halle la distancia entre las rectas cruzadas R 1 = x 2 t; y 3 4 t, z 2 t y R 2 =
x 1 t; z 1 z, y 3
- Sean los planos x + 5y + cz = -6 y 4x + 20y – 8z = 12. Halle el valor de c para que los dos planos sean primero paralelos y luego perpendiculares.
- Demuestre que la recta
x 2 y z
, y el plano 2x – 3y + 6z + 3 = 0 son paralelos y determine la distancia entre ellos.
- Demostrar que los planos 2x – 3y – 3z – 4 = 0; x + 7y – 2z = - 7; 3x + 2y – z – 3 = 0 tienen solamente un punto en común y halle sus coordenadas.
- Dados a, b y c distintos de cero, los cuales son las intersecciones con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente. Demuestre que existe otra forma de escribir la ecuación del plano (forma
intercepción) la cual es: 1
c
z
b
y
a
x
