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ANÁLISIS ONTO-SEMIÓTICO DE PROBLEMAS
COMBINATORIOS Y DE SU RESOLUCIÓN POR
ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS
1
Juan D. Godino, Carmen Batanero y Rafael Roa Universidad de Granada
RESUMEN:
En este trabajo se describe un modelo ontológico y semiótico para la cognición matemática, que se ejemplifica para el caso de la combinatoria elemental. Asimismo, aplicamos este modelo para analizar el proceso de resolución de algunos problemas combinatorios por alumnos con alta preparación matemática y aportar una explicación semiótica de la dificultad del razonamiento combinatorio. Finalmente, se describen las implicaciones del modelo teórico y tipo de análisis presentado para la investigación en didáctica de la matemática.
- INTRODUCCIÓN Recientemente, observamos un interés creciente en la comunidad de investigación en educación matemática por el uso de nociones semióticas en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Así encontramos trabajos presentados en PME (Ernest, 1993; Vile y Lerman, 1996), y los realizados desde la perspectiva del interaccionismo simbólico, entre otros, por Bauersfeld y colaboradores (Cobb y Bauersfeld, 1995) que enfatizan la noción de significado y negociación de significados como centrales para la educación matemática. Destacamos también los trabajos sobre la problemática de la influencia los sistemas de representación (Duval, 1993), simbolización y comunicación (Pimm, 1995; Cobb, Yackel y McClain, 2000), y, en general, del lenguaje (Ellerton y Clarkson, 1996) en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como las investigaciones sobre la comprensión de las matemáticas (Sierpinska, 1994; Godino, 1996), que no pueden eludir las cuestiones del significado.
Este interés es consecuencia natural del papel esencial que desempeñan los medios de expresión en los procesos de pensamiento, como resaltan Vygotsky (1934), quien considera el significado de la palabra como unidad de análisis de la actividad psíquica, y Cassirer (1964: 27) para quien “el signo no es una mera envoltura eventual del pensamiento, sino su órgano esencial y necesario”.
Estos trabajos sugieren la necesidad de analizar el papel de los signos y la propia noción de significado, desde la perspectiva de la educación matemática, así como la articulación entre los componentes semióticos y epistemológicos puestos en juego en la actividad matemática, esto es, de reflexionar sobre la naturaleza y tipo de los objetos
(^1) Educational Studies in Mathematics, 60 (1): 3-
cuyos significados se ponen en juego. " Lo que entendemos por 'comprensión' y 'significado' está lejos de ser obvio o claro, a pesar de ser dos términos centrales en toda discusión sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en cualquier nivel" (Pimm, 1995, p. 3)
En el trabajo matemático, los símbolos (significantes) remiten o están en lugar de las entidades conceptuales (significados). Por ello, además del dominio de la sintaxis del lenguaje simbólico matemático, la semántica, es decir, la naturaleza de los propios conceptos y proposiciones matemáticas y su relación con los contextos y situaciones- problemas de cuya resolución provienen es un punto crucial en los procesos de instrucción matemática. En consecuencia, es necesario elaborar modelos teóricos que traten de articular las dimensiones semiótica (en sus aspectos sintácticos, semánticos y pragmáticos), epistemológica, psicológica y sociocultural en educación matemática. Esta modelización requiere tener en cuenta, entre otros, los siguientes elementos y supuestos:
- Diversidad de objetos puestos en juego en la actividad matemática, tanto en el plano de la expresión como en el del contenido.
- Diversidad de actos y procesos de semiosis (interpretación) entre los distintos tipos de objetos y de los modos de producción de signos.
- Diversidad de contextos y circunstancias espacio-temporales y psicosociales que determinan y relativizan los procesos de semiosis.
En Godino (2001) se propone un sistema de nociones teóricas que configuran un enfoque semiótico de la cognición matemática, incorporando supuestos pragmáticos y antropológicos sobre la actividad matemática, y puede ser particularmente bien adaptado para el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En este artículo, tras sintetizar los principales herramientas teóricas del enfoque semiótico, mostraremos su potencial utilidad para describir y explicar las dificultades del proceso de resolución de problemas combinatorios elementales por estudiantes universitarios con preparación matemática avanzada. Los datos empíricos son parte de los obtenidos por Roa (2000) en una investigación sobre razonamiento combinatorio en alumnos con preparación matemática avanzada. Los problemas analizados forman parte de un cuestionario de 13 problemas que el citado autor propuso a una muestra de 118 estudiantes de la licenciatura de Matemáticas (4º o 5º curso), quienes mostraron una dificultad generalizada en su resolución ( el número medio de problemas resueltos fue sólo de 6 problemas por alumno).
El modelo teórico presentado desarrolla nuestros trabajos anteriores (Godino y Batanero, 1994; 1998; Godino y Recio 1997) donde definíamos el “significado institucional y personal de un objeto matemático” tratando de centrar el interés de la investigación en los conocimientos matemáticos institucionalizados, sin perder de vista el sujeto individual hacia el que se dirige el esfuerzo educativo.
En ellos sugerimos que al preguntarnos qué es la “combinatoria” (u otro objeto matemático), o lo que consideramos como equivalente, cuando nos interesamos por su significado debemos identificar las “prácticas que realiza una persona para resolver cierto tipo de problemas (problemas combinatorios)”. Si esas prácticas –acciones o manifestaciones operatorias y discursivas- son características de un sujeto individual, hablamos de significado personal del objeto, y si son compartidas en el seno de una institución, hablaríamos del significado institucional de dicho objeto.
objetos matemáticos como praxeologías matemáticas las cuales están constituidas por la praxis (tareas, técnicas) y el logos (tecnología, teoría). Así mismo, modelizan la matemática como actividad humana y describen la dialéctica entre la acción situada y el discurso que la explica y justifica.
Pensamos, sin embargo, que en el componente discursivo de esta teoría es preciso diferenciar los conceptos y proposiciones, interpretados como reglas en el sentido de Wittgenstein (Baker y Hacker, 1985), y las argumentaciones. Esto permitirá realizar análisis más pormenorizados de la actividad matemática e incrementar la sensibilidad del investigador (y el profesor) hacia los procesos interpretativos por parte de los sujetos. Nos parece conveniente considerar además explícitamente el lenguaje, como un tercer componente de las praxeologías, junto con la praxis y el logos, apareciendo de este modo una nueva interpretación del "triángulo epistemológico", en una versión antropológica del conocimiento matemático.
Por otro lado, el problema epistémico-cognitivo no puede desligarse del ontológico. En los procesos comunicativos que tienen lugar en la educación matemática, no sólo hay que interpretar las entidades conceptuales, sino también las situaciones problemáticas y los propios medios expresivos y argumentativos. Por este motivo consideramos necesario elaborar una ontología simple, pero suficiente para describir la actividad y comunicación matemática.
El modelo ontológico-semiótico que describimos a continuación trata de aportar herramientas teóricas para analizar conjuntamente el pensamiento matemático, los ostensivos que le acompañan, las situaciones y los factores que condicionan su desarrollo. Así mismo, se tienen en cuenta facetas del conocimiento matemático que pueden ayudar a confrontar y articular distintos enfoques de investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje y progresar hacia un modelo unificado de la cognición e instrucción matemática.
Este modelo desarrolla otros propuestos anteriormente (Godino y Batanero, 1994;
- sobre las nociones de “significado institucional y personal de un objeto matemático” en las que, desde supuestos pragmáticos, tratábamos de centrar el interés de la investigación en los conocimientos matemáticos institucionalizados, sin perder de vista el sujeto individual hacia el que se dirige el esfuerzo educativo.
Concebimos el significado de la “media aritmética” (o número real, función, etc.), en términos de los “sistemas de prácticas que realiza una persona para resolver cierto tipo de problemas”. Esas prácticas –acciones o manifestaciones operatorias y discursivas- pueden ser atribuidas a un sujeto individual, en cuyo caso hablamos de significado del objeto personal, o pueden ser compartidas en el seno de una institución y entonces decimos que se trata del significado del objeto institucional correspondiente.
Partimos también de la idea de significado en el sentido de Hjemslev, 1943, como el contenido de una función de signo, descrita por Eco (1979) como "función semiótica", interpretándola sencillamente como aquello a lo cual se refiere un sujeto en un momento y circunstancias dadas, y no solamente como entidad mental (supuesto básico de la semiótica de Saussure, 1916). En ciertos actos comunicativos nos referimos a “sistemas de prácticas”, mientras que en otros nos referimos a elementos constitutivos de tales sistemas. Admitimos incluso que las ideas o abstracciones pueden ser símbolos de otras ideas, en consonancia con la semiótica de Peirce (Eco, 1979).
El modelo ontológico que proponemos como instrumento analítico y explicativo de los fenómenos de cognición matemática incluye seis tipos de entidades primarias y
cinco facetas duales desde las cuales se pueden contemplar dichas entidades primarias.
Entidades primarias:
(1) Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos).
(2) Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas o intramatemáticas, ejercicios, ...).
(3) Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algorítmos, técnicas de cálculo, procedimientos).
(4) Conceptos^2 , dados mediante definiciones o descripciones (número, punto, recta, media, función, ...)
(5) Propiedades^4 o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados o proposiciones.
(6) Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean deductivas o de otro tipo).
Facetas de los objetos matemáticos:
Las entidades matemáticas, según las circunstancias contextuales y del juego de lenguaje en que participan, pueden ser consideradas desde las siguientes facetas o dimensiones duales:
- personal - institucional
- ostensiva - no ostensiva
- ejemplar – tipo
- elemental - sistémica
- expresión - contenido
En los apartados que siguen describiremos estos términos usando como ejemplo el campo de la combinatoria elemental. Posteriormente mostraremos utilidad de este modelo ontológico-semiótico para describir los procesos de resolución de una muestra de problemas combinatorios por parte de estudiantes universitarios. Este análisis muestra la complejidad cognitiva de la combinatoria elemental y explica la dificultad de la tarea por la existencia de conflictos semióticos así como por la aplicación incorrecta de elementos de significado de la combinatoria elemental que usualmente no son tenidos en cuenta en la enseñanza del tema.
(^2) Los conceptos y propiedades son interpretados aquí como propone Wittgenstein, como "reglas
gramaticales sobre el uso de símbolos y expresiones" para describir las situaciones y las acciones que realizamos ante dichas situaciones (Baker y Hacker, 1985, p. 285). Tales reglas cambian según la fenomenología, los juegos de lenguaje, las formas de vida, las instituciones. Otro uso habitual de 'concepto' es como sistema heterogéneo de objetos (situaciones, invariantes operatorios, representaciones) que se puede sustituir con ventaja por la noción de praxeología.
Tabla 1: Diferentes posibilidades en el esquema de selección Muestra ordenada Muestra no ordenada
Reemplazamiento VRm, n CRm, n No hay reemplazamiento Vm, n Cm,n
Otro tipo de problemas combinatorios según Dubois (1984) se refiere a la colocación de una serie de n objetos en m celdas, como en el siguiente:
Problema 2. Disponemos de tres cartas iguales. Deseamos colocarlas en cuatro sobres de diferentes colores: amarillo, blanco, crema y dorado. Si cada sobre sólo puede contener, a lo sumo, una carta. ¿De cuántas formas podemos colocar las tres cartas en los cuatro sobres diferentes? Ejemplo: podemos colocar una carta en el sobre amarillo, otra en el blanco y otra en el crema.
En este caso, intervienen dos conjuntos diferenciados de objetos (cartas y sobres) por lo que no es tan evidente aplicar la regla “ordenado/ no ordenado” para resolver el problema. En el ejemplo propuesto el conjunto de cartas es indistinguible; por tanto no puede ser ordenado, mientras que sí lo es el conjunto de sobres. Otros verbos claves que pueden considerarse en este modelo son: "colocar", "aparcar", "introducir", "asignar", "guardar", etc. La solución a este problema es C4,3, pero hay muchas posibilidades diferentes en este modelo. dependiendo de las siguientes características:
- Si los objetos a colocar son idénticos;
- Si las celdas son idénticas o no;
- Si debemos ordenar los objetos colocados dentro de las celdas;
- Las condiciones que se añadan a la colocación, tales como el máximo número de objetos en cada celda (1 objeto como mucho en el problema 2).
No hay una operación combinatoria distinta para cada diferente posible colocación, y más aún, se puede obtener la misma operación combinatoria con diferentes problemas de colocación. Por ejemplo, podemos definir las variaciones como el número de formas de colocar n objetos diferentes en m celdas distintas (es irrelevante si la colocación es ordenada o no). En el caso de objetos indistinguibles, obtenemos las combinaciones.
También podemos obtener algunos tipos de colocaciones que no pueden expresarse con una operación combinatoria básica. Por ejemplo, si consideramos las colocaciones no ordenadas de n objetos diferentes en m celdas idénticas, obtenemos los números de Stirling de segundo género Sn,m. En consecuencia, no es posible traducir cada problema de colocación en un problema de muestreo. El lector interesado puede encontrar un estudio más completo de los números de Stirling en Grimaldi (1989) y de las diferentes posibilidades del modelo de colocación en Dubois (1984).
Asignar los n objetos a las m celdas es, desde un punto de vista matemático, equivalente a establecer una aplicación desde el conjunto de los n objetos al conjunto de las m celdas. Para las aplicaciones inyectivas obtenemos las variaciones ordinarias; en
caso de una biyección obtenemos las permutaciones. Sin embargo, no hay definición directa para las combinaciones ordinarias usando la idea de aplicación. Mas aún, si consideramos una aplicación no inyectiva podríamos obtener un problema para el cual la solución no es una de las operaciones combinatorias básicas.
Finalmente, podríamos estar interesados en dividir un conjunto de n objetos en m subconjuntos, es decir, en efectuar una partición de un conjunto, como en el siguiente problema:
Problema 3: Un niño tiene cuatro coches de colores diferentes (Azul, Blanco, Verde y Rojo) y decide repartírselos a sus hermanos Fernando, Luis y Teresa. ¿De cuántas formas diferentes puede repartir los coches a sus hermanos? Ejemplo: Podría dar los cuatro coches a su hermano Luis. Podríamos visualizar la colocación de n objetos en m celdas como la partición de un conjunto de n elementos en m subconjuntos (las celdas). Por tanto, hay una correspondencia biyectiva entre los modelos de partición y colocación, aunque para el estudiante esto podría no ser tan evidente. Otros verbos claves asociados con la partición son: "dividir", "partir", "descomponer", "separar", etc. Consecuentemente, no podemos suponer que los tres tipos de problemas descritos (selección, colocación y partición) sean equivalentes en dificultad, incluso aunque puedan corresponder a la misma operación combinatoria.
Finalmente, en los problemas combinatorios compuestos uno o más problemas combinatorios simples se combinan por medio de la regla del producto, como en el caso siguiente, en que se combinan los modelos de colocación y selección mediante la regla del producto.
Problema 4. Un niño tiene doce cartas: 9 de ellas son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las tres restantes son las figuras: sota, caballo y rey. ¿De cuántas maneras se pueden alinear cuatro de las doce cartas con la condición de que siempre estén seleccionadas las tres figuras? Ejemplo: sota caballo rey 1. Queremos resaltar que todos los problemas analizados en este trabajo son problemas combinatorios de recuento en que se pide hallar el número de configuraciones combinatorias con una cierta estructura. No entraremos en el análisis de los problemas combinatorios de existencia, enumeración, clasificación y optimización que hemos descrito en Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994).
El lenguaje combinatorio
Para resolver los problemas descritos, o para describirlos a otra persona necesitamos usar términos, expresiones, notaciones, gráficos. Así en el apartado anterior hemos usado palabras como selección, colocación, partición, muestra, repetición, ordenación, variaciones, permutaciones, combinaciones, etc.
Asimismo, la notación simbólica, como, por ejemplo C4.2 , CRm.n nos permite representar tanto objetos abstractos (combinaciones, combinaciones con repetición) como situaciones concretas (grupos de dos elementos entre cuatro, de n elementos entre m ), y tanto valores numéricos concretos: el número 6 que corresponde a C4.2 como variables. Posteriormente estas notaciones nos servirán para operar con las cantidades y variables representadas y por tanto, la notación no sólo tiene una función representacional, sino también instrumental.
distinguibles). No se pone ningún tipo de condición, sobre el número de coches a repartir a cada uno de los hermanos. Se trata, por tanto de efectuar la partición de un conjunto de 4 elementos distinguibles (los coches) en 3 subconjuntos distinguibles (los hermanos), de los cuales uno al menos no es vacío y tal que la unión de estos subconjuntos produzca el conjunto original. No se considera el orden de los elementos dentro de cada subconjunto de la partición.
En los manuales escolares españoles las operaciones combinatorias se definen mediante el esquema de selección utilizando la tabla 1 que hemos mostrado anteriormente y ésta es, por tanto, la definición que conocen los alumnos de la muestra a la que se pasó el cuestionario, quienes habian estudiado combinatoria, tanto en secundaria, como durante la licenciatura. En consecuencia, las acciones que esperamos a priori hagan los alumnos de secundaria con instrucción o los estudiantes universitarios, para resolver este problema, serían las siguientes:
- Traducción del enunciado del problema (modelo de partición) a otro equivalente de selección, en el que puede aplicar con facilidad las fórmulas que conoce. Hacemos notar que hay que intercambiar los parámetros m y n en el proceso de traducción.
- Identificar las condiciones de realización de la acción: la selección de las personas es con reemplazamiento, ya que una misma persona puede recibir más de un coche; el orden de selección influye en la formación de las configuraciones.
- Reconocer las condiciones de aplicación del concepto de 'variaciones con repetición de 3 objetos tomados de 4 en 4'.
- Aplicar y desarrollar la fórmula VR3,4 = 3^4.
- Realización de las operaciones aritméticas 3^4 = 3x3x3x3 = 81.
Esta sería una de las formas posibles de resolver el problema y aquellos alumnos que hayan hecho un curso avanzado de combinatoria podrían aplicar directamente el estudio del esquema de partición para hallar una fórmula directa. Asimismo, los alumnos sin instrucción o los alumnos que hayan olvidado la fórmula podrían aplicar un razonamiento arimético directo, o bien tratar de realizar una enumeración directa y sistemática de las diferentes posibilidades.
Conceptos^3 combinatorios
En la descripción anterior de la actividad matemática hemos visto que el sujeto, al resolver el problema no sólo realiza acciones sobre los símbolos u objetos materiales con los que opera, sino que en dicha actividad necesita evocar diferentes objetos matemáticos mediante sus definiciones o descripciones. Ejemplos de conceptos empleados en la resolución de los problemas anteriores son: configuración combinatoria, esquema de partición, selección, colocación, conjunto, subconjunto,
(^3) El término ‘concepto’ lo usamos con dos sentidos diferentes que designaremos como concepto-sistema
y concepto-regla (o concepto-definición). En el primer uso designa a un sistema praxeológico complejo, como cuando aparece para referir una determinada organización matemática (combinatoria, número real, función exponencial, etc.) e incluye un sistema de situaciones-problemas, técnicas y el discurso teórico que las describe y organiza. En el segundo caso el concepto se refiere a una de las posibles definiciones particulares de un objeto matemático, por ejemplo, las permutaciones como “número de formas diferentes en que se puede ordenar un número finito de objetos”.
muestra, parámetros, variaciones, permutaciones, combinaciones. Consideramos a los conceptos como resultados de la realización de ciertos tipos de acciones.
Propiedades o atributos
Asimismo es preciso evocar o utilizar propiedades que suelen darse como enunciados o proposiciones. Las propiedades o atributos se refieren a condiciones de realización de las acciones, a características específicas de las situaciones y relaciones entre objetos. Por ejemplo, la selección de muestras puede ser con o si repetición, las muestras pueden ser ordenadas o no; las combinaciones se obtienen como cociente entre variaciones y permutaciones.
Argumentos
Finalmente, todas estas acciones y objetos se ligan entre si mediante argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los problemas o explicar a otro la solución y que pueden ser deductivas, o de otro tipo. Por ejemplo, un alumno podría realizar una enumeración parcial o total de todas las formas de repartir los coches en el problema 4 para validar la solución obtenida por medio de una fórmula combinatoria.
Los seis tipos de objetos descritos, que se ponen en juego en la actividad matemática, son los constituyentes primarios de otros objetos más complejos u organizaciones matemáticas, como los sistemas conceptuales, teorías, etc. Las entidades lingüísticas tienen un papel representacional – se ponen en lugar de las restantes- y también instrumental, por lo que deben contemplarse además como instrumentos de la actividad matemática.
Las situaciones-problemas matemáticos promueven y contextualizan la actividad matemática, y junto con las acciones constituyen el componente praxémico (o fenomenológico) de las matemáticas, por lo que podemos considerarlos como praxis según propone Chevallard (1997). Los otros tres componentes (conceptos-definiciones, proposiciones, argumentaciones) desempeñan un papel normativo en las matemáticas. Son el resultado de una actividad reflexiva y regulativa de la praxis; y constituyen el componente teórico o discursivo ( logos ).
Este agrupamiento de las entidades matemáticas en praxis y logos no supone su independencia mutua. El lenguaje está presente de manera intrínseca y constitutiva tanto en la praxis como en el logos; el logos encuentra su razón de ser en la praxis y ésta se desarrolla y rige por el logos.
FACETAS O DIMENSIONES DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
Además de diferenciar los tipos de entidades matemáticas descritas en el punto anterior, analizaremos a continuación las diferentes facetas o dimensiones duales desde las cuales se pueden considerar en diversos contextos y circunstancias.
que recibe cada hermano. Ha producido correctamente todas las descomposiciones ordenadas del número 4 en tres sumandos. El problema es que considera tanto los objetos como los conjuntos de la partición como indistinguibles, siendo distinguibles. Hay por tanto una interpretación incorrecta, desde el punto de vista institucional, de los datos del enunciado del problema. El alumno no ha sido capaz de percibir que los coches son distinguibles (atributo de la situación), aunque sí considera distinguibles los hermanos, como se pone de manifiesto en el siguiente extracto de su entrevista:
- I: ¿Has entendido el enunciado? - P: Si, hay cuatro coches y hay que repartírselos a tres hermanos pudiendo dar el número de coches que quieras a cada hermano. - I: ¿Qué pide el problema? - P: De cuántas formas diferentes puedo repartirlos. - I: ¿Hay datos superfluos? - P: Los colores, por ejemplo. - I: Los colores, o sea que, ¿podría omitirse el hecho de que los coches sean de colores diferentes?. - P: Si
Dimensión elemental / sistémica
En el estudio de la combinatoria por los alumnos los conceptos de variaciones, combinaciones y permutaciones se consideran como entidades compuestas, con una cierta organización o estructura. Por ello cuando nos referimos a estos conceptos, en general hacemos referencia a conceptos-sistema. Por ejemplo, se estudian las relaciones entre combinaciones y permutaciones sin repetición, las propiedades de los números combinatorios o la generación de estos números a partir del triángulo de Pascal, así como su relación con los coeficientes del desarrollo de la potencia del binomio.
En otros casos, puede interesar referirnos a un concepto, como un ente unitario. Por ejemplo, cuando analizamos el significado particular que se asigna a una expresión en un momento dado: “las combinaciones de 4 elementos tomados 2 a 2”. Esta distinción elemental - sistémico (o unitaria – compuesta) es aplicable a los otros tipos de elementos.
Dimensión ostensiva y no-ostensiva
En el ejemplo anterior, suponemos que Pedro ha usado el esquema de partición, porque la disposición de los símbolos que utiliza en la enumeración que presenta, así nos lo indica. Por ejemplo, suponemos que cuando Pedro escribe 400 040 004 en la primera línea está imaginando todas las particiones diferentes de los cuatro coches entre los tres niños del enunciado, de forma que sea uno sólo de los niños ( Fernando, Luis y Teresa) el que reciba los cuatro coches. También suponemos que 400 quiere indicar que es Fernando el que recibe los coches. Idéntica interpretación damos al resto de la enumeración presentada por Pedro. Sin embargo, mientras que el alumno usa los numerales 0 y 4 , notación percetible, para hacer referencia a los números
correspondientes (conceptos no perceptibles), también está usando en su solución otros conceptos (partición) y objetos fenomenológicos (niños, coches) que no son directamente perceptibles en su respuesta.
Es típico de la actividad matemática operar con objetos, tanto en forma ostensiva, esto es perceptible, como no ostensiva. En particular podemos considerar que el lenguaje permite dotar de una faceta ostensiva a los objetos matemáticos. Las entidades praxémicas y discursivas, son intrínsecamente diferentes de las lingüísticas, pero necesitan de éstas para su constitución y funcionamiento. Por otro lado, podría pensarse que las entidades lingüísticas sólo tendrían, en una primera aproximación, la faceta ostensiva. No obstante, desde el punto de vista del sujeto individual, todos los objetos lingüísticos pueden ser pensados.
Faceta Concreta – Abstracta
En el estudio de las matemáticas estamos siempre interesados por generalizar los problemas, las soluciones que encontramos y el discurso con el que se describen y organizan. No nos conformamos con resolver un problema aislado sino que deseamos resolver tipos de problemas y desarrollar técnicas cada vez más generales. Tales soluciones son organizadas y justificadas en estructuras cada vez más globales.
Veamos, por ejemplo la solución de otro estudiante (caso 2: Adolfo) al problema 2, que hemos descompuesto en unidades de análisis. Este alumno no recordaba las fórmulas ni las definiciones de las operaciones combinatorias (observamos que en las unidades U1, U6 llama combinaciones a las permutaciones, es decir el lenguaje que usa este alumno no está de acuerdo con el lenguaje institucional. Este alumno sin embargo es capaz de proporcionar una solución correcta (y así lo ha hecho con 12 de los 13 problemas, aunque nunca por medio de las fórmulas).
Figura 4 Solución de Adolfo al problema 2. U
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Veo las combinaciones posibles que se pueden hacer con sota, caballo y rey y el orden importa. sota, caballo, rey; caballo, sota, rey; rey, sota, caballo sota, rey, caballo; caballo, rey, sota; rey, caballo, sota Hay 6. Si pongo el 1 en la 1ª posición y pongo a continuación cada una de las seis comb. Posibles anteriores tengo 6 maneras de alinear. Si hago lo mismo poniendo el 1 en la 2ª posic., en la 3ª posición y en la 4ª posición, tengo en total 24 posibles para el 1, la sota, el caballo y el rey. Como hay 9 números, análog. tendría para cada uno de estos números 24 comb. posibles. Luego en total tengo 9.24 = 216 maneras de alinear.
Por ejemplo, en la transcripción de la solución dada por Adolfo al problema 3 (Figura 3) podemos indentificar ejemplos de funciones semióticas, en que diferentes entidades desempeñan el papel de expresión o contenido.
U1: la palabra combinaciones (elemento lingüístico) hace referencia a las formas posibles de permutar las tres cartas dadas (concepto de permutación ). Las palabras sota, caballo, rey hacen referencia a objetos físicos, en este caso a la situación problemática dada.
U2: El alumno ha producido una enumeración figurada de todas las permutaciones de las palabras sota, caballo y rey en forma de tabla. Cada una de estas permutaciones de las tres palabras hace referencia a una permutación de las tres cartas reales; es decir una situación (permutación de tres palabras) se pone en correspondencia con otra (permutación de tres objetos físicos) e igualmente el conjunto de todas las permuaciones de tres letras se pone en correspondencia con el conjunto de todas las permutaciones de los tres objetos. La acción del alumno (escribir la enumeración) hace referencia a otra acción (realizar físicamente las ordenaciones).
A lo largo de la entrevista, el alumno describe el proceso de resolución que seguiría en caso de aumentar el número de cartas, esta resolución descrita remite o se pone en correspondencia con la resolución real que haría el alumno en el nuevo problema.
Vemos en estos ejemplos que cualquiera de las diversas entidades pueden desempeñar el papel de expresión y contenido (significante y significado) de las funciones semióticas. Así podríamos hablar de “la demostración de la relación entre los números combinatorios y el desarrollo de la potencia del binomio” y la expresión verbal haria referencia a una entidad argumentativa.
Además, las relaciones de dependencia entre expresión y contenido pueden ser de tipo representacional, instrumental y cooperativa, como se muestra en diferentes ejemplos en la solución de Adolfo al problema 2.
En unos casos, un objeto se pone en lugar de otro, como en el caso de las palabras “sota” “caballo” “rey” en U2, y la relación es representacional. Será instrumental u operatoria si un objeto usa a otro u otros como instrumento, por ejemplo, en U encontramos la expresión 9.24 = 216, donde el alumno realiza operaciones con los símbolos que se ponen en lugar de los números y las operaciones. No se multiplica (repite) realmente un número dado de objetos por otro, sino que esta acción se sustituye por la realización del algoritmo de la multiplicación que se realiza de una manera automática, o incluso, por medio de una calculadora.
En la unidad U2, cada conjunto de las tres palabras “sota caballo, rey” se usa de una forma componencial o cooperativa, en la que dos o más objetos (palabras) componen un sistema del que emergen nuevos objetos (una permutación de las tres palabras).
Síntesis del modelo
El esquema de la figura 5 resume el modelo ontológico-semiótico que proponemos como instrumento de análisis de la actividad matemática. Las entidades lingüísticas ocupan un lugar central ya que son necesarias para analizar la presencia y el papel desempeñado por las restantes entidades. Los ejemplos muestran la potencia de la visión semiótica que proponemos, que generaliza de manera radical la noción de
representación, usada en las investigaciones cognitivas realizadas en educación matemática.
SITUACIONES ACCIONES
ARGUMENTOS
CONCEPTOS
PROPIEDADES
LENGUAJE Escrito, oral, gráfico, gestual,
Figura 5: Componentes y facetas de la cognición matemática
En el modelo descrito interpretamos el conocimiento y la comprensión de cualquier objeto matemático O por parte de un sujeto X (persona o institución) en términos de las funciones semióticas que X puede establecer teniendo a O como uno de sus términos. Cada una de estas funciones semióticas constituye un conocimiento y equivale a hablar de significado. De ello resulta una variedad de tipos de conocimientos, en correspondencia con la diversidad de funciones semióticas que se pueden establecer entre las diversas entidades introducidas en el modelo.
Uno de los puntos diferenciadores de nuestro modelo teórico está en la descomposición analítica que proponemos para los conocimientos, tanto personales como institucionales. Junto a los conocimientos procedimentales y conceptuales (técnicas, conceptos y proposiciones) hemos considerado también los conocimientos situacionales o fenomenológicos (situaciones-problemas, tareas), lingüístico- notacionales y argumentativos-validativos.
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c) Le da los 4 coches a Teresa. Caso 2: Da los 4 coches a 2 de sus hermanos. Veamos que posibilidades hay: A) a) Fernando y Luis b) Fernando y Luis c) Fernando y Luis (3 coche) (1 c.) (2 coches) (2 c.) (1 coche) (3 c.) ABV R AB VR ABR V AV BR Hay 4 formas ARV B AR VB (análogo a a)) BRV A BV AR BR AV BR AB Hay 4 formas Hay 6 formas" Luego hay 14 formas diferentes de repartir entre Fernando y Luis. B)Análogamente hay 14 formas diferentes entre Fernando y Teresa. C)Análogamente hay 14 formas diferentes entre Luis y Teresa. Caso 3: Todos los hermanos tienen algún coche. A) a)Fernando 2, Luis 1, Teresa 1 b)Fernando 2, Luis 1, Teresa 1 AB V R BV A R AB R V BV R A AV B R BR A V AV R B BR V A AR B V BR A B AR V B RV B A Luego el caso A) tiene 12 posibilidades distintas. Análogamente, el caso B) Luis 2, Fernando 1, Teresa 1 tiene 12 posibilidades distintas. Análogamente, el caso C) Teresa 2, Fernando 1, Luis 1 tiene 12 posibilidades distintas. Sumando todas las opciones tengo: Caso 1 + caso 2 + caso 3 = 3 + (14+14+14) + (12+12+12) = 81 formas diferentes
Adolfo realiza acciones para resolver el problema: aplica algoritmos (como la enumeración sistemática) y estrategias como analizar todas las diferentes posibilidades de partición del número 4. En cada uno de los pasos que sigue en su resolución fija algunas de las variables del problema. Por ejemplo, en U2 (caso 2) fija el número de coches que recibe cada una de las dos personas, que puede ser 3 y 1, 2 y 2 o 1 y 3. Resuelve para cada uno de estos casos el conjunto relacionado de subproblemas mediante recursión (que se usa para producir la permutación de los cuatro objetos a repartir). En cada subproblema se aplica la técnica de la enumeración sistemática como método de solución, apoyada en una notación simbólica para representar los coches y una disposición tabular que prueba la sistematicidad.
