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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
Factoriales
El número de permutaciones de n elementos es: P (^) n = n · ( n – 1) · ( n – 2) · … · 3 · 2 · 1 A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n! que se lee “factorial de n ” o “ n factorial”.
Por ejemplo, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
El valor de n! crece enormemente deprisa al aumentar n. Por ejemplo:
10! = 3 628 000
20! tiene 18 cifras
La fórmula de las variaciones se puede expresar muy cómodamente con factoriales:
Vm, n = m · ( m – 1) · … · ( m – n + 1) = (1)
= [ m^ ·^ ( m^ – 1) · … · ( m^ –^ n^ + 1)] · [( m^ –^ n ) · … · 3 · 2 · 1] ( m – n ) · … · 3 · 2 · 1
= m! ( m – n )!
(1) Hemos multiplicado numerador y denominador por ( m – n )! para conseguir en el numerador m !.
Por ejemplo: V 7, 3 = 7 · 6 · 5 = 7 · 6 · 5 · (4 · 3 · 2 · 1) 4 · 3 · 2 · 1
Números combiNatorios
Los números que se obtienen al aplicar la fórmula de las combinaciones, Cm, n , se llaman números combina-
torios y se suelen designar así: ( mn ). Se lee m sobre n.
Por ejemplo: (
3 )^ =^ C 7, 3^ =^
V 7, 3
P 3
Los números combinatorios pueden expresarse, también, con factoriales:
m
n )^ =^
Vm, n Pn
= m!^ /^ ( m – n )! n!
= m! n! ( m – n )!
Por ejemplo: ( 73 ) =
V 7, 3
P 3
P 3
Los factoriales son muy cómodos para manejar expresiones teóricas. Pero para cálculos numéricos son preferi- bles las fórmulas sin ellos.
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
ProPiedades de los Números combiNatorios
Los números combinatorios tienen interesantes propiedades. Vamos a ver algunas:
I. ( m
0 )^
= 1, ( m
m )^
m
0 )^
significa el número de combinaciones con ningún elemento que se pueden hacer con m elementos.
Solo el conjunto vacío tiene “ningún elemento”. Es decir, solo hay una.
m
m )^
es el número de combinaciones que se pueden hacer con todos los elementos. Es claro que solo hay una.
Por ejemplo: ( 7
0 )^
7 )^
= 1
II. (
m
n )^
m
m – n )^
Pues, si disponemos de m elementos, cada vez que escogemos n nos quedan m – n.
Es decir, cada vez que formamos una combinación de n elementos, nos queda otra de m – n.
Por ejemplo: ( 7
3 )^
99 )^
III. (
m – 1
n – 1 )^
m – 1
n )^
m
n )
Por ejemplo: ( 4
2 )^
3 )^
5 )^
6 )^
, (^11
7 )^
+ (^11
8 )^
= (^12
La justificación de esta propiedad es más complicada que la de las anteriores; por eso la demostramos con una historieta.
Empecemos probando que: ( 6
3 )^
4 )^
Leticia y Héctor son una pareja de recién casados. Tienen 7 objetos de adorno y una vitrina donde caben 4 de ellos.
El número de posibles elecciones es: ( 7
Pero en el momento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de criterio: Leticia exige que uno de los objetos sea el retrato de su madre, mientras que Héctor rechaza esta posibilidad.
- ¿Cuántas son las posibilidades que admite Leticia? Tantas como formas de seleccionar los 3 objetos que
acompañarán al retrato de su madre, es decir: ( 6
- ¿Cuántas son las posibilidades que admite Héctor? Tantas como formas de seleccionar 4 objetos de entre
los 6 que no son el retrato de su suegra, es decir: ( 6
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
otra ProPiedad del triáNgulo de tartaglia
La suma de los elementos de la fila n -ésima es 2 n.
1 1 Ä8 2 = 2 1
1 2 1 Ä8 4 = 2^2
1 3 3 1 Ä8 8 = 2^3
1 4 6 4 1 Ä8 16 = 2^4
La razón es muy sencilla: cada elemento de una fila se utiliza dos veces como sumando para formar la fila si- guiente. Por ejemplo, para obtener la fila 4.ª a partir de la 3.ª:
Por tanto, la suma de cada fila es doble que la suma de la fila anterior.
1 3 3 1 1 1 3 3 3 3 1 1
1 4 6 4 1
ACTIVIDADES
1 Escribe como cociente de factoriales:
a) 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = b) 19 · 18 · 17 =
c) n ( n – 1) ( n – 2) ( n – 3) = d) ( n + 1) n ( n – 1) =
e) ( n – 1) ( n – 2) … ( n – 9) = f) ( m + 2) ( m + 1) … ( n + 1) n ( n – 1) =
2 Simplifica los siguientes cocientes entre factoriales:
a) 7! 5!
= b) 8! 9!
= c) 9! 5! 4!
d) m! ( m – 1)!
= e) ( m^ + 1)! m!
= f) ( m^ + 1)! ( m – 1)!
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
3 Resuelve las ecuaciones:
a) Vx , 2 = 7 x 8 b) VR (^) x , 2 – Vx , 2 = 8 8
c) Vx , 2 – Vx – 2, 2 = 62 8 d) VR (^) x , 3 – VR (^) x , 2 = 180 8
4 Calcula utilizando factoriales y simplifica:
a) Cm + 2, n = b) Cm + 1, m – 1 =
5 Escribe la fila once del triángulo de Tartaglia.
6 Calcula:
0 )^
1 )^
2 )^
3 )^
8 )^
7 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden formar con 6 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales.
Solución:
8 Resuelve las ecuaciones siguientes sin desarrollar los números combinatorios:
a) ( 8
3 )^
x )^
4 )^
8 b) (^11
3 )^
+ (^11
x )^
3 )^
c) ( 17
x )^
x + 1)^
9 Tienes 8 monedas (2 E, 1 E, 50 cent., 20 cent., 10 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent.). Te piden un donativo y puedes responder de muchas formas distintas: no dar nada, dar una moneda, dos…, todas. ¿Cuántas posibles respuestas hay?
Solución:
4. Amplía: fórmula del binomio de Newton^ Pág. 1 de 3
Como sabemos, ( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2.
Operando se pueden obtener las sucesivas potencias de a + b.
( a + b )^3 = ( a + b )^2 · ( a + b ) = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3
( a + b )^4 = ( a + b )^3 · ( a + b ) = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 ab^3 + b^4
Para observar las regularidades que se producen, ordenamos los resultados:
Para que se aprecie mejor el resultado, hemos aislado a la derecha los coefi- cientes.
Los coeficientes son las sucesivas filas del triángulo de Tartaglia.
Obtengamos razonadamente la siguiente potencia: ( a + b )^5. Para ello, multiplicamos ( a + b )^4 · ( a + b ). Lo hacemos multiplicando primero por a (flecha azul), después por b (flecha roja) y sumando los resultados.
a^4
1 a^5
a^5 (1 + 4) a^4 b
4 a^4 b
a^4 b
(4 + 6) a^3 b^2
6 a^3 b^2
4 a^3 b^2
4 a^3 b
(6 + 4) a^2 b^3
4 a^2 b^3
6 a^2 b^3
6 a^2 b^2
(4 + 1) ab^4
ab^4
4 ab^4
4 ab^3
1 · b^5
b^5
b^4
Observamos que:
- Aparecen todos los posibles términos de 5.° grado: a^5 , a^4 b , a^3 b^2 , a^2 b^3 , ab^4 y b^5.
- Sus coeficientes son la suma de coeficientes de los términos que tienen encima, es decir, constituyen la fila 5 del triángulo de Tartaglia (puesto que los que tienen encima son la fila 4).
No olvides que en la fórmula del binomio de Newton, los coeficientes de los sucesivos términos son los números de la fila n -ésima del triángulo de Tartaglia.
( a + b )^1 a + b 1 1 ( a + b )^2 a^2 + 2 ab + b^2 1 2 ( a + b )^3 a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3 1 3 3 ( a + b )^4 a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 ab^3 + b^4 1 4 6 4
En general, se obtiene la llamada fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n^ = ( n
an^ + ( n
an^ –^1 b + ( n
an^ – 2 b^2 + … + ( n
n – 1 )
abn^ – 1^ + ( n
n )
bn
4. Amplía: fórmula del binomio de Newton^ Pág. 2 de 3
ACTIVIDADES
1 Desarrolla:
a) ( x + 3)^5 =
b) (2 x – x^2 )^4 =
c) ( x
x )
6
2 Calcula el quinto término de:
a) ( 2
√ x
10
b) ( x^
2 2
x )
6
3 Calcula el coeficiente de x^5 en el desarrollo del binomio ( x
2 2
x )
8
4 ¿Qué signo tendrá el séptimo término del binomio del ejercicio anterior? ¿Cuál será el término de mayor grado?
5 Desarrolla:
a) ( x – 3)^5 =
b) (2 x – 1)^4 =
c) (2 x + 3)^3 =
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
Soluciones
Factoriales
El número de permutaciones de n elementos es: P (^) n = n · ( n – 1) · ( n – 2) · … · 3 · 2 · 1 A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n! que se lee “factorial de n ” o “ n factorial”.
Por ejemplo, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
El valor de n! crece enormemente deprisa al aumentar n. Por ejemplo:
10! = 3 628 000
20! tiene 18 cifras
La fórmula de las variaciones se puede expresar muy cómodamente con factoriales:
Vm, n = m · ( m – 1) · … · ( m – n + 1) = (1)
= [ m^ ·^ ( m^ – 1) · … · ( m^ –^ n^ + 1)] · [( m^ –^ n ) · … · 3 · 2 · 1] ( m – n ) · … · 3 · 2 · 1
= m! ( m – n )!
(1) Hemos multiplicado numerador y denominador por ( m – n )! para conseguir en el numerador m !.
Por ejemplo: V 7, 3 = 7 · 6 · 5 = 7 · 6 · 5 · (4 · 3 · 2 · 1) 4 · 3 · 2 · 1
Números combiNatorios
Los números que se obtienen al aplicar la fórmula de las combinaciones, Cm, n , se llaman números combina-
torios y se suelen designar así: ( mn ). Se lee m sobre n.
Por ejemplo: (
3 )^ =^ C 7, 3^ =^
V 7, 3
P 3
Los números combinatorios pueden expresarse, también, con factoriales:
m
n )^ =^
Vm, n Pn
= m!^ /^ ( m – n )! n!
= m! n! ( m – n )!
Por ejemplo: ( 73 ) =
V 7, 3
P 3
P 3
Los factoriales son muy cómodos para manejar expresiones teóricas. Pero para cálculos numéricos son preferi- bles las fórmulas sin ellos.
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
Soluciones
ProPiedades de los Números combiNatorios
Los números combinatorios tienen interesantes propiedades. Vamos a ver algunas:
I. ( m
0 )^
= 1, ( m
m )^
m
0 )^
significa el número de combinaciones con ningún elemento que se pueden hacer con m elementos.
Solo el conjunto vacío tiene “ningún elemento”. Es decir, solo hay una.
m
m )^
es el número de combinaciones que se pueden hacer con todos los elementos. Es claro que solo hay una.
Por ejemplo: ( 7
0 )^
7 )^
= 1
II. (
m
n )^
m
m – n )^
Pues, si disponemos de m elementos, cada vez que escogemos n nos quedan m – n.
Es decir, cada vez que formamos una combinación de n elementos, nos queda otra de m – n.
Por ejemplo: ( 7
3 )^
99 )^
III. (
m – 1
n – 1 )^
m – 1
n )^
m
n )
Por ejemplo: ( 4
2 )^
3 )^
5 )^
6 )^
, (^11
7 )^
+ (^11
8 )^
= (^12
La justificación de esta propiedad es más complicada que la de las anteriores; por eso la demostramos con una historieta.
Empecemos probando que: ( 6
3 )^
4 )^
Leticia y Héctor son una pareja de recién casados. Tienen 7 objetos de adorno y una vitrina donde caben 4 de ellos.
El número de posibles elecciones es: ( 7
Pero en el momento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de criterio: Leticia exige que uno de los objetos sea el retrato de su madre, mientras que Héctor rechaza esta posibilidad.
- ¿Cuántas son las posibilidades que admite Leticia? Tantas como formas de seleccionar los 3 objetos que
acompañarán al retrato de su madre, es decir: ( 6
- ¿Cuántas son las posibilidades que admite Héctor? Tantas como formas de seleccionar 4 objetos de entre
los 6 que no son el retrato de su suegra, es decir: ( 6
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
Soluciones
otra ProPiedad del triáNgulo de tartaglia
La suma de los elementos de la fila n -ésima es 2 n.
1 1 Ä8 2 = 2 1
1 2 1 Ä8 4 = 2^2
1 3 3 1 Ä8 8 = 2^3
1 4 6 4 1 Ä8 16 = 2^4
La razón es muy sencilla: cada elemento de una fila se utiliza dos veces como sumando para formar la fila si- guiente. Por ejemplo, para obtener la fila 4.ª a partir de la 3.ª:
Por tanto, la suma de cada fila es doble que la suma de la fila anterior.
1 3 3 1 1 1 3 3 3 3 1 1
1 4 6 4 1
ACTIVIDADES
1 Escribe como cociente de factoriales:
a) 7 · 6 · 5 · 4 · 3 =
7! 2! b) 19 · 18 · 17 =
19! 16!
c) n ( n – 1) ( n – 2) ( n – 3) =
n! ( n – 4)!
d) ( n + 1) n ( n – 1) =
( n + 1)! ( n – 2)!
e) ( n – 1) ( n – 2) … ( n – 9) =
( n – 1)! ( n – 10)!
f) ( m + 2) ( m + 1) … ( n + 1) n ( n – 1) =
( m + 2)! ( n – 2)!
2 Simplifica los siguientes cocientes entre factoriales:
a) 7! 5!
= (^) 7 · 6 b) 8! 9!
1 9
c) 9! 5! 4!
9 · 8 · 7 · 6 4 · 3 · 2 · 1
d) m! ( m – 1)!
= m^ e) ( m^ + 1)! m!
= m^ +^1 f) ( m^ + 1)! ( m – 1)!
= ( m^ +^ 1)^ ·^ m
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4. Amplía: factoriales
y números combinatorios
Soluciones
3 Resuelve las ecuaciones:
a) Vx , 2 = 7 x 8 x^ = 8^ b) VR (^) x , 2 – Vx , 2 = 8 8 x^ = 8
c) Vx , 2 – Vx – 2, 2 = 62 8 x^ = 17^ d) VR (^) x , 3 – VR (^) x , 2 = 180 8 x^ = 6
4 Calcula utilizando factoriales y simplifica:
a) Cm + 2, n =
( m + 2) · ( m + 1) · … · ( m – n ) · ( m + 1 – n ) n!
b) Cm + 1, m – 1 =
m · ( m + 1) 2
5 Escribe la fila once del triángulo de Tartaglia.
11
0 )^ (^
11
1 )^ (^
11
2 )^ (^
11
3 )^ (^
11
4 )^ (^
11
5 )^ (^
11
6 )^ (^
11
7 )^ (^
11
8 )^ (^
11
9 )^ (^
11
10 )^ (^
11
ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
6 Calcula:
0 )^
1 )^
2 )^
3 )^
8 )^
7 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden formar con 6 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales.
Solución: (^26) – 6 – 1 = 64 – 7 = 57 aleaciones distintas
26 son todas las posibles combinaciones de 6 elementos. 6 son las combinaciones de 6 elementos toma- dos 1 a 1, pero con un único metal no hay aleación. 1 es la combinación de ningún elemento.
8 Resuelve las ecuaciones siguientes sin desarrollar los números combinatorios:
a) ( 8
3 )^
x )^
4 )^
8 x = 4 b) (^11
3 )^
+ (^11
x )^
3 )^
(^8) x = 2
c) ( 17
x )^
x + 1)^
(^8) x = 8
9 Tienes 8 monedas (2 E, 1 E, 50 cent., 20 cent., 10 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent.). Te piden un donativo y puedes responder de muchas formas distintas: no dar nada, dar una moneda, dos…, todas. ¿Cuántas posibles respuestas hay?
