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Sistema de coordenadas tridimensional
Antes de ver como se representa gráficamente un campo escalar de dos variables
independientes, veremos algunos conceptos básicos de geometría del espacio.
En el espacio euclídeo tridimensional.
Tenemos en este caso tres ejes coordenados, x, y , z, perpendiculares 2 a 2. El eje x se
representa a 135º con el eje y. El punto de intersección entre los ejes es el origen de
coordenadas, el punto O.
Sobre los ejes y y z, que se ven en su real dimensión, se utiliza la escala entera,
mientras que para el eje x, que está en perspectiva, se utiliza una escala menor que es
habitualmente 0,7 de la escala sobre los otros ejes para aumentar el efecto de la
profundidad en la perspectiva.
Estos ejes definen tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en O, los
planos (xy), (xz) e (yz).
Estos planos dividen al espacio en 8 sectores cada uno denominado octante.
El 1º octante es aquel en el cual las tres variables son positivas.
Ecuaciones de los planos coordenados
Sobre el plano ( xy ), la z vale 0: z=
Sobre el plano ( xz ): la y vale 0: y=
Sobre el plano ( yz ): la x vale 0: x=
Ecuaciones de los ejes coordenados Los ejes coordenados se obtienen como
intersección de los planos coordenados
Ecuaciones del eje x
y = 0
z = 0
Ecuaciones del eje y :
x = 0
z = 0
Ecuaciones del eje z :
x = 0
y = 0
Veremos ahora como representar funciones de dos variables independientes.
Empezaremos por ver como representar un punto en el espacio.
Representación gráfica de un punto en el espacio
Para determinar la posición de un punto P0 = ( x 0; y 0; z 0) en el espacio primero
fijamos el punto A en el plano ( xy ) trazando paralelas a los ejes coordenados
x e y por x 0 e y 0.
Por dicho punto trazamos la perpendicular al plano ( xy ) sobre el cual tomamos el
valor
z 0. Así como para dos dimensiones, un punto se puede considerar como el vértice de
un rectángulo, en tres dimensiones un punto se puede considerar como el vértice de
un
paralelepípedo recto.
Ejemplo
f : R
2
→ R
/ z = f ( x ; y ) = x + y , podemos hacer una tabla de valores y obtener algunos
puntos de su gráfica.
a) sea la funcion f
b)
Definición de función compuesta de dos variables.
Definición compuesta de n variables
LIMITE
Límite finito de una función en un punto P 0
Concepto
Podemos considerar al límite como el valor numérico al que se aproxima una función
a medida que nos aproximamos al punto P0, cualquiera sea el camino elegido para
llegar al mismo.
Para funciones de una variable
Hay dos caminos para llegar al punto porque el punto está sobre una recta. Por la
izquierda y la derecha. Para que exista el límite el valor debe ser el mismo.
lim
x → 0
f ( x )= l
Para un campo escalar de dos variables
El punto ahora se encuentra en un plano y por lo tanto hay infinitos caminos para
llegar a él. Esta es la gran diferencia que hay entre el cálculo del límite para funciones
de dos variables y para funciones de una variable; ahora los caminos son infinitos. Una
función o campo escalar de dos variables tiene límite finito en un punto
P
0 =( x ¿
¿ 0 ; y
o
)¿
cuando los valores de la función se aproximan a un número finito L a medida que los
valores de ( x ; y ) se aproximan a(x 0;
y
0
) cualquiera sea el camino elegido para llegar al
punto.
lim
x, y → x
0
y
0
f ( x , y ) ¿ L
Definición de límites de una función de n variables: Si f está
Definición de límite de una función de dos variables
Una función z = f ( x ; y ) tiene límite finito L en un punto de acumulación de
su dominio ⇔cuando los valores de ( x ; y ) → ( x 0
;y 0
), los valores de la función se
aproximan a L , cualquiera sea el camino elegido para llegar al punto.
Eso quiere decir que la diferencia, en valor absoluto, entre los valores de la
función y el límite se pueden hacer tan pequeña como se quiera, con tal de
tomar valores de ( x ; y ) suficientemente próximos al punto, es decir, pertenecientes al
entorno reducido de centro P0 y radio h.
Interpreta
ción geométrica
Esto quiere decir que por más pequeño que sea
ξ (diferencia entre los valores
que toma la función en un entorno de ( x 0; y 0) y L ) siempre existe h , radio del
entorno reducido dentro del cual están los ( x ; y ) que cumplen con la condición
Regla práctica para cálculo del límite doble
Lo que hemos visto es la definición del límite doble, es decir la condición que debe
cumplirse para que una función tenga límite doble en un punto. Para calcular el límite
doble procedemos de la misma manera que para funciones de una variable. Probamos
como regla práctica reemplazar las variables x e y por las coordenadas del punto en el
cual queremos calcular el límite y observamos que ocurre.
Ejemplos
Si obtenemos un valor determinado podemos decir que ese valor es el valor del límite.
El límite así calculado recibe el nombre de límite doble o simultáneo porque ambas
variables tienden simultáneamente al punto, abarcando así los infinitos caminos por
los cuales se puede acceder al punto.