Durante el proceso de resolución, el estudiante se plantea nuevos problemas relacionados con el dado, aunque de menor complejidad, como el encontrar las diferentes formas de repartir los coches si los da todos al mismo hermano. En los pasos U1, U2 y U6 Adolfo usa la estrategia de descomponer el problema en subproblemas más simples: formas de repartir los 4 coches dando todos al mismo hermano (caso 1), repartiendo sólo entre dos hermanos (caso 2) y entre los tres (caso 3).
Adolfo aplica propiedades. En el paso U9 Adolfo reconoce y aplica la regla de
la suma. Por último es capaz de realizar argumentaciones para validar los pasos que sigue en la resolución. En el paso U6 generaliza la igualdad del número de formas de repartir los coches de modo que un hermano reciba 1 coche y otro 3, que es independiente del hermano particular que lo reciba. También se usa la generalización en los pasos U4 y U5, así como en los pasos U7 y U8.
Resaltamos la complejidad de la solución dada por Adolfo, comparada con aplicar directamente la fórmula de las variaciones con repetición. Hay que destacar en este problema la gran destreza de Adolfo en la técnica de dividir el problema en subproblemas, en la enumeración y en el uso de la recursión.
Junto con las palabras, y símbolos (ostensivos) se identifican en la solución propuesta por Adolfo una variedad de objetos no ostensivos que son evocados por los anteriores por medio de funciones semióticas, tanto elementales (la palabra Fernando hace referencia a una sóla persona imaginaria) como sistémica ( en la expresión “el caso A tiene 12 posibilidades”, se hace referencia a un conjunto de particiones). En este ejemplo, los objetos son usados en modo concreto, se trata de un caso particular de partición, un número concreto de coches y niños a repartir. Sin embargo el alumno es capaz de considerar este ejemplo concreto como una caso particular de un tipo abstracto de problemas:
I: ¿Como resolverías este problema en vez de cuatro coches y tres hermanos fueran treinta coches y siete hermanos? A: Aplicaría la fórmula. I: ¿Y qué harías si no te acuerdas de la fórmula? A: Supongo que haría lo mismo pero lo reduciría, procuraría encontrar todos los casos pero sería bastante complicado
Hemos analizado las soluciones de Pedro y Adolfo sólo desde un punto de vista global, pues sólo hemos querido mostrar la diversidad de objetos puestos en juego. Sin embargo, podemos hacer un análisis más detallado de la forma en que estos objetos son relacionados por medio de funciones semióticas, con el fin de identificar conflictos semióticos o desajuste entre los significados atribuidos a una misma expresión por dos alumnos o por alumno y el profesor.
En el caso de Juan (caso 1) se produce un conflicto semiótico entre el significado atribuido por el investigador al problema 3 y el atribuido por Juan al resolverlo. En el caso general cualquier conflicto entre personas o instituciones en interacción comunicativa, que pueda explicar las dificultades y limitaciones de los aprendizajes y las enseñanzas implementadas lo consideramos como conflicto semiótico. Aplicaremos esta técnica al análisis de las soluciones dadas al problema 4 por otros dos alumnos
Caso 3: Luisa
En la Figura 7 transcribimos la solución de Luisa, quien estudió combinatoria en Bachillerato, así como también en el primer curso de la licenciatura (asignatura de Estadística). La alumna recordaba las fórmulas combinatorias, aunque tuvo que esforzarse para reconstruir algunas de ellas, ya que el esquema combinatorio que durante sus estudios se usó para definir las operaciones combinatorios fue el de selección, resultándole extraño el uso de las aplicaciones (esquema de colocación) en