Solución: (^) Hay 2^8 = 256 posibles respuestas.
4. Amplía: fórmula del binomio de Newton^ Pág. 1 de 3
Soluciones
Como sabemos, ( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2.
Operando se pueden obtener las sucesivas potencias de a + b.
( a + b )^3 = ( a + b )^2 · ( a + b ) = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3
( a + b )^4 = ( a + b )^3 · ( a + b ) = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 ab^3 + b^4
Para observar las regularidades que se producen, ordenamos los resultados:
Para que se aprecie mejor el resultado, hemos aislado a la derecha los coefi- cientes.
Los coeficientes son las sucesivas filas del triángulo de Tartaglia.
Obtengamos razonadamente la siguiente potencia: ( a + b )^5. Para ello, multiplicamos ( a + b )^4 · ( a + b ). Lo hacemos multiplicando primero por a (flecha azul), después por b (flecha roja) y sumando los resultados.
a^4
1 a^5
a^5 (1 + 4) a^4 b
4 a^4 b
a^4 b
(4 + 6) a^3 b^2
6 a^3 b^2
4 a^3 b^2
4 a^3 b
(6 + 4) a^2 b^3
4 a^2 b^3
6 a^2 b^3
6 a^2 b^2
(4 + 1) ab^4
ab^4
4 ab^4
4 ab^3
1 · b^5
b^5
b^4
Observamos que:
- Aparecen todos los posibles términos de 5.° grado: a^5 , a^4 b , a^3 b^2 , a^2 b^3 , ab^4 y b^5.
- Sus coeficientes son la suma de coeficientes de los términos que tienen encima, es decir, constituyen la fila 5 del triángulo de Tartaglia (puesto que los que tienen encima son la fila 4).
No olvides que en la fórmula del binomio de Newton, los coeficientes de los sucesivos términos son los números de la fila n -ésima del triángulo de Tartaglia.
( a + b )^1 a + b 1 1 ( a + b )^2 a^2 + 2 ab + b^2 1 2 ( a + b )^3 a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3 1 3 3 ( a + b )^4 a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 ab^3 + b^4 1 4 6 4
En general, se obtiene la llamada fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n^ = ( n
an^ + ( n
an^ –^1 b + ( n
an^ – 2 b^2 + … + ( n
n – 1 )
abn^ – 1^ + ( n
n )
bn
4. Amplía: fórmula del binomio de Newton^ Pág. 2 de 3
Soluciones
ACTIVIDADES
1 Desarrolla:
a) ( x + 3)^5 = (^) x^5 + 15 x^4 + 90 x^3 + 270 x^2 + 405 x + 243
b) (2 x – x^2 )^4 = (^16) x^4 – 32 x^5 + 24 x^6 – 8 x^7 + x^8
c) ( x
x )
6
x^6 3 x^4 15 x^2 5 15 3 — + — + — + — + — + — + — 64 16 16 2 4 x^2 x^4 x^6
2 Calcula el quinto término de:
a) ( 2
√ x
(^10) 13 440 Quinto término = —— x^3
b) ( x^
2 2
x )
6 1 215 Quinto término = –—— 4 x^2
3 Calcula el coeficiente de x^5 en el desarrollo del binomio ( x
2 2
x )
8
Su coeficiente es cero.
4 ¿Qué signo tendrá el séptimo término del binomio del ejercicio anterior? ¿Cuál será el término de mayor grado?
El signo del término séptimo es negativo.
x^16 El término de mayor grado es el primero: — 256
5 Desarrolla:
a) ( x – 3)^5 = (^) x^5 – 15 x^4 + 90 x^3 – 270 x^2 + 405 x – 243
b) (2 x – 1)^4 = (^16) x^4 – 32 x^3 + 24 x^2 – 8 x + 1
c) (2 x + 3)^3 = (^8) x^3 + 36 x^2 + 54 x + 27