Veamos ahora el siguiente ejemplo
Llegamos en este caso a una indeterminación que
no se puede salvar. Es decir que este procedimiento de reemplazar las coordenadas x
e y por las coordenadas del punto no siempre da buenos resultados. Lo que vamos a
hacer a partir de ahora es empezar a recorrer algunos de los infinitos caminos por los
cuales se puede acceder al punto. Si al recorrer algunos de esos infinitos caminos, por
ser infinitos no podemos agotarlos todos, los valores de la función se aproximan a
valores distintos, podemos asegurar que la función no tiene límite doble en ese punto
porque el límite, de existir, debe ser único. Pero si al recorrer esos caminos siempre
llegamos al mismo valor, no podemos asegurar ni la existencia ni la no existencia del
límite, porque que la función, al acercarnos por determinados caminos, se aproxime a
un mismo valor no quiere decir que por todos los caminos se llegue al mismo valor.
Propiedades de los límites
Para las funciones de dos variables valen las mismas propiedades que para
los límites de una variable. Es decir que el límite, si existe, es único. El límite de la
suma, resta, producto o cociente de funciones es igual a la suma, resta, producto o
cociente de los límites. En este último caso si el límite del denominador es distinto de
cero.
El producto entre un infinitésimo y una función acotada es otro infinitésimo.
- Si ∃ L , L 1
, L
2
, L
r
y L p
, estos deben ser iguales, es decir L = L 1
= L
2
= L
r
= L
p
- Si L 1
≠ L
2
o L 1
= L
2
≠ L
r
o L 1
= L
2
= L
r
≠ L
p
∄ L
decir que si algunos
de los límites que encontramos son distintos, el límite doble no existe.
L 1 = L 2 = L r = L p no se sabe si existe el límite doble L.
Puede ∃ L y no existir L 1 o L 2.
Teorema de la unicidad: Si existe el límite doble, éste es único.
Dem.) Suponemos que f tiene dos límites distintos L 1 y L 2. Elegimos h=
ε
Si consideramos h = mín { h 1; h 2}, a) y b) se cumplirían en E*[(x 0
;y 0
)]; h]
Entonces en E*[(x 0
;y 0
)]; h] vale:
Como se puede hacer tan pequeño como se quiera y L 1 y L 2 son constantes,
entonces L 2
– L
1
= 0 lo tanto L 1
= L
2
. Queda así demostrado que el límite
es único.
Teorema 1:
EJEMPLO 1 Verificar un límite a partir de la definición
Mostrar que
Solución : Sea f(x,y,)= x y L=a Se necesita mostrar que para cada ε >0 existe un
entorno δ de (a,b) tal que
Siempre que se encuentre en el entorno. Primero se puede observar que
Implica que
Así que se puede elegir δ = ε y el límite queda verificado.
Continuidad en un conjunto
Una función es continua en un conjunto A si lo es en todos los puntos pertenecientes
al mismo.
Funciones discontinua. Clasificación
Si una función no cumple con alguna de estas condiciones se dice que es discontinua
en el punto.
Discontinuidad evitable
Si existe el límite doble de la función en el punto, la discontinuidad es evitable.
Geométricamente la función tiene un agujero en el
punto. La función se puede transformar en continua redefiniéndola, considerando
como imagen
del punto el valor del límite.
La función no está definida en el origen, pero sí tiene límite doble. Es una
función discontinua evitable. Para transformarla en continua la redefinimos
asignándole como imagen al origen el valor del límite
Discontinuidad Esencial
Si la función no tiene límite en el punto, la discontinuidad es esencial.
Ejemplo
UNIDAD N°
INTRODUCCIÓN
Antes de analizar el tema de las derivadas para campos escalares de dos variables
hacemos un breve repaso del concepto de derivada para funciones de una variable.
Definición
Consideramos una función y = f (x) y un punto x 0
interior al Df. Consideramos un
incremento de la variable
x ( ∆ x ) pasamos así del punto x 0
al punto incrementado
x = x
0
Al punto x0 le corresponde un valor de la función que se denomina f (x0) y al punto
incrementado le corresponde un valor de la función f (x).
Vemos que a un incremento de la variable x, le corresponde un incremento de la
función
∆ y = f ( x )− f ( x
0
Cociente incremental
Procedemos a formar el cociente entre los incrementos:
Derivada de una función en un punto
Calculamos el
Dicho límite, si existe, recibe el nombre de derivada de la función y = f ( x ) en
el punto x = x 0.
Podemos definir a la derivada de una función en un punto de su dominio
como el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende
a 0
D erivadas parciales
FUNCIONES DERIVADAS PARCIALES
Si las derivadas parciales respecto de x e y existen en todos los puntos de un
conjunto A, es decir que a cada punto se le puede asignar el valor de su derivada
parcial en dicho punto, queda definida la función derivada parcial
respecto de x o respecto de y. Al igual que para funciones de una variable,
habitualmente conviene calcular primero la función derivada parcial y luego
aplicarla para calcular la derivada parcial en un punto particular (siempre y
cuando la derivada parcial sea continua en ese punto).
Notación
Para referirnos a las funciones derivadas parciales utilizaremos las siguientes
notaciones:
